浙江省宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

宁波效实中学2023学年第一学期高一数学期中考试卷考生须知：1．本卷满分100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“，”的否定为“，”.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由可得，解得或，因为成立推不出或，而或成立不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D3.函数（）的图象必经过点（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】令即可求解.【详解】令，则，代入函数，解得，则函数（）的图象必经过点.故选：D4.设，，则的值为（）A.B.C.27D.26【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为，，所以，故选：B5.函数的图象可以看成将某个奇函数的图象（）A向左平移1个单位得到B.向左平移个单位得到C.向右平移1个单位得到D.向右平移个单位得到【答案】B【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】可以由向左平移个单位得到，其中定义域为且，即为奇函数.故选：B6.函数的定义域为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得：，因为，原不等式等价于，等价于，解得或，所以函数的定义域为.故选：C.7.若不等式对任意实数恒成立，则实数的最小值为（）A.0B.4C.D.5【答案】D【解析】【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．【详解】当时，恒成立，即恒成立，令，当且时，，则，当且时，，则，可得在上单调递减，在上单调递增，又，所以最大值为，∴，则实数的最小值为5．故选：D． 8.已知函数，，则使成立的实数m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，，由解得，所以的定义域为.由，解得，所以的定义域为，由于，所以是偶函数.当时，为增函数，所以当时，为减函数.由得，所以，解得.故选：A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.下列函数与表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可．【详解】的定义域为．，与定义域与对应关系均相同，故A正确；，与定义域与对应关系均相同，故B正确；的定义域为，与定义域不同，故C错误；的定义域为，与定义域不同，故D错误．故选：AB．10.下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断.【详解】对A，若，则，A正确；对B，若，则，则，B正确；对C，若，，设，此时，C错误；对D，若，，则，则，D正确. 故选：ABD11.已知正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为4C.的最大值为D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断、、、的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.【详解】对A，由，又，所以，当且仅当时等号成立，A错误；对B，，当且仅当时等号成立，B正确；对C，由得，即，当且仅当时等号成立，C错误；对D，由，当且仅当时等号成立，D正确.故选：BD12.已知函数，，用表示m，n中的最大值，，记函数，则下列选项中正确的是（）A.方程有3个解B.方程最多有4个解C.的解集为÷D.方程在上的根为【答案】ABC【解析】 【分析】根据定义求得的表达式，作出的图象，利用图象可判断ABD，结合的图象分类讨论解不等式判断C．【详解】由得或，即此时，时，，作出的图象，如图，由图象可知，有两个解，有一个解，即有3个解，A正确；例如时，由得或，显然与都有2个解，因此有4个解，又与都最多有2个解，因此B正确；作出的图象和直线，如下图，由得，由，解得或，结合的图象与直线知C正确； 时，，由得的解是（舍去），时，，由得（舍去），时，由得，无解，时，由得，化简或，或，只有符合题意，其它均舍去，因此在上的解是和，D错．故选：ABC．第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．13.已知，则解析式为______________．【答案】【解析】【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】令，则，可得，所以.故答案为：.14.已知集合，若，则实数a的值为______________．【答案】或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意，，若，此时，符合题意；若，则，此时，不符合题意；若，则或，时，，不符合题意；时，，符合题意，综上，或.故答案为：或0.15.设函数在区间上单调递增，则a的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，故需在区间上单调递增，即，即.则a的取值范围是.故答案为：16.函数，的值域为______________． 【答案】【解析】【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为，整理得，可知关于x的方程有正根，若，则，解得，符合题意；若，则，可得或，解得或且，则或或；综上所述：或，即函数，的值域为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】【小问2详解】因为，所以，即，所以，即，所以.18.设集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】18.或19.且【解析】【分析】（1）求集合与，再结合并集的概念计算即可；（2）因为，所以， 分和两种情况讨论，由列不等式组，求解集即可.【小问1详解】由题意得，当时，，所以或，所以或.【小问2详解】因为，所以，当，即时，，满足.当时，，不满足题意，当，即时，要使成立，只需即.综上，当时，m的取值范围是且.19.已知函数．（1）判断在上单调性并证明；（2）当时，，且，，求的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明，设，且，；（2）由转化为，设时，则，代入解析式，即可求解.【小问1详解】设，且，， ，，则，即，所以上单调递增.【小问2详解】当时，，由，，即，当时，则，则，则当时，，故函数的解析式为.20.（1）若，，求实数a的取值范围；（2）若，，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.【详解】（1）因为，，①当时，不等式对成立，符合题意.②当时，若不等式对恒成立，则，解得，综上，实数a的取值范围.（2），， 即，，所以，而在上单调递增，所以，解得，故实数x的取值范围.21.已知函数．（1）若在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求在区间上的最大值．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分和两种情况，结合分段函数单调性分析求解；（2）分类讨论在区间上的单调性，结合单调性求最值.【小问1详解】因为在R上单调递增，则有：若，则，因为在定义域内单调递增，且，所以符合题意；若，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围.【小问2详解】因为，则，（i）若，可知在上单调递增，最大值为；（ⅱ）若，则开口向上，对称轴，可知在上单调递增，最大值为；（ⅲ）若，则开口向下，对称轴，①当，即时，可知在上单调递减，最大值为；②当，即时，可知在上单调递增，最大值为；③当，即时，可知在上单调递增，在上单调递减，所以最大值为；综上所述：若，在区间上的最大值为；若，在区间上的最大值为；若，在区间上的最大值为.22.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．（1）请用描述法写出满足方程解集；（直接写出答案即可）（2）解不等式；（3）探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为大于1的正整数（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解.【小问1详解】依题意，，当时，，则方程无解，当为内的无理数时，，则方程无解，当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数，则由方程，解得，为大于1的正整数，综上，方程的解集为为大于1的正整数.【小问2详解】若或或为内无理数时，，而，此时，若(为既约真分数)，则，为大于1的正整数，由，得，解得， 又因为(为既约真分数)，所以，综上，不等式的解为.【小问3详解】存在非零实数，使得为偶函数，即为偶函数，证明如下：当或时，有成立，满足，当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足，当(为既约真分数)，则为既约真分数，所以，满足，综上，对任意，都有，所以关于对称，即，则为偶函数，所以，存在非零实数，使得为偶函数.