浙江省绍兴市春晖中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

春晖中学2023-2024学年第一学期高二数学期中试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线，则该直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】设该直线倾斜角为，由题意可知，故.故选：A2.圆与圆的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】B【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径所以，则，故两圆相交.故选：B.3.过两点的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两点式方程直接求解即可.【详解】解：∵直线过两点和， ∴直线的两点式方程为＝，整理得.故选：C.4.平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由点到平面距离的向量法计算．【详解】，所以点到平面的距离为．故选：C．5.“”是“直线与圆相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案.详解】直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件.故选：B.6.已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可.【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，设双曲线方程为，则有，，，所以双曲线的方程为.故选：C7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得，结合双曲线的定义求得，由此求得的周长.【详解】由题意可得，，即有，可得，，P为双曲线右支上一点， 可得，又，可得，则的周长为，故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据是正三角形，此时轴，结合椭圆定义，求得三边长，再由，求得a，b间的关系，从而求得离心率.【详解】因为是正三角形，所以，轴.设，则，，故，解得，从而.将代入椭圆方程可得，因此，得，故椭圆离心率，故选：D.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A.在轴上的截距为B.过定点 C.若，则或D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据直线截距的定义可判定A，由直线方程可求定点判定B，利用两直线的位置关系可判定C、D.【详解】由易知，故A正确；由，故B正确；若两直线平行，则有且，解得，故C错误；若两直线垂直，则有，故D正确.故选：ABD10.关于曲线C：，下列说法正确的是（）A.若曲线C表示圆，则B.若，曲线C表示两条直线C.若，过点与曲线C相切的直线有两条D.若，则直线被曲线C截得弦长等于【答案】ACD【解析】【分析】根据圆的一般方程的特点，结合圆的性质和圆的弦长公式逐一判断即可.【详解】A：，所以当曲线C表示圆时，有，所以本选项说法正确；B：当时，由A可知：且，所以当时，曲线C表示点，因此本选项说法不正确；C：当时，由A可知：，因为，所以点在圆外面，所以过点与曲线C相切的直线有两条，因此本选项说法正确；D：当时，由A可知：， 圆心到直线距离为：，所以弦长为：，因此本选项说法正确，故选：ACD11.设椭圆:的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（）A.离心率B.C.面积的最大值为D.直线与以线段为直径的圆相切【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆的定义、性质及直线与圆的位置关系一一判定选项即可.【详解】由椭圆方程可知椭圆离心率为，故A错误；由椭圆定义可知，故B正确；当P在上下顶点时的面积可取得最大值为，故C正确；以为直径的圆的圆心为原点，半径为，而圆心到直线的距离，即与直线相切，故D正确.故选：BCD12.矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论正确的有（）A.四面体ABCD的体积为B.点B与D之间的距离为C.异面直线AC与BD所成角为45° D.直线AD与平面ABC所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】【分析】分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，可判断B，由题可得平面，然后利用棱锥的体积公式可得可判断A，利用向量法求出判断C，根据等积法结合条件可得直线AD与平面ABC所成角的正弦值判断D.【详解】分别作，垂足为E，F，则，由已知可得，，因为，所以，所以，故B错误；因为，，所以，即，同理，又，平面，则平面，所以四面体ABCD的体积为，故A正确；由题可得，，，则 ，则，得，所以异面直线与所成的角为，故C正确；设点到平面为，则，所以，所以，设直线AD与平面ABC所成角为，则，故D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．【答案】9【解析】【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.【详解】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.故答案为：9.14.在平面直角坐标系内，点关于直线对称的点的坐标为___________.【答案】【解析】 【分析】设对称点为，根据直线，又中点在直线上，列方程求解，即可得点的坐标.【详解】解：设对称点为，则可得，又直线的斜率为所以，即①又中点在直线上，所以，即②联立①②解得：，所以点的坐标为.故答案为：.15.已知，，，若，，，四点共面，则______．【答案】5【解析】【分析】根据，，，四点共面，由求解.【详解】解：因为，，，且，，，四点共面，所以，则，解得，故答案为：516.若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则______.【答案】【解析】【分析】根据点到直线的距离和代数式的几何意义求解即可.【详解】由，若，则需与矛盾，所以，由，得点到直线的距离为，由，得点在圆上，根据题意恰有三组实数对满足关系式， 等价于圆上恰有三个点满足到直线的距离为，圆心到直线的距离为，则需圆的半径，过作直线于，交圆于，则，则要使圆上恰有三个点满足到直线的距离为，有.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.（1）求直线和直线的交点坐标；（2）已知不过原点的直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式先求得，联立方程计算交点即可；（2）利用截距式计算即可.【小问1详解】设直线和直线的斜率分别为，由题意知，∵，∴．又因为直线在轴上的截距为，所以直线过点.所以直线的方程为，即:.联立，得，即交点为.【小问2详解】因直线不过原点，设其在轴上的截距为，方程为，因为过，所以，解得，所以直线的方程.18.已知空间向量，.（1）若与共线，求实数的值；（2）若与所成角是锐角，求实数的范围．【答案】（1）（2）{且}．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示计算即可；（2）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可.【小问1详解】由已知可得，． 因为与共线，所以，解得．【小问2详解】由(1)知，．所以，∴．又当时，与共线，所以实数的范围为{且}．19.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设，由，得，化简得，所以P点的轨迹的方程为.【小问2详解】由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；当直线l的斜率存在时，设，即，于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或.20.如下图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，又.（1）求点到平面的距离；（2）设，，，平面与平面夹角的余弦值为，求BC的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质判定线面垂直即证平面即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【小问1详解】如图，在平面中取一点E，并过点E分别作直线，， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．同理因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即点P到平面的距离为.【小问2详解】如图所示，以A点为原点，分别以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设，则，∴，，，．设平面的法向量为，则，令，得．同理，设平面的法向量为，有，令，即．由题意知，解得， 所以的长为．21.已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：（2）由得设，则，，所以则中点坐标为，代入圆得，所以.22.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，．（1）求椭圆方程；（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（、在轴的两侧），记直线，， ，的斜率分别为，，，．（i）求的值；（ii）若，求面积的取值范围．【答案】22.23.（i）；（ii）【解析】【分析】（1）结合离心率与焦点到顶点的距离计算即可得；（2）（i）设出直线，联立后消去得与有关的韦达定理后求解即可得；（ii）借助（i）中的结论，将面积用未知数表达后结合换元法借助函数性质求最最值即可得.【小问1详解】由于椭圆的离心率为，故，又，所以，，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆Ｃ于、两点（、在轴的两侧），故直线的的斜率不为，直线的方程为，联立，则，则，设，，则，，又，，故， 同理．（ii）因为，则，．又直线交与轴不垂直可得，所以，即．所以，，于是，，整理得，解得或，因为、在轴的两侧，所以，，又时，直线与椭圆有两个不同交点，因此，直线恒过点，此时，，，设，由直线交与轴不垂直可得，故，因为在上为减函数， 所以面积的取值范围为.【点睛】本题关键在面积的表示及运算，结合换元法解决最后分式不等式的范围问题.