高考数学方法技巧第25讲 含参数的“一元二次不等式”解法（解析版）
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第25讲含参数的“一元二次不等式”解法【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.类型一根据二次项系数的符号分类万能模板内容使用场景参数在一元二次不等式的最高次项解题模板第一步直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步分别求出其对应的不等式的解集；第三步得出结论.例1已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求的值．（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤当时，原不等式解集为（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0：不等式为，即第二步，分别求出其对应的不等式的解集：当时，原不等式的解集为；当时，方程的根为；所以当时，；②当时，，,③当时，，④当时，，学*科网第三步，得出结论：综上所述，原不等式解集为①当时，或；②当时，③当时，；④当时，；⑤当时，原不等式解集为.考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知的两根为，且，根据根与系数的关系，即可求出的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参数进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网【变式演练1】【湖北省黄冈市麻城市模拟】已知二次函数．（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（2）解关于的不等式（其中）．【答案】（1）a＜；（2）①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为．【分析】（1）不等式转化为，利用参数分离法得，即，再利用基本不等式求函数的最小值即可.（2）不等式，即，对进行分类讨论，由二次不等式的解法，即可得到所求解集.【详解】,(1)不等式即为：，当时，可变形为：，即.又，当且仅当，即时，等号成立，，即实数的取值范围是：（2）不等式，即，等价于，即，①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为．类型二根据二次不等式所对应方程的根的大小分类万能模板内容,使用场景一元二次不等式可因式分解类型解题模板第一步将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步得出结论.例2解关于的不等式（为常数且）.[来源:Z§xx§k.Com]【答案】时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为.若，，不等式的解集为学*科网试题分析：,先讨论时不等式的解集；当时，讨论与的大小，即分，，分别写出不等式的解集即可.【解析】第一步，将所给的一元二次不等式进行因式分解：原不等式可化为第二步，比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论：（1）时，不等式的解集为；（2）时，若，，不等式的解集为；若，不等式的解集为；学*科网若，，不等式的解集为；第三步，得出结论：时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为.若，，不等式的解集为考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.,【变式演练2】【北京市第八中学高三下学期期末】设，不等式的解集记为集合.（1）若，求的值；（2）当时，求集合.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理列等式可求得实数的值；（2）解方程可得或，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可求得集合.【详解】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，，由韦达定理可得，解得；（2）当时，由可得，解方程，可得或.①当时，即当时，或；②当时，即当时，原不等式为，则；③当时，即当时，或.综上所述，当时，或；当时，则；当时，或.类型三根据判别式的符号分类,万能模板内容使用场景一般一元二次不等式类型解题模板第一步首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步得出结论.例3设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．【答案】【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，(1)当k=0时，.(2)当k＞0时，△＜0，x.(3)当k＜0时，.第二步，讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集：故：当时，由B=R，显然有A，当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.，比较因为(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.(2)当k=1时，x.(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.第三步，得出结论：综上所述，k的取值范围是：【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式的符号分类.【变式演练3】在区间上,不等式有解，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【变式演练4】【湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学（文）试卷】若存在x∈[−2,3]，使不等式2x−x2≥a成立，则实数a的取值范围是（ ）,A．(−∞,1]B．(−∞,−8]C．[1,+∞)D．[−8,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设f(x)=2x−x2=−(x−1)2+1≤1，因为存在，使不等式2x−x2≥a成立，可知，所以，故选A．【反馈练习】1．【浙江省嘉兴市高三模拟】已知函数f(x)=x2+ax+b，集合A={x|f(x)≤0}，集合B={x|f(f(x))≤54}，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．[5,5]B．[−1,5]C．[5,3]D．[−1,3]【答案】A【解析】设B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，(m,n为f(x)=54的两根)，因为A=B≠∅，所以n=0且m≤fmin(x)，Δ=a2−4b≥0，于是f(n)=f(0)=54，b=54，Δ=a2−5≥0⇔a≤−5或a≥5，令t=f(x)，f(f(x))≤54⇒f(t)≤54⇒t2+at+54≤54⇒−a≤t≤0，即B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}={x|−a≤f(x)≤0}⇒m=−a，所以−a≤fmin(x)，即−a≤f(−a2)⇒a∈[−1,5]，即a∈[5,5]，故选A.点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合A=B≠∅，得出b和m=−a，即可求出实数a的取值范围.2．【湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中高三上学期9月联考】设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分类讨论求出集合，结合充分性、必要性的定义进行求解即可【详解】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.，当时，；当时，；,当，，，因为Ü，所以的充分不必要条件.故选：A3．【河南省高三6月联考全国1卷阶段性测试】关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.【详解】由题可知是不等式的解集的一个真子集.当时，不等式的解集为，此时Ü；当时，不等式的解集为，Ü，合乎题意；当时，不等式的解集为，由题意可得Ü，此时.综上所述，.故选：D.4．【吉林省长春市普通高中高三质量监测】若关于x的方程(lnx−ax)lnx=x2存在三个不等实根，则实数a的取值范围是A．(−∞,1e2−1e)B．(1e2−1e,0)C．(−∞,1e−e)D．(1e−e,0)【答案】C【解析】原方程可化为(lnxx)2−alnxx−1=0，令t=lnxx，则t2−at−1=0．设y=lnxx，则y'=1−lnxx2得，当0<x<e时，y'>0，函数单调递增；当x>e时，y'<0，函数单调递减．故当x=e时，函数有极大值，也为最大值，且ymax=1e．,可得函数y=lnxx的图象如下：∵关于x的方程(lnx−ax)lnx=x2存在三个不等实根，∴方程t2−at−1=0有两个根，且一正一负，且正根在区间(0,1e)内．令g(t)=t2−at−1=0，则有g(0)=−1<0g(1e)=1e2−ae−1>0，解得a<1e−e．∴实数a的取值范围是(−∞,1e−e)．选C．点睛：解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根的分布情况再转化成不等式的问题解决．对于本题中的t2−at−1=0根的情况，还要根据数形结合根据两函数图象交点的个数来判断．5．【浙江省高三五校联考】若“0<x<1”是“(x−a)[x−(a+2)]≤0”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）a．[−1,0]b．(−1,0)c．(−∞,0]∪[1,+∞)d．(−∞,−1)∪(0,+∞)【答案】a【解析】试题分析：依题意0<x<1⇒a≤x≤a+2，∴a≤0a+2≥1，∴−1≤a≤0.考点：充分必要条件.6．【山东省兖州市上学期期中】不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(−12,13)，则a＋b的值是(>b，二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+4x0+b=0成立，则a2+b2a−b的最小值为__________．【答案】42【解析】分析：x2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立，可得ab≥4；再由∃x0∈R，使ax02+4x0+b=0成立，可得ab≤4，所以可得ab=4，a2+b2a−b可化为a2+16a2a−4a，平方后换元，利用基本不等式可得结果.详解：∵已知a>b，二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a>0，且Δ=16−4ab≤0,∴ab≥4；再由∃x0∈R，使ax02+4x0+b=0成立，可得Δ=16−4ab≥0,∴ab≤4，∴ab=4，∴a>2,b=4a,a2+b2a−b=a2+16a2a−4a>0，令a2+16a2=t>8，则a2+b2a−b2=a2+16a2a−4a2=t2t−8=t−8+16+64t−8≥16+16=32,（当t=16时，等号成立），所以，a2+b2a−b2的最小值为32，故a2+b2a−b的最小值为32=42，故答案为42.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14.【江西省吉安市安福二中、吉安县三中10月联考】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集．（2）恒成立即恒成立，则，进而求得答案．【详解】解：（1）不等式可化为：，①当时，不等无解；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为.（2）由可化为：，必有：，化为，解得：.15．【江苏省无锡市青山高级中学上学期期中】已知函数（），且的解集为（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式，其中【答案】（1）；（2）m=0时，；时，；m=2时，,；时，【分析】（1）由题意可知，是方程的两个根，然后利用根与系数的关系可得，从而可求出的值，进而可得函数的解析式；（2）由（1）可得，然后分，，，四种情况解不等式即可【详解】解：（1）因为的解集为，所以是方程的两个根，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，即，当时，，解得，当时，不等式可化为，①当，即时，解得或，②当，即时，解得，③当，即时，解得或，综上，m=0时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；m=2时，不等式的解集为；时，不等式的解集为16．【上海市实验学校上学期期中】设关于的不等式和的解集分别为和.（1）求集合；（2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）不存在；理由见解析；（3）.,【分析】（1）解一元二次不等式能求出集合．（2）由，根据和分类讨论，得到不存在实数，使得．（3）由，根据和分类讨论，能求出实数的取值范围．【详解】解：（1）不等式可化为，解得或，所以不等式的解集为或；（2）当时，不等式化为，此时不等式无解，当时，，不等式的解集为，当时，，不等式的解集为，当时，，不等式化为，此时不等式无解，当时，，不等式的解集为，综上所述：当或时，，当或时，，当时，，要使，当时，，，或，无解，当时，，，，，无解，故不存在实数，使得．（3），当时，，或，即，解得或，此时实数的取值范围是，，，当时，或，即，解得，此时，实数的取值范围是．17．【重庆市缙云教育联盟上学期10月月考】已知函数（1）若，求函数的零点；（2）若在恒成立，求的取值范围；（3）设函数，解不等式.,【答案】(1)1；(2)(3)见解析【分析】（1）解方程可得零点；（2）恒成立，可分离参数得，这样只要求得在上的最大值即可；（3）注意到的定义域，不等式等价于，这样可根据与0，1的大小关系分类讨论．【详解】（1）当时，令得，，∵，∴函数的零点是1（2）在恒成立，即在恒成立，分离参数得：，∵，∴从而有：.（3）令，得，，因为函数的定义域为，所以等价于（1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是（2）当，即时，原不等式的解集是（3）当，即时，原不等式的解集是（4）当，即时，原不等式的解集是综上所述：当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是,当时，原不等式的解集是18．已知，设命题的不等式解集构成集合，命题的不等式解集构成集合（1）若是真命题，求集合（2）若，则的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解不等式，即可得集合；（2）对讨论解不等式即可得集合，再利用集合的包含关系求的取值范围即可.【详解】（1）因为，即，解得：，所以集合，（2）由得，方程的两个根为，，当时，，若，则，所以，当时，，满足，所以，当时，，若，则，所以，综上所述：的取值范围为，【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，利用集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.19．已知.（Ⅰ）若的解集为，求关于x的不等式的解集；（Ⅱ）解关于x的不等式.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）根据根与系数的关系求出，再由一元二次不等式的解法得出解集；（Ⅱ）分类讨论的值，由一元二次不等式的解法解不等式即可.【详解】,（Ⅰ）由题意得，解得.故原不等式等价于.即解得：或所以不等式的解集为.（Ⅱ）当时，原不等式可化为，解集为.当时，原不等式可化为解集为.当时，原不等式可化为当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为.20．，，．（1）当时，求的的取值范围；（2）解关于的不等式的解集；（3）对于任意的，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）当时，，当时，，当时，；（3）.【分析】（1）由题意得，从而可求出的取值范围；（2）由题意得，即，然后分，，求解即可；（3）由，得对称轴为，然后分和两种情况求出,的最小值，使其最小值大于，可求得的取值范围，或由等价于，构造函数，利用导数求其最小值即可【详解】解：（1）当时，∴，即∴∴（2）由，得，即，①当时，②当时，③当时，（3），恒成立法一：（！）当，即时∴，即∴（！！）当，即时即，无解由（！）（！！）得（法二），即等价于令,则，恒成立∴在单调递增∴∴即【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题，解题的关键是由，得对称轴为，然后分和两种情况求出的最小值，使其最小值大于，考查计算能力和分类讨论的思想，属于中档</x<1”是“(x−a)[x−(a+2)]≤0”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）a．[−1,0]b．(−1,0)c．(−∞,0]∪[1,+∞)d．(−∞,−1)∪(0,+∞)【答案】a【解析】试题分析：依题意0<x<1⇒a≤x≤a+2，∴a≤0a+2≥1，∴−1≤a≤0.考点：充分必要条件.6．【山东省兖州市上学期期中】不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(−12,13)，则a＋b的值是(></x<e时，y'>
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