第六章 平面向量及其应用（单元测试）（解析版）

第六章平面向量及其应用单元测试一、单选题（共8小题）1．在△ABC中，若a=52，c=10，A=30°，则B等于（    ）A．105°B．60°或120°C．15°D．105°或15°【答案】D【分析】首先利用正弦定理52sin30∘=10sinC得到sinC=22，从而得到C=45∘或135∘，即可得到B=105∘或15∘.【详解】由题知：52sin30∘=10sinC，∴sinC=22，又∵0°<C<180∘，c>a，∴C=45∘或135∘，∴B=105∘或15∘，故选：D2．在△ABC中，已知BC=a，AC=b，且a，b是方程x2−13x+40=0的两个根，C=60°，则AB=（    ）A．3B．7C．89D．49【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】∵a，b是方程x2−13x+40=0的两个根，∴a+b=13,ab=40.由余弦定理，c=a2+b2−2abcosC=a+b2−3ab=132−3×40=7，即AB=7，故选：B3．已知向量a=1,−1，b=2,x，若a⊥2a+b，则x的值为（    ）A．2B．-2C．6D．-6【答案】C【分析】根据向量的坐标运算，求得2a+b=4,x−2，结合向量垂直的条件和数量积的运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量a=1,−1，b=2,x，可得2a+b=4,x−2，∵a⊥2a+b，则a⋅2a+b=4+2−x=0，解得x=6.故选：C.4．已知A1,0、B2,1，若向量a是与AB方向相同的单位向量，则a=（    ）A．1,1B．1,0C．22,−22D．22,22【答案】D【分析】计算出向量AB的坐标，即可得出a=ABAB，即可得解.【详解】由题意可得AB⃑=(1,1)，则AB=2，∴，a=ABAB=121,1=22,22.故选：D.5．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(−1,3),(3,4),(2,2)，则顶点D 的坐标为（    ）A．(−2,1)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−2,−1)【答案】A【分析】设D(x,y)，由AD=BC，能求出顶点D的坐标．【详解】解：设D(x,y)，由平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(−1,3)，(3,4)，(2,2)，得到：AD=BC，∴(x+1，y−3)=(−1，−2)，∴x+1=−1y−3=−2，解得x=−2，y=1，则顶点D的坐标为(−2,1)．故选：A．6．已知向量a，b满足|b|=2|a|=2，|2a−b|=2，则向量a，b的夹角为（    ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【分析】对等式2a−b=2两边平方即可求得夹角.【详解】∵|2a−b|=2，∴2a−b2=4，即4a2−4a⋅b+b2=4，即4a2−4abcosθ+b2=4，又b=2，a=1，∴4−8cosθ+4=4，解得cosθ=12，θ∈[0,π]，∴θ=60°，故选：C7．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=a,b，n=sinB,sinA，若m∥n，且满足2a−ccosB=bcosC，则△ABC的形状是（    ）A．等腰直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形【答案】C【分析】由m∥n，可得bsinB=asinA，可得b2=a2，即b=a．又满足(2a−c)cosB=bcosC，可得2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，可得cosB=12，解得B即可得出．【详解】解：∵m∥n，∴bsinB=asinA，∴b2=a2，即b=a，则A=B，又满足2a−ccosB=bcosC，∴2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sinB+C=sinA，sinA≠0，∴cosB=12，∵0<B<π2，∴∠B=π3，则A=B=C=π3，则△ABC的形状是等边三角形．故答案选：C．8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若32ccosB+bcosC=asinA，△ABC的面积S=34a2+b2−c2，当a=23时，△ABC的内切圆的面积为（    ）A．π4B．π3C．π2D．π 【答案】D【分析】利用三角形的面积公式与余弦定理可求得tanC的值，进而可求得角C，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得sinA的值，可求得角A的值，可判断△ABC的形状，利用等面积法可求得△ABC的内切圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果.【详解】∵32ccosB+bcosC=asinA，由正弦定理可得sin2A=32sinBcosC+cosBsinC=32sinB+C=32sinA，∵A∈0,π，则sinA>0，故sinA=32，∵S=34a2+b2−c2，则12absinC=34×2abcosC=32cosC，则tanC=3，∵C∈0,π，故C=π3，则0<A<2π3，∴A=π3，∴，△ABC为等边三角形，设等边△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC=12a+b+cr，则r=2S△ABCa+b+c=2×34a23a=36a=1，∴△ABC的内切圆的面积为πr2=π，故选：D.二、多选题（共4小题）9．已知向量a=2,1，b=−3,1，e是与b同向的单位向量，则下列结论错误的是（    ）A．b=10B．a与b可以作为一组基底C．e=−1,0D．向量a在向量b上的投影向量为−12e【答案】ACD【分析】根据向量模长运算、基底的定义、与某一向量同向的单位向量、投影向量的求法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，b=9+1=10，A错误；对于B，∵a,b是不共线的一组非零向量，∴a,b可以作为一组基底，B正确；对于C，e=bb=−31010,1010，C错误；对于D，向量a在向量b上的投影向量为a⋅bb⋅e=−510e=−102e，D错误.故选：ACD.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=3,−1，n=cosA,sinA，若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则（    ）A．A=π3B．C=π6C．B=π6D．C=π2【答案】ACD【分析】首先根据向量数量积的坐标表示，化简得tanA=3，再根据正弦定理，化简变形，求角. 【详解】由条件可知，m⋅n=3cosA−sinA=0，即tanA=3，A∈0,π，∴A=π3，∵acosB+bcosA=csinC，根据正弦定理可知，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，即sinA+B=sin2C，∵sinA+B=sinC，∴sinC=sin2C，sinC≠0，即sinC=1，∴C=π2，B=π−A−C=π6.故选：ACD11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）A．若a⋅b=b⋅c，则a=cB．a=1,1,b=2,x，若a+b与b−a平行，则x=2C．非零向量a和b满足a=b=a−b，则a与a+b的夹角为30°D．点A=1,3,B=4,−1，与向量AB同方向的单位向量为35,−45【答案】BCD【分析】根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可.【详解】对于A，若a⊥b,c⊥b且a|≠|c|，可满足条件，但a≠c，故A不正确；对于B，a+b=(3,x+1),b−a=(1,x−1)，若两向量平行，有3(x−1)=x+1，得x=2，故B正确；对于C，由条件知以向量a和b为边对应的四边形为一个角是60°的菱形，则a与a+b的夹角为30°，C正确；对于D，可得AB=(3,−4)，因此与AB同方向的单位向量为AB|AB|=(3,−4)(3)2+(−4)2=(35,−45)，故D正确.故选：BCD.12．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（    ）A．若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形D．若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是等边三角形【答案】ACD【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及A，B，C为△ABC的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，∵tanA+B=tanA+tanB1−tanAtanB，∴tanA+tanB=tanA+B1−tanAtanB，∴tanA+tanB+tanC=tanA+B1−tanAtanB+tanC=−tanC1−tanAtanB+tanC=tanAtanBtanC>0，∵A，B，C为△ABC的内角，∴A，B，C都是锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选项A正确；对于B：由acosA=bcosB及正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；对于C：由bcosC+ccosB=b及正弦定理化边为角，可知sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sinA=sinB，∵A，B为△ABC的内角，∴A=B，∴△ABC是等腰三角形，故选项C正确；对于D：由acosA=bcosB=ccosC和正弦定理化边为角，易知sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴tanA=tanB=tanC，∵A，B，C为△ABC的内角，∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.三、填空题（共4小题）13．若向量a→=1,2，b→=x,2，且a→⊥b→，则b→=_________.【答案】25【分析】根据向量数量垂直的条件求x的值，根据向量模的公式求向量的模.【详解】∵a→⊥b→，∴x+4=0，即x=−4，∴b→=x,2=−4,2，∴b→=−42+22=25.故答案为：25.14．一条河两岸平行,河宽2km,一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸．若船速为26km/h,水流速度为10km/h,则该快艇到达对岸的最快时间为________分钟．【答案】5【分析】画图分析,根据向量的平行四边形法则求解当船朝正对岸行驶时的速度,再求出行驶时间即可.【详解】易得当船速v1与水流速度v2的和速度v垂直于岸边时最快到达,此时v=v12−v22=262−102=24km/ℎ.故最快时间为224×60=5min故答案为：5 【点睛】本题主要考查了平面向量在物理中的运用,需要根据题意确定船速与水速间的关系,再根据勾股定理求得实际行船速度.属于基础题.15．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且bsinC+asinA=bsinB+csinC，则bc的取值范围为______.【答案】(12,2)．【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得A，由锐角三角形得出C角范围，从而得tanC的范围，由正弦定理得bc=sinBsinC，再化为C的三角函数，由tanC的范围得出结论．【详解】由已知bsinC+asinA=bsinB+csinC，由正弦定理得bc+a2=b2+c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=12，A∈(0,π)，则A=π3，△ABC是锐角三角形，∴2π3−C<π2，C>π6，∴π6<C<π2，tanC>33，∴bc=sinBsinC=sin(2π3−C)sinC=32cosC+12sinCsinC=32tanC+12∈(12,2)．故答案为：(12,2)．16．已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D，边BC上有两动点E，F，若EF=1，则DE⋅DF的取值范围是______．【答案】[12,32]【分析】取线段EF的中点P，将DE⋅DF表示为DP2−14，再求出|DP|的取值范围即可作答.【详解】如图，取线段EF的中点P，连DP，则有DE=DP+PE，DF=DP+PF=DP−PE，在正△ABC中，当点E与B重合时，BP=12，DP=BP−BD，则DP2=BD2+BP2−2BD⋅BP=12+(12)2−2×1×12×12=34，此时DP⊥BC，即|DP|min=32，点E从点B开始向点C移动，线段DP长逐渐增大，当点F与C重合时，BP=32，DP=BP−BD，则DP2=BD2+BP2−2BD⋅BP=12+(32)2−2×1×32×12=74，则|DP|max=72，DE⋅DF=(DP+PE)(DP−PE)=DP2−PE2=DP2−14∈[12,32]，∴DE⋅DF的取值范围是[12,32].故答案为：[12,32]【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.四、解答题（共5小题）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且已知△ABC的外接圆半径为R ，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①cosCac+cosBab=2cosBbc，②RsinA+bcosA=c，③a+c−b(3sinC+cosC)=0．问题：（1）求角B的大小；（2）若R=2，求a+c的最大值．【答案】（1）B=π3；（2）43.【分析】（1）若选①，运用正弦定理边化角，再将B+C转化为A，最后用两角和差公式展开即可求得；若选②，运用正弦定理边化角，再将C转化为A+B，最后用两角和差公式展开即可求得；若选③，运用正弦定理边化角，再将A转化为B+C，用两角和差公式展开，化简后再结合辅助角公式即可求得；（2）由（1）可以算出B=π3，用正弦定理求出b，再用余弦定理，结合基本不等式即可求得.【详解】解：（1）选条件①：由题知bcosC+ccosB=2acosB，∴2RsinBcosC+2RsinC⋅cosB=2⋅2R⋅sinA⋅cosB，∴sin(B+C)=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB，又0<A<π，则sinA>0，∴cosB=12，又0<B<π，∴B=π3．选条件②：由题知2RsinA+4RsinBcosA=4RsinC，∴sinA+2sinBcosA=2sinC，又C=π−(A+B)，∴sinA+2sinBcosA=2sin(A+B)，∴sinA=2sinAcosB，又0<A<π，则sinA>0，∴cosB=12，又0<B<π，∴B=π3．选条件③：由题知2RsinA+2RsinC−2RsinB(3sinC+cosC)=0，∴sin(B+C)−sinBcosC+sinC−3sinBsinC=0，∴cosBsinC+sinC−3sinBsinC=0，又0<C<π，则sinC>0，∴cosB+1−3sinB=0，∴2sinB−π6=1，又−π6<B−π6<5π6，∴B−π6=π6，∴B=π3．（2）由正弦定理知bsinB=2R，∴b=2RsinB=23，又b2=a2+c2−2accosB，∴12=a2+c2−ac，∴12=(a+c)2−3ac，∴(a+c)2−12=3ac≤3⋅(a+c)24，∴(a+c)2≤48，∴a+c≤43（当且仅当a=c=23时取等号），∴a+c的最大值为43． 18．已知平面向量a=−3e1+2e2，b=5e1+e2，其中e1=1,0，e2=0,1．(1)求a与b的夹角θ；(2)若c=4e1−2e2与ka+b共线，求实数k的值．【答案】(1)3π4;(2)−7.【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量的夹角公式计算求解即可；（2）由共线向量的坐标表示求解即可.【详解】（1）∵e1=1,0，e2=0,1，∴a=−3e1+2e2=(−3,2)，b=5e1+e2=(5,1)，∴a→⋅b→=−3×5+2=−13，|a→|=13，|b→|=26，∴cosθ=a→⋅b→|a→||b→|=−1313×26=−22，∵0≤θ≤π，∴θ=3π4.（2）c=4e1−2e2=(4,0)−(0,2)=(4,−2)，ka+b=k(−3,2)+(5,1)=(5−3k,2k+1)，∵c=4e1−2e2与ka+b共线，∴4(2k+1)+2(5−3k)=0，解得k=−7.即实数k的值为−7.19．已知A−2,4，B3,−1，C−3,−4．设AB=a，BC=b，CA=c，且CM=3c，CN=−2b．（1）求M，N的坐标及MN的坐标．（2）向量x=ka−3b和y=a+b，若向量x与y的夹角为钝角，求实数k的取值范围．【答案】（1）M0,20，N9,2，MN=9,−18；（2）k<187且k≠−3．【分析】(1)结合向量的坐标运算即可.(2)根据(1)x=5k+18,−5k+9，y=−1,−8，结合题意和x与y不平行，列出不等式组，解不等式即可.【详解】解析：（1）∵A−2,4，B3,−1，C−3,−4a=AB=5,−5，b=BC=−6,−3，c=CA=1,8∵CM=3c=3,24，得M0,20；CN=−2b=12,6，得N9,2；∴MN=9,−18（2）x=ka−3b=5k+18,−5k+9，y=a+b=−1,−8∵x与y夹角为钝角，∴x⋅y<0且x与y不平行，即−5k−18+40k−72<05k+18−8+−5k+9≠0，解得k<187且k≠−3.20．平面直角坐标系xOy中，已知向量AB→=(6,1),BC→=(x,y),CD→=(−2,−3)，且AD→//BC→．（1）求x与y之间的关系式； （2）若AC→⊥BD→，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）x+2y=0；（2）16.【解析】（1）由题知AD→=(x+4,y−2)，再根据AD→//BC→即可得x+2y=0；（2）由题知AC→=(x+6,y+1)，BD→=(x−2,y−3)，进而根据AC→⊥BD→得x2+y2+4x−2y−15=0，结合（1）联立方程得x=2y=−1或x=−6y=3.，再结合S四边形ABCD=12AC→BD→分类讨论即可得答案.【详解】解：（1）由题意得AD→=AB→+BC→+CD→=(x+4,y−2)，∵AD→//BC→，BC→=(x,y)，∴(x+4)y−(y−2)x=0，即x+2y=0，∴与y之间的关系式为：x+2y=0  ①（2）由题意得AC→=AB→+BC→=(x+6,y+1)，BD→=BC→+CD→=(x−2,y−3)，∵AC→⊥BD→，∴(x+6)(x−2)+(y+1)(y−3)=0，即x2+y2+4x−2y−15=0，②由①②得x=2y=−1或x=−6y=3.当x=2y=−1时，AC→=(8,0)，BD→=(0,−4)，则S四边形ABCD=12AC→BD→=16当x=−6y=3时，AC→=(0,4)，BD→=(−8,0)，则S四边形ABCD=12AC→BD→=16∴，四边形ABCD的面积为16.【点睛】本题解题的关键在于由AC→⊥BD→得S四边形ABCD=12AC→BD→，故只需解决AC→,BD→即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.21．疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从A处出发，前往B，C，D，E4个小区运送生活物资，已知AB=6km，AD=4km，CD=2km，AC与BD的交点为E，且AB//CD，∠BAD=60°．(1)分别求BD，AC的长度．(2)假设AB，BC，CD，AD，AE，BE，CE，DE均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以30km/h的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）．【答案】(1)BD=27km；AC=27km；(2)56+27min 【分析】（1）分别在△ABD中，在△ACD中，由余弦定理可求得答案；（2）如图，过D作DM⊥AB，垂足为点M，过C作CN⊥AB，垂足为点N．由平面几何可得△CDE∼△ABE，求得CE=DE=72km，AE=BE=372km．由AB的长度最长，CE，DE的长度最短，∴路线避免选择AB，选择CE，DE，最佳路线为A−D−E−C−B，由此可求得答案.（1）解：在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD=28，解得BD=27km．∵AB//CD，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°．在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC=28，解得AC=27km．（2）解：如图，过D作DM⊥AB，垂足为点M，过C作CN⊥AB，垂足为点N．∵AD=4km，∠BAD=60°，∴AM=2km，DM=23km，得四边形CDMN为矩形，∴MN=2km，BN=2km，∴BC=4km．∵AB//CD，∴△CDE∼△ABE，∴CE=DE=72km，AE=BE=372km．∵AB的长度最长，CE，DE的长度最短，∴路线避免选择AB，选择CE，DE，∴最佳路线为A−D−E−C−B，此路线的长度为4+72+72+4=(8+7)km，故小赵完成运送生活物资任务的最短时间为8+730×60+40=56+27min．