第六章 平面向量及其应用（单元测试）（原卷版）

第六章平面向量及其应用单元测试一、单选题（共8小题）1．在△ABC中，若a=52，c=10，A=30°，则B等于（    ）A．105°B．60°或120°C．15°D．105°或15°2．在△ABC中，已知BC=a，AC=b，且a，b是方程x2−13x+40=0的两个根，C=60°，则AB=（    ）A．3B．7C．89D．493．已知向量a=1,−1，b=2,x，若a⊥2a+b，则x的值为（    ）A．2B．-2C．6D．-64．已知A1,0、B2,1，若向量a是与AB方向相同的单位向量，则a=（    ）A．1,1B．1,0C．22,−22D．22,225．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(−1,3),(3,4),(2,2)，则顶点D的坐标为（    ）A．(−2,1)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−2,−1)6．已知向量a，b满足|b|=2|a|=2，|2a−b|=2，则向量a，b的夹角为（    ）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=a,b，n=sinB,sinA，若m∥n，且满足2a−ccosB=bcosC，则△ABC的形状是（    ）A．等腰直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若32ccosB+bcosC=asinA，△ABC的面积S=34a2+b2−c2，当a=23时，△ABC的内切圆的面积为（    ）A．π4B．π3C．π2D．π二、多选题（共4小题）9．已知向量a=2,1，b=−3,1，e是与b同向的单位向量，则下列结论错误的是（    ）A．b=10B．a与b可以作为一组基底C．e=−1,0D．向量a在向量b上的投影向量为−12e10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=3,−1，n=cosA,sinA，若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则（    ） A．A=π3B．C=π6C．B=π6D．C=π211．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）A．若a⋅b=b⋅c，则a=cB．a=1,1,b=2,x，若a+b与b−a平行，则x=2C．非零向量a和b满足a=b=a−b，则a与a+b的夹角为30°D．点A=1,3,B=4,−1，与向量AB同方向的单位向量为35,−4512．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（    ）A．若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形D．若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是等边三角形三、填空题（共4小题）13．若向量a→=1,2，b→=x,2，且a→⊥b→，则b→=_________.14．一条河两岸平行,河宽2km,一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸．若船速为26km/h,水流速度为10km/h,则该快艇到达对岸的最快时间为________分钟．15．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且bsinC+asinA=bsinB+csinC，则bc的取值范围为______.16．已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D，边BC上有两动点E，F，若EF=1，则DE⋅DF的取值范围是______．四、解答题（共5小题）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且已知△ABC的外接圆半径为R，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①cosCac+cosBab=2cosBbc，②RsinA+bcosA=c，③a+c−b(3sinC+cosC)=0．问题：（1）求角B的大小；（2）若R=2，求a+c的最大值．18．已知平面向量a=−3e1+2e2，b=5e1+e2，其中e1=1,0，e2=0,1．(1)求a与b的夹角θ；(2)若c=4e1−2e2与ka+b共线，求实数k的值．19．已知A−2,4，B3,−1，C−3,−4．设AB=a，BC=b，CA=c，且CM=3c，CN=−2b．（1）求M，N的坐标及MN的坐标． （2）向量x=ka−3b和y=a+b，若向量x与y的夹角为钝角，求实数k的取值范围．20．平面直角坐标系xOy中，已知向量AB→=(6,1),BC→=(x,y),CD→=(−2,−3)，且AD→//BC→．（1）求x与y之间的关系式；（2）若AC→⊥BD→，求四边形ABCD的面积．21．疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从A处出发，前往B，C，D，E4个小区运送生活物资，已知AB=6km，AD=4km，CD=2km，AC与BD的交点为E，且AB//CD，∠BAD=60°．(1)分别求BD，AC的长度．(2)假设AB，BC，CD，AD，AE，BE，CE，DE均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以30km/h的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）．