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新人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用章末检测试卷(附解析)

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平面向量及其应用(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列等式恒成立的是(  )A.+=0     B.-=C.(a·b)·c=a·(b·c)D.(a+b)·c=a·c+b·c解析:选D +=0,故A错误;-=,故B错误;(a·b)·c表示与c共线的向量,而a·(b·c)表示与a共线的向量,故C错误;根据平面向量数量积的运算性质可知D正确.故选D.2.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,则实数λ=(  )A.-B.C.-2D.2解析:选C 因为a=(1,2),b=(-2,3),所以a+λb=(1-2λ,2+3λ),又(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,即4(1-2λ)+5(2+3λ)=0,解得λ=-2.故选C.3.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于(  )A.1B.2C.D.解析:选B ∵A=105°,B=45°,∴C=30°.由正弦定理,得c===2.故选B.4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,c=2,cos=,则b=(  )A.1B.C.2D.4解析:选D ∵a=2,c=2,cos=,∴cosA=2cos2-1=2×-1=,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得(2)2=b2+22-2×b×2×,整理得b2-3b-4=0,∴解得b=4或-1(舍去).故选D.5.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,10 则·=(  )A.1B.2C.3D.4解析:选B 由已知得BC=,∠BCD=135°,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=××cos180°+×1×cos135°+2××cos45°+2×1×cos0°=2.6.在平面上有A,B,C三点,设m=+,n=-,若m与n的长度恰好相等,则有(  )A.A,B,C三点必在一条直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角D.△ABC必为等腰直角三角形解析:选C 以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD(图略),则m=+=,n=-=-=,由m,n的长度相等可知,两对角线相等,因此平行四边形一定是矩形.故选C.7.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是(  )A.2B.0C.-1D.-2解析:选D 由平行四边形法则得+=2,故(+)·=2·,||=2-||,且,反向,设||=t(0≤t≤2),则(+)·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2,∴当t=1时,(+)·取得最小值,为-2,故选D.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=,C=,则△ABC的面积是(  )10 A.B.C.D.或解析:选D ∵sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,sin2A=2sinAcosA,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,∴2sinBcosA=6sinAcosA.当cosA=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cosA≠0时,由2sinBcosA=6sinAcosA,得sinB=3sinA.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cosC===cos=,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=absinC=.综上可得△ABC的面积为或,故选D.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.下列条件判断三角形解的情况,正确的是(  )A.a=8,b=16,A=30°,有两解B.b=18,c=20,B=60°,有一解C.a=15,b=2,A=90°,有一解D.a=40,b=30,A=120°,有一解解析:选CD A中,a=bsinA,有一解;B中csinB<b<c,有两解;C中A=90°且a>b,有一解;D中a>b且A=120°,有一解.综上,C、D正确.10.下列说法中,正确的是(  )A.(++)-(--)=0B.若a·b<0,则a与b的夹角是钝角C.向量e1=(2,-3),e2=能作为平面内所有向量的一个基底D.若a⊥b,则a在b上的投影向量为0解析:选AD (++)-(--)=(+)-(-)=-=0,A正确;当|a|=|b|=1,且a与b反向时,a·b=-1<0,此时a与b的夹角为180°,B10 不正确;因为e1=4e2,所以e1∥e2,所以向量e1,e2不能作为基底,C不正确;由投影向量的定义知D正确.故选A、D.11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是(  )A.若==,则△ABC一定是等边三角形B.若acosA=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形解析:选AC 由==,利用正弦定理可得==,即tanA=tanB=tanC,即A=B=C,所以△ABC是等边三角形,A正确;由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;由余弦定理可得cosC=>0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确.12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(  )A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为解析:选ACD 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设(x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知,c边最大,所以三角形中角C最大,又cosC===>0,所以角C为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cosA==10 =,所以cos2A=2cos2A-1=,所以cos2A=cosC,由三角形中角C最大且角C为锐角可得,2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sinC==,所以2R=,解得R=,所以D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a·b=________.解析:依题意得a+b=(3,k+2),由a+b与a共线,得3×k-1×(k+2)=0,解得k=1,所以a·b=2+2k=4.答案:414.平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)·(a-2b)=-7,则向量a,b的夹角为________.解析:(a+b)·(a-2b)=|a|2-a·b-2|b|2=1-a·b-8=-7,∴a·b=0,即a⊥b.故a,b的夹角为.答案:15.在△ABC中,若b=5,B=,tanA=2,则sinA=________,a=________.解析:因为△ABC中,tanA=2,所以A是锐角,且=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sinA=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.答案: 216.一角槽的横断面如图所示,四边形ABED是矩形,已知∠DAC=50°,∠CBE=70°,AC=90,BC=150,则DE=________.解析:由题意知∠ACB=120°,在△ACB中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=902+1502-2×90×150×=44100.∴AB=DE=210.答案:210四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10 17.(本小题满分10分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.①2+·=-6;②b2+c2=52;③△ABC的面积为3,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b-c=2,cosA=-,________.(1)求a;(2)求cos的值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解:选择条件①:(1)2+·=·(+)=·=bccosA=-6.∵cosA=-,∴bc=24,由解得或(舍去),∴a2=b2+c2-2bccosA=36+16-2×6×4×=64,∴a=8.(2)cosC===,∴sinC==,∴cos2C=2cos2C-1=,sin2C=2sinCcosC=,∴cos(2C+)=cos2Ccos-sin2Csin=.选择条件②:(1)由解得或(舍去),∴a2=b2+c2-2bccosA=36+16-2×6×4×=64,∴a=8.(2)同条件①.选择条件③:10 (1)∵cosA=-,∴sinA=,∴S△ABC=bcsinA=bc=3,∴bc=24,由解得或(舍去),∴a2=b2+c2-2bccosA=36+16-2×6×4×=64,∴a=8.(2)同条件①.18.(本小题满分12分)如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.已知=3e1+2e2.(1)计算||的大小;(2)设向量a=(m,-1),若a与共线,求实数m的值;(3)是否存在实数n,使得与向量b=(1,n)垂直?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.解:(1)e1·e2=1×1×cos60°=,则||=|3e1+2e2|===.(2)因为a=(m,-1)=me1-e2,且a与共线,所以存在实数λ,使得a=λ,即me1-e2=λ(3e1+2e2)=3λe1+2λe2.10 由平面向量基本定理,可得解得所以实数m的值为-.(3)若存在实数n,使得与向量b=(1,n)垂直,则·b=0,即(3e1+2e2)·(e1+ne2)=3e+(3n+2)e1·e2+2ne=3+(3n+2)×+2n=0,解得n=-.所以存在实数n=-,使得与向量b=(1,n)垂直.19.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解:(1)由·=2,得c·acosB=2.又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.由得或因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB===,由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.10 20.(本小题满分12分)已知向量a=(2+sinx,1),b=(2,-2),c=(sinx-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R).(1)若x∈,且a∥(b+c),求x的值;(2)若函数f(x)=a·b,求f(x)的最小值;(3)是否存在实数k,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)∵b+c=(sinx-1,-1),a∥(b+c),∴-(2+sinx)=sinx-1,即sinx=-.又x∈,∴x=-.(2)∵a=(2+sinx,1),b=(2,-2),∴f(x)=a·b=2(2+sinx)-2=2sinx+2.∵x∈R,∴-1≤sinx≤1,∴0≤f(x)≤4,∴f(x)的最小值为0.(3)∵a+d=(3+sinx,1+k),b+c=(sinx-1,-1),若(a+d)⊥(b+c),则(a+d)·(b+c)=0,即(3+sinx)(sinx-1)-(1+k)=0,∴k=sin2x+2sinx-4=(sinx+1)2-5,由sinx∈[-1,1],得k∈[-5,-1],∴存在k∈[-5,-1],使得(a+d)⊥(b+c).21.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理得sinA·sin=sinB·sinA.因为sinA≠0,所以sin=sinB.由A+B+C=180°,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos≠0,所以sin=,所以B=60°.10 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.由(1)知A+C=120°,由正弦定理得a===+.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知,A+C=120°,所以30°<C<90°,故<a<2,从而<S△ABC<.因此,△ABC面积的取值范围是.22.(本小题满分12分)某市发生水灾,国家抗震救灾指挥部紧急从A处调飞机去某地运救灾物资到受灾的B处.现有以下两个方案供选择:方案一:飞到位于A处正东方向上的C市调运救灾物资,再飞到B处;方案二:飞到位于A处正南方向上的D市调运救灾物资,再飞到B处.已知AD=500km,AB=800km,∠ACB=2∠DAB=120°.那么选择哪种方案,能使得飞行距离最短?解:方案一:在△ABC中,易知∠CAB=90°-∠DAB=30°,∠ACB=120°,AB=800km,由=得BC=km.且△ABC为等腰三角形,所以AC+BC=2BC=(km).方案二:在△ADB中,∠DAB=60°,AD=500km,AB=800km,所以BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠DAB=8002+5002-2×800×500×cos60°=4.9×105,所以BD=700km,所以BD+AD=700+500=1200(km).因为1200>≈923.2,故选择方案一,能使飞行距离最短.10

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-15 16:00:09 页数:10
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文章作者:随遇而安

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