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浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(Word版附解析)

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镇海中学2023学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一、单选题,本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数在处的导数是()A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】先对函数求导后,再将代入导函数中可求得结果.【详解】由,得,所以函数在处的导数是,故选:A2.设数列满足,则().A.4B.4C.D.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系代入计算即可.【详解】由,则,则,,则.故选:D.3.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.【详解】由题意可得:,解得,所以的取值范围为.故选:A.4.2023年10月17~18日,第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行,有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年,中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元,则2022年进出口累计总额(保留1位小数)约为().参考数据:A.17.9万亿B.19.1万亿C.20.3万亿D.21.6万亿【答案】B【解析】【分析】根据给定信息,构建等比数列,再求出其中的项即可.【详解】依题意,从2013年到2022年每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列,其中,公比,所以2022年进出口累计总额为(万亿).故选:B5.函数图象与直线恰有两个不同的交点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数探讨函数的性质,并求出函数值集合即可得解.【详解】函数的定义域为R,求导得,当时,,函数递减,函数值集合,当时,,函数递增,函数值集合为, 当时,函数取得最小值,如图,所以函数图象与直线恰有两个不同的交点时,.故选:B6.已知,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数可得,据此判断,再由判断即可得解.【详解】令,则,可知时,时,故在上单调递减,在上单调递增,可知,所以,时等号成立,所以,故;又,当时等号成立,则,故.综上,.故选:C7.已知是椭圆的左、右焦点,为坐标原点,是椭圆上的点(不在坐标轴上),的平分线交于,且,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义及角平分线定理求,再由即可求解.【详解】如图,由椭圆可知,,即,由内角平分线定理可知,,又,则,即,所以,即,解得,所以.故选:B8.已知无穷正整数数列满足,则的可能值有()个A.2B.4C.6D.9【答案】C【解析】【分析】变形给定的递推公式,由,推导出矛盾,从而得,再代入即可分析求解.【详解】由,得,当时,,两式相减得,即,于是,依题意, 若,有,则,即是递减数列,由于是无穷正整数数列,则必存在,使得与矛盾,因此,即,于是数列是周期为2的周期数列,当时,由,得,即,从而,所以的可能值有6个.故选:C【点睛】思路点睛:涉及给出递推公式探求数列性质问题,认真分析递推公式并进行变形,结合已知条件探讨项间关系而解决问题.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.定义在上的可导函数的导函数图象如图所示,下列说法正确的是()A.B.函数的最大值为C.1是函数的极小值点D.3是函数的极小值点【答案】AC【解析】【分析】由的图象对选项一一判断即可得出答案,【详解】由的图象可知,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减, 则,故A正确;由,故B错误;因为在上单调递减,在上单调递增,故1是函数的极小值点,故C正确;当时,的符号未发生改变,故3不是函数的极小值点,故D错误.故选:AC.10.已知数列的前项和为,则()A.若为递减等比数列,则的公比.B.“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件C.若为等比数列,则可能为等比数列D.若对于任意的,数列满足,且各项均不为0,则为等比数列【答案】BD【解析】【分析】取特殊数列可判断AC,利用等差数列的定义及等差数列的求和公式判断B,令,根据等比数列定义判断D.【详解】取,则为递减等比数列,公比,故A错误;若为等差数列,则,所以,故(常数),故为等差数列,若为等差数列,则,即,所以,两式相减得,所以,故(常数),所以为等差数列,所以“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件,故B正确; 若,满足为等比数列,此时,当时,,所以,不是等比数列,故C错误;任意的,满足,不妨取,则,因为各项均不为0,所以(不为0的常数),故为等比数列,故D正确.故选:BD11.已知数列满足,设,记的前项和为,的前项和为,则()A.为等比数列B.为等比数列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据条件化简得判断B,取对数后可判断A,根据等比数列求和公式判断C,放缩后利用等比数列求和可判断D【详解】由,则,则,则,即,由,则,即,(不是常数),故A对B错;由为等比数列,故,,故C正确;又,则 ,当时,成立,综上,故D正确.故选:ACD12.已知分别为双曲线的左、右焦点,点为双曲线右支上任意一点,点,下列结论中正确的是()A.B.的最小值为C.过与双曲线有一个公共点直线有3条D.若,则的面积为5【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线定义判断A,根据双曲线定义及图象可判断B,根据双曲线的性质判断C,根据定义及直角三角形判断D.【详解】如图,由双曲线方程知,所以由双曲线定义知,故A正确;因为,所以,, 由,故B正确;过M与两渐近线平行的直线仅1个交点,过M与左支相切与右支无交点的直线有1条,过M与右支相切且与左支无交点的直线有1条,故共有4条,故C错误;若,则,即,所以,解得,所以,故D正确.故选:ABD【点睛】本题C选项也可以通过设直线联立双曲线方程采用纯代数的方法进行判断,选项D可以直接利用焦点三角形的面积公式判断.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列为等比数列,,则______.【答案】48【解析】【分析】根据等比数列的定义及通项公式可得解.【详解】由题意,,所以.故答案为:4814.设函数在处可导且,则______.【答案】【解析】【分析】由导数的概念求解即可.【详解】由.故答案为:.15.设等差数列的前项和为,满足,数列中最大的项为第______项. 【答案】6【解析】【分析】根据给定条件,结合等差数列的性质求出最大项,的最小项得解.【详解】依题意,,,显然,且,等差数列的公差,即数列是递减数列,前6项均为正数,从第7项起为负数,数列的最大项为,是数列中的最小项,且,所以数列中最大的项为,是第6项.故答案为:616.若函数在区间上有单调递增区间,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意转化为在上有解,分离参数后求函数最值即可得解.【详解】,由题意在上有解,即在上有解,根据对勾函数的性质可知,在上单调递增,所以在时取最大值,故,故实数的取值范围是.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列,现在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列.(1)求新数列的通项公式;(2)16是新数列中的项吗?若是,求出是第几项,若不是,说明理由. 【答案】(1)(2)不是【解析】【分析】(1)求出原等差数列的通项公式,利用求解;(2)根据数列的通项公式求解即可.【小问1详解】设已知的等差数列为,易知,则,则,由题意知:,则.【小问2详解】令,故不是新数列中的项.18.已知函数在处取到极小值.(1)求的值;(2)求曲线在点处的切线方程.【答案】(1)(2)【解析】分析】(1)根据极小值列出方程组即可得解;(2)求出切点处导数可得切线斜率,据此写出切线方程即可.【小问1详解】因为,则, 即,当时,,时,,时,,故在处取到极小值,所以满足题意.【小问2详解】由(1)知,,则,故切线方程为:,即.19.已知抛物线上的点到其焦点的距离为2.(1)求的方程及焦点的坐标.(2)过点的直线交抛物线于两点,且的面积为8,求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意结合抛物线的定义可求出,则可得抛物线方程,然后代入点P横坐标即可求得;(2)由题意可知直线斜率存在,设出直线方程以及交点坐标,将直线方程带入抛物线方程化简利用根与系数的关系,代入面积公式即可求得.【小问1详解】由抛物线的定义可得:,解得,所以抛物线的方程为.【小问2详解】由题意可设直线方程为,,,由,得, 所以,,,因为.所以,得,故直线的方程为:.20.已知等差数列和正项等比数列满足:,,.(1)求数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意,列出方程组求出公差、公比即可得解;(2)根据错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列的公差为,数列的公比为,则,消元得或(舍去),故,故.【小问2详解】 由,则①②①②得:故.21.已知函数.(1)当时,求函数的最小值;(2)若对任意的恒成立,求整数的最大值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当时,,对求导,比较与的大小,即可得出的单调性,进而求出函数的最小值;(2)由可得,令,分类讨论和,结合恒成立可得答案.【小问1详解】当时,,,令,解得:;令,解得:;所以在上单调递减,在上单调递增,所以.【小问2详解】由可得:,即, 记,,若,即,,则在上单调递增,又时,,不合题意;若,即,令,则,令,则,则在上单调递减,在上单调递增,,令,,则令,解得:,令,解得:;所以在上单调递减,在上单调递增,且,故整数的最大值为.22.已知双曲线的左右顶点分别为点,其中,且双曲线过点.(1)求双曲线的方程;(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点,过点作垂直于轴的直线,交线段于点,点满足.证明:直线过定点,并求出该定点.【答案】22.23.证明见解析,【解析】【分析】(1)根据题意求出,代入点C求出即可得解;(2)设的方程,得出坐标,求出,化简计算可得,据此得证.【小问1详解】由,则, 又,则,所以,故双曲线的方程为:.【小问2详解】如图,由,则方程,显然直线DE的斜率存在,设直线方程为:,则,则,由,则,则,,联立,则,则所以, 故,故过定点.【点睛】关键点点睛:本题求定点问题,方法与一般方法有差异,先求的斜率,再利用根与系数的关系,证明是问题的关键点与难点,据此得出,再由此得出定点为B.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-12-22 20:50:02 页数:17
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文章作者:随遇而安

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