6.2.1-6.2.2 平面向量的加减法运算（分层练习）（解析版）

第六章平面向量及其应用6.2.1-6.2.2平面向量的加减法运算精选练习基础篇1．化简___________.【答案】−a【分析】利用向量的加法运算，即可得到答案；【详解】∵2a−3b+32b−a=2a−6b+6b−3a=−a.2．（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得3AB+2BC−AC=2AB+2BC+AB−AC=2AC+CB=AB+AC．故选：A.3．正方形的边长为1，则为（    ）A．1B．C．3D．【答案】B【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.【详解】在正方形ABCD中，如图所示,根据向量加法的平行四边形法则，AB+AD=AC,又∵正方形ABCD的边长为1，∴|AB+AD|=|AC|=12+12=2，故选：B.4．在矩形中，，则向量的长度等于（    ）A．4B．C．3D．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算法化简AB+AD+AC=2AC，根据矩形的特征可求对角线AC的长度，进而可求模长.【详解】在矩形ABCD中，由AB=3,BC=1可得AC=2,又∵AB+AD=AC,故AB+AD+AC=2AC，故AB+AD+AC=4，故选:A 5．如图，正六边形中，（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据正六边形的特征，得到CD=AF，EF=CB,带入到要求的式子中，利用向量线性运算加法法则即可直接求解.【详解】ABCDEF为正六边形，∴CD=AF，EF=CB，∴BA+CD+EF=BA+AF+CB=BF+CB=CF，故选：D.6．下列化简结果错误的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】对A，原式=AC−AC=0，正确；对B，原式=AB+BO+OM+MB=AB，正确；对C，原式=OA+AD+DO=0，正确；对D，原式=AB−(AD+DC)=AB−AC=CB，错误.7．化简：(1)；(2).【答案】(1)CD；(2)0【分析】（1）根据向量加法和减法的运算法则即可求解；（2）根据向量加法和减法的运算法则即可求解；【详解】（1）解：BA+OD−OA−BC=BA−BC+OD−OA=CA+AD=CD；（2）解：AC+BO+OA−DC−DO−OB=AC+BA+OB−OC=AC+CB+BA=AB+BA=0.提升篇1．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ）A．B．C．D．【答案】B 【分析】由题意得BD=12BA，再由CD=CB+BD=−BC+12BA，即可得到答案.【详解】由于D是边AB上的中点，则BD=12BA.CD=CB+BD=−BC+12BA.故选：B.2．在中，已知为上一点，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合已知条件，利用向量的线性运算即可求解.【详解】∵AD=3DB，∴CD=CB+BD=AB−AC−14AB=34AB−AC=34CB−CA+CA=14CA+34CB.故选：B.3．如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.【详解】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=14AD，AD=AB+BD，BD=12BC．∴BE=34BA+18BC，故选：D.4．在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（    ）A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【答案】B【分析】由AB=DC，可得四边形ABCD为平行四边形，又BD=AC，从而即可求解.【详解】解：在四边形ABCD中，∵AB=DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又AD−AB=BC−BA，即BD=AC，∴平行四边形ABCD为矩形，故选：B.5．已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（    ）A．在的内部B．在的边上C．在的边上D．在的外部【答案】C【分析】将AP+2BP+3CP=2BA化简，可得PC=AP，即可选出答案.【详解】∵AP+2BP+3CP=2BA ∴3PC=AP+2BP−BA=AP+2AP=3AP，即PC=AP，∴点P为AC中点.故选：C.6．已知点N在△ABC所在平面内，且，则点N是△ABC的（    ）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】AC【分析】分析出点O到三角形的三个顶点的距离相等，∴O为△ABC的外心；先证明点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，∴点N为△ABC的重心.【详解】由NA+NB+NC=0，得NA+NB=−NC=CN，由中线的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，∴点N为△ABC的重心.故选C.7．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由向量的加法运算结合三角形的性质求解即可.【详解】AB+BE=AE，显然当E为斜边BC中点时，AE⊥BC，此时AE最小为BC2=22，即AB+BE的最小值为22.故选：A.8．设，则的最大值与最小值分别为__________．【答案】20，4【分析】根据给定的条件，利用向量的三角形不等式求解作答.【详解】因|a|=8,|b|=12，则|a+b|≤|a|+|b|=20，当且仅当a与b同向共线时取等号，|a+b|≥|b|−|a|=4，当且仅当a与b反向共线时取等号，∴|a+b|的最大值与最小值分别为20，4.9．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，若点坐标为，则（    ）A．B．C．D．0【答案】B【分析】画出函数图像，根据图像知共有5个交点，交点关于1,0对称，则PA1+PA2+⋅⋅⋅+PA5=5PA3，计算得到答案. 【详解】fx=5cosπ2x，函数周期为T=4，函数图像关于1,0中心对称，画出函数图像：根据图像知，共有5个交点，交点关于1,0对称，A31,0，则PA1+PA2+⋅⋅⋅+PA5=2PA3+2PA3+PA3=5PA3=52.故选：B10．（多选）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ）A．向量与可能平行B．点P在线段EF上C．D．【答案】BC【分析】根据平面向量线性运算化简PA+2PB+3PC=0得到PE=−2PF，即可判断ABC选项；根据点P为线段EF靠近点F的三等分点得到S△PAB=12S△ABC，S△PAC=13S△ABC，S△PBC=16S△ABC，然后得到S△PAB:S△PAC:S△PBC=3:2:1，即可判断D选项.【详解】∵PA+2PB+3PC=0，∴PA+PC+2PB+PC=2PE+4PF=0，即PE=−2PF，∴点P为线段EF靠近点F的三等分点，故A错，BC正确；设AB边上的高为h，∵E，F分别为AC，BC中点，∴S△PAB=12S△ABC，S△PAC+S△PBC=12S△ABC，又点P为线段EF靠近点F的三等分点，S△PAC=12⋅PE⋅h，S△PBC=12⋅PF⋅h，∴S△PAC=2S△PBC，则S△PAC=13S△ABC，S△PBC=16S△ABC，∴S△PAB:S△PAC:S△PBC=12:13:16=3:2:1，故D错.故选：BC.