6.1 平面向量的概念（分层练习）（解析版）

第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念精选练习基础篇1．下列物理量中哪个是向量（    ）A．质量B．功C．温度D．力【答案】D【分析】根据向量的定义判断即可．【详解】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，力既有大小又有方向，是向量，故D正确，故选：D．2．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    )A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【分析】根据向量的定义即可判断.【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．3．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有______个；（2）模为的向量有______；（3）与相等的向量有______；【答案】8    A1D、DA1、AD1、D1A、B1C、CB1、BC1、C1B;    A1B1、DC、D1C1【分析】根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解.【详解】（1）由题意可知，AA1=BB1=CC1=DD1=1，∴单位向量有AA1、BB1、CC1、DD1、A1A、B1B、C1C、D1D共8个；（2）由图可知，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=2，AA1=1，∴左右两个侧面的对角线长度均为5，即A1D=AD1=B1C=BC1=5，∴模为5的向量有：A1D、DA1、AD1、D1A、B1C、CB1、BC1、C1B; （3）由图可知，与AB相等的向量除它本身外有A1B1、DC、D1C1共3个.故答案为：8；A1D、DA1、AD1、D1A、B1C、CB1、BC1、C1B；A1B1、DC、D1C14．已知，若，则________.【答案】3【分析】直接由勾股定理求值即可.【详解】由勾股定理可知，BC=AC2−AB2=3，即BC=3.5．如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解.【详解】解：由题意，四边形ABCD是等腰梯形得BC∥AD，且BC≠AD，AB=DC，∴选项A错误，选项B正确，又向量不能比较大小，∴选项C，D错误，故选：B6．“”是“”的（    ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用相等向量的概念，结合充分条件、必要条件的定义得到答案.【详解】若a=b成立，由向量相等得到两向量的长度方向都相同，即a=b，反之，若a=b成立，若两向量的方向不同则推不到a=b，∴“a=b”是“a=b”的充分非必要条件，故选：A.提升篇1．已知为平面上四点，则“向量”是“直线”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量共线的概念理解判断.【详解】若AB∥CD，则A,B,C,D四点共线或AB∥CD， 若AB∥CD，则AB∥CD，故“向量AB∥CD”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件.故选：B.2．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）A．相同的向量B．模相等的向量C．共起点的向量D．共线向量【答案】B【分析】根据图形及正三角形的集合性质可得.【详解】解：如图：∵O是正△ABC的中心，∴|AO|=|BO|=|CO|=R(R为△ABC外接圆的半径)，∴向量AO，BO，CO是模相等的向量，但方向不同.故选：B.3．下列结论中，正确的是（    ）A．零向量只有大小没有方向B．C．对任一向量，总是成立的D．与线段的长度不相等【答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于AB与BA方向相反，长度相等，故B正确；∵零向量的模为0，故C错误；|AB|与线段BA的长度相等，故D错误．故选：B．4．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】B【分析】根据平面向量的相关定义，判断选项.【详解】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确；C.向量不能比较大小，故C错误；D.当向量b=0时，a与c不一定平行，故D错误；故选：B5．下列命题中正确的个数是（    ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量AB∥CD，则A,B,C,D四点共线或AB//CD，故B错误，对于C，若a∥b,b∥c，当b=0时，a,c不一定平行，故C错误，对于D，若A,B,C三点共线，则AC//BC，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A6．给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解.【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；对②：零向量的长度为0，故②正确；对③：零向量的方向是任意的，故③正确；对④：单位向量的模都等于1，故④正确.故选：C.7．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出P为EF的中点，可判断CD选项.【详解】在等腰梯形ABCD中，AD、BC不平行，AC、BD不平行，AB均错；∵AB//CD，则DPPB=CDAB=CPAP，则PBPD=PAPC，则PB+PDPD=PA+PCPC，即BDPD=ACPC，即PDBD=PCAC，∵EF//AC，则PEAB=PDBD=PCAC=PFAB，∴PE=PF，即P为EF的中点，∴，EP=PF，C错，D对.故选：D.8．下列五个命题：①向量与共线，则必在同一条直线上；②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反；③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.其中正确的命题有______个.【答案】1【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤.【详解】对于①，向量P1P2与OA共线，则直线P1P2与直线OA可能平行，故①错；对于③，P1P2=OA，则四点P1,P2,O,A可能共线，故③错；对于④，a=b，只能说明a、b的长度相等但确定不了方向，故④错；对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.∴正确的命题有1个，故答案为：19．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.【答案】32【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含π6的直角三角形的性质即可求|CD|.【详解】由题设，圆O的半径为1，又又∠BAC=π6,CD⊥AB，如下图示：在Rt△COD中，∠DOC=2∠BAC=π3，OC=1，∴CD=32.10．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【答案】(1)CF，AE，EA；(2)证明见解析.【分析】1根据条件，可得四边形AFCE为平行四边形，即可写出与向量FC共线的向量；2根据题意可得出四边形BFDE是平行四边形，从而得出BE=FD，BE//FD，进而得出结论.（1）解：∵在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，CE//AF，CE=AF，∴四边形AFCE为平行四边形，∴CF//AE.∴与向量FC共线的向量为：CF，AE，EA.（2）证明：在平行四边形ABCD中，AB//DC，AB=DC.∵E，F分别是DC，AB的中点，∴ED//BF且ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=FD，BE//FD，故BE=FD.