浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

镇海中学2023学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数在处的导数是（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】先对函数求导后，再将代入导函数中可求得结果.【详解】由，得，所以函数在处的导数是，故选：A2.设数列满足，则（）．A.4B.4C.D.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系代入计算即可.【详解】由，则，则，，则.故选：D.3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.【详解】由题意可得：，解得，所以的取值范围为.故选：A.4.2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）．参考数据：A.17.9万亿B.19.1万亿C.20.3万亿D.21.6万亿【答案】B【解析】【分析】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可.【详解】依题意，从2013年到2022年每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列，其中，公比，所以2022年进出口累计总额为（万亿）.故选：B5.函数图象与直线恰有两个不同的交点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数探讨函数的性质，并求出函数值集合即可得解.【详解】函数的定义域为R，求导得，当时，，函数递减，函数值集合，当时，，函数递增，函数值集合为， 当时，函数取得最小值，如图，所以函数图象与直线恰有两个不同的交点时，.故选：B6.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数可得，据此判断，再由判断即可得解.【详解】令，则，可知时，时，故在上单调递减，在上单调递增，可知，所以，时等号成立，所以，故；又，当时等号成立，则，故.综上，.故选：C7.已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点（不在坐标轴上），的平分线交于，且，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义及角平分线定理求，再由即可求解.【详解】如图，由椭圆可知，，即，由内角平分线定理可知，，又，则，即，所以，即，解得，所以.故选：B8.已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（）个A.2B.4C.6D.9【答案】C【解析】【分析】变形给定的递推公式，由，推导出矛盾，从而得，再代入即可分析求解.【详解】由，得，当时，，两式相减得，即，于是，依题意， 若，有，则，即是递减数列，由于是无穷正整数数列，则必存在，使得与矛盾，因此，即，于是数列是周期为2的周期数列，当时，由，得，即，从而，所以的可能值有6个.故选：C【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质问题，认真分析递推公式并进行变形，结合已知条件探讨项间关系而解决问题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.函数的最大值为C.1是函数的极小值点D.3是函数的极小值点【答案】AC【解析】【分析】由的图象对选项一一判断即可得出答案,【详解】由的图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则，故A正确；由，故B错误；因为在上单调递减，在上单调递增，故1是函数的极小值点，故C正确；当时，的符号未发生改变，故3不是函数的极小值点，故D错误.故选：AC.10.已知数列的前项和为，则（）A.若为递减等比数列，则的公比．B.“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件C.若为等比数列，则可能为等比数列D.若对于任意的，数列满足，且各项均不为0，则为等比数列【答案】BD【解析】【分析】取特殊数列可判断AC，利用等差数列的定义及等差数列的求和公式判断B，令，根据等比数列定义判断D.【详解】取，则为递减等比数列，公比，故A错误；若为等差数列，则，所以，故（常数），故为等差数列，若为等差数列，则，即，所以，两式相减得，所以，故（常数），所以为等差数列，所以“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件，故B正确； 若，满足为等比数列，此时，当时，，所以，不是等比数列，故C错误；任意的，满足，不妨取，则，因为各项均不为0，所以（不为0的常数），故为等比数列，故D正确.故选：BD11.已知数列满足，设，记的前项和为，的前项和为，则（）A.为等比数列B.为等比数列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据条件化简得判断B，取对数后可判断A，根据等比数列求和公式判断C，放缩后利用等比数列求和可判断D【详解】由，则，则，则，即，由，则，即，（不是常数），故A对B错；由为等比数列，故，，故C正确；又，则 ，当时，成立，综上，故D正确.故选：ACD12.已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（）A.B.的最小值为C.过与双曲线有一个公共点直线有3条D.若，则的面积为5【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线定义判断A，根据双曲线定义及图象可判断B，根据双曲线的性质判断C，根据定义及直角三角形判断D.【详解】如图，由双曲线方程知，所以由双曲线定义知，故A正确；因为，所以，， 由，故B正确；过M与两渐近线平行的直线仅1个交点，过M与左支相切与右支无交点的直线有1条，过M与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C错误；若，则，即，所以，解得，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】本题C选项也可以通过设直线联立双曲线方程采用纯代数的方法进行判断，选项D可以直接利用焦点三角形的面积公式判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列为等比数列，，则______．【答案】48【解析】【分析】根据等比数列的定义及通项公式可得解.【详解】由题意，，所以.故答案为：4814.设函数在处可导且，则______．【答案】【解析】【分析】由导数的概念求解即可.【详解】由.故答案为：.15.设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第______项． 【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质求出最大项，的最小项得解.【详解】依题意，，，显然，且，等差数列的公差，即数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，且，所以数列中最大的项为，是第6项.故答案为：616.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.【详解】，由题意在上有解，即在上有解，根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，故，故实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列．（1）求新数列的通项公式；（2）16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 【答案】（1）（2）不是【解析】【分析】（1）求出原等差数列的通项公式，利用求解；（2）根据数列的通项公式求解即可.【小问1详解】设已知的等差数列为，易知，则，则，由题意知：，则.【小问2详解】令，故不是新数列中的项.18.已知函数在处取到极小值．（1）求的值；（2）求曲线在点处的切线方程．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据极小值列出方程组即可得解；（2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可.【小问1详解】因为，则， 即，当时，，时，，时，，故在处取到极小值，所以满足题意.【小问2详解】由（1）知，，则，故切线方程为：，即.19.已知抛物线上的点到其焦点的距离为2．（1）求的方程及焦点的坐标．（2）过点的直线交抛物线于两点，且的面积为8，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，然后代入点P横坐标即可求得；（2）由题意可知直线斜率存在，设出直线方程以及交点坐标，将直线方程带入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入面积公式即可求得.【小问1详解】由抛物线的定义可得：，解得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由题意可设直线方程为，，，由，得， 所以，，，因为．所以，得，故直线的方程为：.20.已知等差数列和正项等比数列满足：，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组求出公差、公比即可得解；（2）根据错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为，则，消元得或（舍去），故，故.【小问2详解】 由，则①②①②得：故.21.已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求整数的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，，对求导，比较与的大小，即可得出的单调性，进而求出函数的最小值；（2）由可得，令，分类讨论和，结合恒成立可得答案.【小问1详解】当时，，，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.【小问2详解】由可得：，即， 记，，若，即，，则在上单调递增，又时，，不合题意；若，即，令，则，令，则，则在上单调递减，在上单调递增，，令，，则令，解得：，令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，且，故整数的最大值为.22.已知双曲线的左右顶点分别为点，其中，且双曲线过点．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点．【答案】22.23.证明见解析，【解析】【分析】（1）根据题意求出，代入点C求出即可得解；（2）设的方程，得出坐标，求出，化简计算可得，据此得证.【小问1详解】由，则， 又，则，所以，故双曲线的方程为：.【小问2详解】如图，由，则方程，显然直线DE的斜率存在，设直线方程为：，则，则，由，则，则，，联立，则，则所以， 故，故过定点.【点睛】关键点点睛：本题求定点问题，方法与一般方法有差异，先求的斜率，再利用根与系数的关系，证明是问题的关键点与难点，据此得出，再由此得出定点为B.