第六章 平面向量及其应用（章末小结）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

章末小结必修第二册第六章《平面向量及其应用》 知识网络 知识网络 本章学习目标(1)理解平面向量的相关概念和定理；(2)掌握平面向量的运算法则、运算律，能进行加法、减法、数乘、数量积的混合运算和坐标运算；(3)能用正弦定理、余弦定理解三角形，并通过边角互化解决问题；(4)会用向量的基底法和坐标法，了解向量在物理中的应用. 知识梳理——1.平面向量相关概念(1)数学中，既有大小又有方向的量叫做向量。(2)向量用有向线段表示。BA(3)向量的表示：(4)向量的模：(5)零向量：(6)单位向量： 知识梳理——1.平面向量相关概念(7)相等向量：长度相等且方向相同的向量。注：向量由模和方向确定，与起点无关.(8)平行向量：方向相同或相反的非零向量。规定：零向量与任意向量平行.注：①平行向量都可平移到同一条直线上，平行向量也叫共线向量。②两个平行向量所在直线可能平行或重合. 知识梳理——1.平面向量相关概念(9)相反向量：长度相等但方向相反的向量。零向量的相反向量仍为零向量.(10)投影向量：求投影向量“三步曲”：画图找投影，算模长比，定± 知识梳理——2.平面向量的运算(1)向量加法的三角形法则：首尾相接，和向量由起点指向终点.(2)向量加法的平行四边形法则：同起点，和向量由起点指向对角线端点适用于不共线的向量求和.适用于任意向量求和.推广：n个首尾相接的向量相加，其和向量为首向量的起点指向末向量的终点. 知识梳理——2.平面向量的运算向量加法的运算律：注：多个向量的加法运算可按照任意次序、任意组合进行。(3)向量减法的三角形法则：同起点，差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 知识梳理——2.平面向量的运算 知识梳理——2.平面向量的运算(4)向量的数乘运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，其结果仍为向量. 知识梳理——2.平面向量的运算(5)向量的数量积运算：找两向量夹角时要先保证向量同起点.③向量的数量积是实数；“·”不可省略.cosθ=1cosθ=-1 知识梳理——2.平面向量的运算(5)向量的数量积运算： 知识梳理——2.平面向量的运算向量的数量积运算的运算律： 知识梳理——2.平面向量的运算(6)向量的坐标运算 知识梳理——2.平面向量的运算(6)向量的坐标运算终点－起点 知识梳理——2.平面向量的运算(6)向量的坐标运算 知识梳理——3.平面向量的相关定理(1)共线向量定理： 知识梳理——3.平面向量的相关定理(2)平面向量基本定理：不共线 知识梳理——4.平面向量的应用(1)平面向量在平面几何中的应用：①基底法:题中涉及的向量用合适的基底(尽量知道模和夹角)表示几何元素平面向量几何关系运算翻译表示②坐标法：题中涉及的向量建系后用坐标表示并计算 知识梳理——4.平面向量的应用(2)平面向量在物理中的应用：①力的合成:向量加法的平行四边形法则②速度的合成:向量加法的平行四边形法则③力做功:向量的数量积运算 知识梳理——4.平面向量的应用(3)余弦定理：作用1：知两边及夹角求第三边推论：作用2：知三边求任一角将SAS数量化将SSS数量化作用3：定形状 知识梳理——4.平面向量的应用(4)正弦定理：1.变形：应用：求周长or各边和的范围2.作用：①知两边及其中一边的对角求其它②知两角一边求其它 知识梳理——4.平面向量的应用角化边(4)正弦定理：3.思想：边角互化边化角:等式左右为a,b,c的齐次式角化边:等式左右为sinA,sinB,sinC的齐次式4.常见易错结论 知识梳理——5.三角形各心的向量性质 方法与易错归纳1.判断一个量是否为向量的关键：看它是否具备向量的两要素.(1)有大小；(2)有方向．向量书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．2.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任一向量共线．(2)任意两个单位向量不一定相等，但是模都为1.单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆． 方法与易错归纳3.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：在与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量． 方法与易错归纳4.作向量和时法则的选取策略(1)三角形法则可推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便． 方法与易错归纳5.应用向量解决实际问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．6.向量减法运算的常用方法(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要同起点． 方法与易错归纳6.用已知向量表示其他向量的要点(1)关键：确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意点：①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形的三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．(3)直接法：①观察待表示的向量位置．②寻找相应的平行四边形或三角形．③运用法则找关系，化简得结果．(4)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 方法与易错归纳7.利用向量共线求参数的方法(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．(2)已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．(3)若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值． 方法与易错归纳8.数量积中的易错点：①两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可为正(当a≠0，b≠0,0≤θ<时)，也可为负(当a≠0，b≠0,<θ≤π时)，还可为0(当a＝0或b＝0或θ＝时)．②数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)c＝|a||b|cos<a,b>c是一个与c共线的向量，而a(b·c)＝a|b|·|c|cos<b,c>是一个与a共线的向量，两者一般不相等． 方法与易错归纳9.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：尽量选取已知模或夹角的向量作为基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 方法与易错归纳10.①已知两边及其夹角解三角形的方法：直接用余弦定理的公式求出第三边．②已知两边及其中一条边的对角解三角形的方法：(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．(2)由正弦定理求另一边对角的正弦值．若已知角为大边所对的角，则由三角形中大边对大角、大角对大边的法可判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．若已知角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角． 方法与易错归纳10.③已知三边解三角形的方法：(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．(2)若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．④已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边． 方法与易错归纳11.判断三角形解的个数的方法在△ABC中，以a，b，A为例．(1)若a＝bsinA或a≥b，则三角形有一解．(2)若bsinA<a<b，则三角形有两解．(3)若a＜bsinA，则三角形无解．②数形结合 END