高考数学方法技巧第26讲 含参不等式的存在性与恒成立问题（解析版）

第26讲含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.方法一判别式法万能模板内容使用场景含参数的二次不等式解题模板第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.例1设，当时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】第一步，首先将所求问题转化为二次不等式；第二步，运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；解得.第三步，得出结论.综上可得实数的取值范围为.【变式演练1】【百校联考高考考前冲刺必刷卷】已知集合，若,中只有一个元素，则实数的值为（）A．0B．0或C．0或2D．2【答案】C【分析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.【详解】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，即抛物线与轴只有一个交点，∴，∴或2.故选：C【变式演练2】【安徽省皖江名校联盟高三第二次联考】对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先根据不等式恒成立，对二次项系数是否为零进行讨论，结合图形的特征，列出式子求得结果.【详解】对，不等式恒成立，当时，则有恒成立；当，且，解得.实数的取值范围是.故选：B.方法二分离参数法万能模板内容使用场景对于变量和参数可分离的不等式解题模板第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论.例2已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（）,A．B．C．D．【答案】D【变式演练3】【江苏省苏州市新草桥中学高三上学期10月月考】正数，满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先利用基本不等式求得的最小值，再把问题转化为恒成立的类型，最后求解的最大值即可.【详解】因为，所以，且，为正数，所以，当且仅当，即，时，取等号，所以，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，因为，所以，故选：A.【变式演练4】【北京市人大附中高三年级10月数学月考】已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】化简方程，分离参数，利用数形结合即可求解【详解】方程在区间上有解，当时，方程无解；,当时，则有，令，，即在时为减函数，由于，所以，当时，，所以，只要，方程在区间上有解故选：A方法三函数性质法万能模板内容使用场景对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步得出结论.例3设函数，若时，，求的取值范围.【答案】【变式演练5】【云南省昆明市第一中学高中新课标高三第二次双基检测】记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数解析式，先求出；令，根据函数奇偶性的定义，判定是奇函数；根据导数的方法判定是增函数；化所求不等式为，进而可求出结果.【详解】由解得，即，令，则，,则是R上的奇函数；又显然恒成立，所以是增函数；由得，即，即，由是R上的奇函数且为增的函数，所以得：.所以，当时，.所以.故选：A.【反馈练习】1．【陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次高考适应性考试】不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】求得时的取值范围，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.【详解】由于是的对称轴，所以当时，.所以，解得.故选：A2．【吉林省通榆县第一中学高三上学期第二次月考】若命题“∃x∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求出命题的否定，利用其为真命题及二次函数的性质，列不等式求解.,【详解】解：命题“∃x∈R，使”是假命题，则命题“x∈R，使”是真命题，，解得.故选：B3．【河北省邯郸市高三上学期摸底】若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果.【详解】由题意，当时，命题成立；当时，，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：B.4．【江西省上高二中高三上学期第一次月考】已知函数，若对于，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】A【分析】根据的解析式可得该函数是偶函数且在是增函数，据此求解不等式；将问题转化为一元二次不等式在区间上恒成立的问题，从而处理.【详解】由题意，函数的定义域为R，且,所以函数是上的偶函数，且在上单调递增，又由，所以不等式对于恒成立，等价于对于恒成立，即①②对于恒成立．令，则，解得或时①式恒成立；令，令，则当时，即时②式恒成立；当，即时，不满足②式；当，即或时，由，，且或，知不存在使②式成立．综上所述，实数的取值范围是．故选：A.5．【天津市第七中学高三上学期第一次月考】若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．D．【答案】C【分析】讨论二次项系数或，当时，只需满足，解不等式即可.【详解】当时，不等式对于一切实数x恒成立，满足题意；当时，则，即，解得，,综上所述，实数a的取值范围是.故选：C6．【海南省临高中学高三上学期第一次月考】若不等式在区间上有解，则的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意可得，求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.【详解】当时，由可得，由题意可得.函数在区间上单调递减，则，.因此，实数的取值范围是.故选：A.7．设函数，当时，记的最大值为，若恒成立，则的最大值为（）A．eB．C．0D．【答案】C【分析】根据题意，取绝对值得到四种可能的函数解析式，并分别讨论四种情况下的函数的最大值，进而得，再解二次不等式即可得答案.【详解】∵取绝对值后有以下四种情况:，，，设,故在恒成立,∴函数在上单调递增,函数在上单调递减,,又∵函数在上为增函数,所以函数，在上为增函数,函数，在上为减函数,∴，，，∴∴，∴∵恒成立，∴，解得.∴的最大值为故选：C.8．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三三模数学（理）试题【答案】A【分析】不等式在上恒成立的两个临界状态是与相切和与相切时，故求两种状态下的值，即可得的取值范围．【详解】画出函数的图像如图所示.,在上恒成立即函数的图像恒在直线的图像的下方，且直线过定点，当直线与相切时，设切点，，可得，解得，则直线斜率为，即；当直线与相切时，此时由，得，令，得或（舍），所以由图像可知故选：A【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．9．若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】转化为求即可.【详解】不等式等价于存在，使成立，即设当时，所以.故选：A10．已知函数，，若，且对任意恒成立，则,的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【来源】山东省泰安肥城市高三高考适应性训练数学试题（一）【答案】B【分析】由不等式，参变分离为，转化为求函数，的最小值，利用导数求函数的最小值.【详解】，即.由于对任意恒成立，所以，即.令，，.令，，所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.所以.又，所以.故选：B.11．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】化简得，从而，，构造函数，有单调性得，再化简得，再构造函数，求得最大值即可.【详解】解：因为，所以，因为，所以，即，,设函数，，，所以函数在为增函数，所以所以，设函数，，所以函数在为增函数，在为减函数，所以，所以的最大值为，故选：A.12．已知函数，，其中e为自然对数的底数，若存在实数使得成立，则实数的值为（）A．B．C．D．【来源】河南省高三仿真模拟考试（三）数学（理）试题【答案】D【分析】先利用导数求出，再求出，解方程即得解.【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当两个不等式同时取等号时，等号成立.若存在实数使得成立，则，即.故选：D【点睛】方法点睛：最值问题常见的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.,要根据已知条件灵活选择方法求解.13．（多选题）【江苏省南京市玄武高级中学高三上学期学情检测】已知，若对任意的，恒成立，则实数的值可以为（）A．1B．2C．3D．4【答案】ABC【分析】将不等式转化为在恒成立，求出在区间的最小值即可求解.【详解】若对任意的，恒成立，即在恒成立，令，，，所以，又，所以.故选：ABC14．（多选）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是A．1B．2C．3D．4【答案】ABC【分析】利用换元法令，不等式可整理为在上恒成立，即，即，求函数的最小值即可得解.【详解】设，，则不等式对任意恒成立，即转化为不等式在上恒成立，即转化为在上恒成立，,由对勾函数知在上单减，，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性求出函数的最值是解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于一般题.15．【天津市南开中学高三上学期统练】设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】根据的解析式及题干条件，整理可得在上恒成立，利用二次函数的性质可求得的最小值为，则只需求即可，化简整理，即可得答案.【详解】由题意得在上恒成立，整理得在上恒成立，令，则，则，因为，则的最小值为，所以，整理可得，所以，即或，故答案为：.16．【浙江省新高考考前原创冲刺卷】已知不等式对任意的实数x均成立，则实数a的取值范围为________.,【答案】【分析】不等式对任意的实数x均成立，即恒成立，设，则，令，即在时恒成立，即，根据二次函数在闭区间上的最值的特点可得，的最大值一定为或，所以只需，从而得出答案.【详解】由可得.令，则，令，，即在时恒成立，即.由开口向上的二次函数的图象和性质知，当时，的最大值一定为或.所以，解得或.故答案为：17．【浙江省金华十校高三下学期4月模拟考试】设a，b∈R，若函数在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为_____．【答案】2【分析】求导得，依题意在上恒成立，先根据系数比例，令，可得，即a+b的最大值为2，再证明充分性，即当时，在上恒成立，综合即可得出结论．【详解】求导得，∵函数在区间上单调递增，∴在上恒成立，令解得或，将代入可得，即，则的最大值为2，下面证明可以取到，,令，则，且，，则，解得，，当，时，在上恒成立，故可以取到，综上，的最大值为2．故答案为：2．18．【广西防城港市防城中学高三10月月考】已知，若不等式对一切恒成立，则a的最大值为______.【答案】【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，利用参数分离法求出a的范围即可得到结论.【详解】∵不等式对一切恒成立，∴若，则.则不等等价为，，即，此时不等式恒成立，若，则，则不等式等价为，，即，则，设，∵，∴，,则，∴此时，若，则，则等价为，，即，∵，∴，，则不等式等价，即则在时，为增函数，∴，即，则，故a的最大值为，故答案为：.19．【上海市行知中学高三上学期10月月考】若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意将问题转化为对任意实数恒成立，进而得，解不等式即可得答案.【详解】解：因为对任意实数，不等式恒成立，故对任意实数恒成立，故只需满足，解得：或,所以实数的取值范围是.故答案为：20．【天津市和平区高三上学期期中】都成立.则的取值范围是_______．【答案】【分析】分类讨论，，时结合二次函数性质得解．【详解】时，不等式为，恒成立，时，则，解得，综上有．故答案为：．21．【湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）高三上学期期中】已知函数，若，使得，则的取值范围是________.【答案】【分析】转化为在时能成立，利用在上为递减函数，求出后可得解.【详解】，使得，等价于，即在时能成立，因为在上为递减函数，所以，所以.故答案为：.22．已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．【来源】浙江省普通高中强基联盟协作体高三下学期统测数学试题【答案】【分析】考虑两个函数，，由此确定，时，，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值．,【详解】设，，图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，时，，时，，时，，因此时，，时，，，所以①，②，由①得，代入②得，因为，此式显然成立．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值．23．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.【来源】重庆市江津中学高三下学期第二次适应性月考数学试题【答案】【分析】由，用分离参数变形，利用三角函数恒等变换化为的式子，然后换元，引入新函数，利用导数求得最小值得参数范围．【详解】因为，所以原不等式可变形为,令，则，.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.又，所以.故答案为：．24．已知函数（）.若存在，使得，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】先求导，由可得，分和两种情况进行讨论，求得的最小值，解不等式即可得解.【详解】求导可得，由，解得，（1）当，，时，，所以函数在区间上单调递增，所以当时，，，若存在，使得成立，则，即，而，所以不成立，故不符合题意.（2）当时，则，所以在上单调递减，,在上单调递增，所以，根据题意可得，所以，解得，又，所以，综上可得实数的取值范围为.故答案为：.25．【辽宁省营口第五中学高三上学期第二次月考】已知函数，，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得的最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到关于的含绝对值的不等式，求解即得；（2）根据和的范围化简得到含有参数的关于的一元二次不等式，利用二次函数的图象和性质，并根据不等式恒成立的意义得到关于实数的有关不等式（组），求解即得.【详解】解：（1）∵，∴，当且仅当时，取等号．∴原不等式等价于，解得或．故的取值范围是．（2）∵，∴，,∵，∴，，∴原不等式恒成立在上恒成立，令，得，且，得，又，得．故实数的取值范围是．26．【江苏省苏州市相城区高三上学期阶段性诊断】已知二次函数，满足且方程有两个相等实根.（1）求函数的解析式；（2）解不等式（3）当且仅当时，不等式恒成立，试求t，m的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由可得，再由方程有两个相等实根，可得，从而可求出的值，进而可求出的解析式；（2）直接解一元二次不等式可得结果；（3）不等式的解集为，由于当且仅当时，恒成立，即不等式的解集为，从而得且，进而可求得结果【详解】,解：（1）由于函数是二次函数，所以，又，所以，所以，又有两个相等实根，即有两个相等实根，所以，所以从而.（2）由（1）知，，所以不等式即为，解得.所以不等式的解集为（3）由（1）知，，所以不等式即为，化简得，又由于，所以，从而不等式的解集为又由于当且仅当时，恒成立，即不等式的解集为，所以且，从而解得.27．【西藏山南市第二高级中学高三上学期第一次月考】已知二次函数的最小值为1，且.（1）求的解析式，并写出单调区间；（2）当时，恒成立，试确定实数的取值范围.【答案】（1），增区间为，减区间为；（2）.【分析】（1）根据二次函数顶点式求得，进而求得的单调区间.（2）利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】（1）.∵是二次函数，且，∴其图像对称轴为直线.又最小值为，∴可设，又，∴.∴.∴的单调递增区间为，单调递减区间为.,（2）由已知得在上恒成立，化简得.设，则在区间上单调递减.∴在区间上的最小值为，∴.∴满足条件的实数的取值范围为.28．【重庆市西南大学附属中学高三上学期第一次月考】已知命题存在实数，成立（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）命题函数在区间内单调递增，如果是假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题得，利用基本不等式求函数的最小值即得解；（2）先求出命题为真时，，再根据是假命题求实数的取值范围.【详解】（1）由题得存在实数，成立，所以，因为，（当且仅当时取等），所以.（2）函数在区间内单调递增，当时，二次函数的对称轴为，所以二次函数在区间内单调递增，因为在区间内恒成立，所以.所以.当时，二次函数在区间内单调递减，,所以.因为在区间内恒成立，所以.所以.综上所述，.如果是真命题，则且，即.如果是假命题，所以.