数学一轮复习专题6.1 平面向量的概念及其运算 （新教材新高考）（练）教师版

专题6.1平面向量的概念及其运算练基础1．（2020·西藏日喀则上海实验学校高二期中（文））若四边形是矩形，下列说法中不正确的是（）A．与共线B．与相等C．与是相反向量D．与模相等【答案】B【解析】根据四边形是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可．【详解】解：四边形是矩形且，故，答案正确；但的方向不同，故答案错误；且且的方向相反，故答案正确；故选：．2．（2020·全国高一课时练习）已知正六边形，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，结合向量的加法运算得出答案.【详解】如图所示， 故选：B3．（2020·全国高三其他模拟（文））已知两非零向量，，满足，且，则（）A．1B．3C．4D．5【答案】A【解析】利用向量的垂直关系，可得，结合向量的模的运算法则化简求解即可.【详解】两非零向量，，满足，且，可得，.故选：A.4．（2020·全国高二课时练习）已知向量，，满足，则（）A．＝＋B．＝－－C．与同向D．与同向【答案】D【解析】利用向量加法的意义，判断与同向. 【详解】由向量加法的定义＝＋，故A、B错误由，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．故D正确，C错误.故选：D.5．（2020·全国高二课时练习）若均为非零向量，则“”是“与共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项．【详解】解：，所以与的夹角为，　所以与共线，反之不成立，因为当与共线反向时，．所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A．6．（2020·全国高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误； 选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；选项C，显然可得出，该选项正确；选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.故选：C.7．（2020·江苏高三专题练习）设，为非零向量，则“∥”是“与方向相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线性质判断即可.【详解】因为，为非零向量，所以∥时，与方向相同或相反，因此“∥”是“与方向相同”的必要而不充分条件．故选：B．8．（2020·天津市军粮城中学高一月考）下列说法正确的是（）A．，则B．起点相同的两个非零向量不平行C．若，则与必共线D．若则与的方向相同或相反【答案】C【解析】对于A：当时，不一定成立；对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行）；对于C：若，则与同向；对于D：当，为零向量时，命题不正确.【详解】 对于A：当时，，，但不一定成立，故A不正确；对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行），故B不正确；对于C：若，则与同向，即与必共线，故C正确；对于D：当，为零向量时，命题不正确，故D不正确，故选：C.9．（2020·广东高三专题练习）在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直接利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由题可得，故选：D．10．（2020·海南鑫源高级中学高一期末）已知，，与的夹角，则（）A．10B．C．D．【答案】B【解析】由平面向量数量积的定义可求解结果．【详解】由平面向量数量积的定义可得：．故选：B练提升TIDHNEG1．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知正方形的边长为2，点P满足，则的值为（） A．2B．C．4D．【答案】C【解析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果.【详解】由条件可知.故选：C2．（2020·江苏镇江市·高一月考）若向量满足：，且与的夹角为，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先计算出在上的投影，然后对比即可得到对应的投影向量.【详解】因为在上的投影为，又因为，所以在上的投影向量为，故选：A.3．（2020·晋中市·山西寿阳县一中高一月考）已知向量，若间的夹角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，展开利用数量积公式求解即可. 【详解】因为，间的夹角为，所以，又，所以，故选：A4．（2020·河北高三其他模拟（文））已知正三角形的边长为2，点满足，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】找到两个基底，，然后用两个基底向量表示，，再通过向量的运算即可得出结果.【详解】∵，，∴.故选：C.5．（2020·青海西宁市·湟川中学高一期末）已知，，，若，则的最小值为（） A．6B．C．3D．【答案】C【解析】由，再平方转化为关于的关系，即可根据二次函数性质求出.【详解】，则当时，取得最小值为3.故选：C.6．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.【详解】如图，设，，已知均为单位向量， 故四边形为菱形，所以平分，由得，又与有公共点，故三点共线，所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.故选：A.7．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（）A．B．C．与不可能垂直D．【答案】BCD【解析】因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算数形结合逐项分析即可.【详解】因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立如图所示直角坐标系： ，由，即，所以点在以为直径的圆上，所以，故A错误；，故B正确；由图可知，与的夹角为锐角，所以与不可能垂直，故C正确；的最大值为：，故D正确，故选：BCD8．（2020·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.【详解】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为： 9．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（理））向量，满足，，与的夹角为120°，则___________.【答案】【解析】由于，然后代值求解即可【详解】解：因为向量，满足，，与的夹角为120°，所以，故答案为：10．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知向量满足，的夹角为，（1）若，求的值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据数量积的定义展开计算即可求得结果；（2）采用先平方再开根号的方法先表示出，然后根据二次函数的性质求解出的最小值.【详解】（1）；（2）因为， 所以，当时，取最小值，且最小值为.练真题TIDHNEG1．（2020·海南高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C2.（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件故选：B. 3．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.4．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．5．（2021·全国高考真题）已知向量，，，_______．【答案】【解析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】 由已知可得，因此，.故答案为：.6．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．