浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

北仑中学2023学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（全年级+外高班使用）命题：高二数学备课组审题：高二数学备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据列举法求出古典概型的概率.【详解】同时抛掷3枚质地均匀的的硬币，因为每枚硬币均有正反两种情况，故共有8种情况，如下：“正，正，正”，“正，正，反”，“正，反，正”，“反，正，正”，“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，“反，反，反”，其中出现的结果为“一正两反”的情况有“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，故出现的结果为“一正两反”的概率为.故选：C2.点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（）A.(－a－1，－b－1)B.(－b－1，－a－1)C.(－a，－b)D.(－b，－a)【答案】B【解析】【分析】结合中点和斜率求得对称点的坐标.【详解】设对称点为，则.所以对称点的坐标为.故选：B.3.如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线 的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，对于A，，，，与不垂直，A不是；对于B，，，，，B是； 对于C，，，，与不垂直，C不是；对于D，，，，与不垂直，D不是.故选：B4.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（    ）A.7B.8C.8.5D.9【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.【详解】将数据从小到大排序为：，，所以第百分位数为.故选：B5.若直线与圆相切，则（）A.9B.8C.7D.6【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.【详解】圆的圆心，半径，依题意，，解得，所以.故选：A6.在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（）A.B.平面C.D.是锐角【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，，，，所以，A正确； 因为，平面，平面，所以平面，B正确；，所以，所以，C正确；，当时，，此时为钝角，故D错误.故选：D7.已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意可作图如下：由图可知：，由平分，则，所以，由，则解得，由是关于直线的对称点，则共线，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化简可得：，所以其离心率.故选：C.8.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先判断出点的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式求解即可.【详解】取AB中点P，连接PC，C1N，如图，因为PC⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，过N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，当点M从点C运动到点C1时，点是以PN为直径的圆(部分)，如图， 当M运动到点时，点到最高点，此时，所以，从而，所以弧长，即点的轨迹长度为.故选:B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A.B.与互斥C.与相互独立D.与互为对立【答案】ACD【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D．【详解】设2个白球为，2个黑球为，则样本空间为：，共12个基本事件.事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共8个基本事件，对于A，由，故A正确；对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为，，，则，故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因，，所以事件A与D互为对立，故D正确．故选：ACD．10.已知曲线的方程为，则（）A.曲线可能是直线B.当时，直线与曲线相切C.曲线经过定点D.当时，直线与曲线相交【答案】ACD【解析】【分析】当时，写出曲线的方程，可知表示直线，故A正确；将曲线的方程转化为，令求出，即可判断C选项；当时，得曲线的方程，可知此时曲线表示圆，且圆心为，半径，利用点到直线的距离公式，分别求出到直线和到直线的距离，并与比较，从而可判断直线与圆的位置关系，即可判断BD选项.【详解】解：当时，曲线的方程为：，表示直线，故A正确；由，得，令，得，所以曲线经过定点，故C正确；当时，曲线的方程为：，即， 此时曲线表示圆，且圆心为，半径，因为到直线的距离，所以直线与曲线不相切，故B错误；到直线的距离，所以直线与曲线相交，故D正确.故选：ACD.11.如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（）A.B.可能为C.的最大值为D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】由题设结合余弦定理可得，进而有，再由线面垂直判定、性质判断A；构建空间直角坐标系，应用线线角的向量求法求、的余弦值或范围判断B、C；向量法直线位置关系判断D.【详解】由题设，四边形为等腰梯形，且，由， 所以，又，结合题图知：，即，所以，则，即，由题设面，面，则，，面，故面，面，所以，A对；由两两垂直，可构建如下图示的空间直角坐标系，若，则，所以，则，所以不可能为，B错；由，则，故，令，则，所以，C对； 时，显然，即，D对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用已知及线面垂直的性质、判定确定两两垂直，应用向量法判断其它各项为关键.12.已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】设，设，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得及的最值，可得答案.【详解】由，可得，又，是椭圆上两个不同点,可得，设，则，设,O为坐标原点，可得，,可得，且，所以，，又，可得两点均在圆的圆上，且， 设的中点为，则,根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，则，可得的最大值为，的最小值为；可得，可得的最大值为，最小值为，故A正确，B错误；同理，为点两点到直线的距离之和，设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，则，，可得，可得的最大值为 ，最小值为，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线与平行，则与之间的距离为_______【答案】【解析】【分析】首先根据两条直线平行求出参数，再有两平行线间的距离公式即可求解.【详解】由直线与平行，则，即，故直线，化为，又，故与之间的距离为，故答案为：【点睛】本题主要考查两条直线平行斜率的关系以及两平行线间的距离公式，属于基础题.14.已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________. 【答案】【解析】【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时与直线垂直，写出所在直线方程，与直线的方程联立，求得点坐标，然后写出以为直径的圆的方程，再与圆的方程联立可得所在直线方程．【详解】解：的圆心，半径，四边形面积，要使最小，则需最小，当与直线垂直时，最小，此时直线的方程为，联立，解得，则以为直径的圆的方程为，则两圆方程相减可得直线的方程为．故答案为：．15.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设为独孤队第局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，，所以独孤队取胜的概率．故答案为：16.已知正方体的棱长为1，为底面的中心，分别为棱和的 中点，则四面体的体积为__________．【答案】【解析】【分析】通过转换顶点法、割补法，结合三棱锥的体积公式求得正确答案.【详解】过作的平行线，分别与棱，交于点，连接，并取的中点，连接，则，根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以平面，所以，又，所以故答案：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的件工艺品测得重量（单位：）数据如下表： 分组合计频数42628102100频率（1）求出频率分布表中实数，的值；（2）若从重量范围在的工艺品中随机抽选件，求被抽选件工艺品重量均在范围中的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据频数、频率的知识求得.（2）利用古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】；.【小问2详解】重量范围在的工艺品有件，重量范围在的工艺品有件，所以从重量范围在的件工艺品中，随机抽选件的方法数有（种），所以被抽选件工艺品重量均在范围中的概率为.18.已知直线过点，并且与直线平行．（1）求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，为原点，且，求实数的值．【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）利用点斜式即得所求直线的方程；（2）将直线与圆的方程联立，利用韦达定理法，将转化为点的坐标，代入根与系数关系，从而求得参数的值.【详解】（1）∵直线与直线平行，∴直线斜率为，其方程为，即直线的方程为；（2）由，消去得，设，则，∵，∴，∴，即，∴，解得，满足，∴.19.在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，．（1）证明：∥平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在棱上取点，使得，连接，，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明；（2）以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，因为，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】 若，则可设，所以．以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，则，，，设平面的法向量为，则由得令，得平面的一个法向是为，设直线与平面所成角的大小为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．20.设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）设椭圆：，曲线切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用平面向量的模的几何意义、椭圆的定义、椭圆的标准方程运算即可得解.（2）利用直线与椭圆的位置关系、点到的直线距离公式、三角形面积公式运算即可得解.【小问1详解】解：如上图，由题意，∵，，∴即为点与点的距离，即为点与点的距离，∴由可得，∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且长轴长为，，则，∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为.【小问2详解】解： 如上图，由题意，直线是曲线：的切线，∴由可得：，则，化简得：.由题意，直线交椭圆：于、两点，∴由可得：，设、，则，，∴，又∵，∴.且由知，∴.又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵，∴，即的面积为定值.【点睛】方法点睛：直线与椭圆的相交弦长的求解方法：1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.2.当直线的斜率存在时，斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种：（1）；（2）（）.21.如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求；（2）当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，由直线与垂直，即可列式求解；（2）设平面与平面的夹角为，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向 量夹角公式即可求解．【小问1详解】在图2中，取中点，中点，连接，，因为即，所以,所以,又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由题意可知,以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，则，所以，，，，所以，，因为直线与垂直，所以，即，解得：（舍）或，所以，，所以图1中点在靠近点的三等分点处，所以，所以； 【小问2详解】设平面与平面的夹角为，平面的法向量，，，设平面的法向量，则，即，取，得，,得，所以，所以，所以无论点的位置如何，平面与平面的夹角余弦值都为定值．22.椭圆：的上顶点为，圆：在椭圆内．（1）求的取值范围；（2）过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求的最大值，并计算出此时圆的半径．【答案】（1）（2），【解析】 【分析】（1）联立椭圆与圆的方程，消去得到，再利用条件即可求出结果；（2）先利用直线与圆的位置关系得出切线与的斜率间的关系，再联立直线、与椭圆的方程，求出两点坐标，再求出的坐标，再利用直线是圆和以为圆心，为半径的圆的公共弦，从而求出坐标，进而得到，再利用基本不等式即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆：，圆：在椭圆内，联立，消得到，所以，解得，所以，【小问2详解】由题知，切线，的斜率均存在，不妨设过与圆相切的直线方程为，所以，整理得到，易知切线有两条，故，即且，又由（1）知，所以，不妨设切线，的斜率分别为，则由韦达定理知，，由，消，得到，所以，，故，同理可得，则 ,所以直线的方程为，令，得到，整理得到，又，所以，所以，又因为，，所以，以为圆心，为半径的圆的方程为，又圆：，两方程相减得，因为是两圆的公共弦，故直线方程为，令得到，所以，所以，令，则，又，当且仅当，即时取等号，由，得到，所以，又，所以，故的最大值为，此时圆的半径为． 【点睛】关键点晴，求出以为圆心，为半径的圆的方程，再利用为两圆公共弦，求出直线的方程，得到坐标，再联立直线与椭圆的方程得出坐标，进而求出的坐标，从而得出.