备考2024届高考数学一轮复习分层练习第六章平面向量复数第1讲平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算1.[2024云南文山州月考]已知平面向量a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，则（　D　）A.A，B，D三点共线B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线D.A，C，D三点共线解析　BD＝BC＋CD＝6b，得不出AB＝λBD，∴AB，BD不共线，∴A，B，D三点不共线，A错误；由已知得不出AB＝λBC，∴AB，BC不共线，∴A，B，C三点不共线，B错误；由已知得不出BC＝λCD，∴BC，CD不共线，∴B，C，D三点不共线，C错误；AC＝AB＋BC＝3a＋9b＝3CD，∴AC，CD共线，∴A，C，D三点共线，D正确.故选D.2.[2024河南济源市第六中学月考]设a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是（　C　）A.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，则a⊥bB.若a⊥b，则｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜C.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，则存在实数λ，使得a＝λbD.若存在实数λ，使得a＝λb，则｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜解析　｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜成立的充要条件是向量a，b方向相反，且｜a｜＞｜b｜，易知C正确.3.如图，P是线段OB，AB的延长线所围成的阴影区域（含边界）内任意一点，且OP＝xOA＋yOB，则（　C　）A.x＋y≤1B.x＋y＜1C.x＋y≥1D.x＋y＞1解析　设OP与线段AB的延长线交于点E，则OE＝λOA＋（1－λ）OB，设OP＝mOE，根据题意易知m≥1，当且仅当P，E重合时m＝1.所以OP＝mλOA＋m（1－λ）OB＝xOA＋yOB，所以x＝mλ，y＝m（1－λ），x＋y＝m≥1.故选C.4.已知平面向量a，b满足｜b｜＝2，｜2a－b｜＝1，则｜a｜的取值范围为（　C　）A.[32，52]B.（1，3）C.[12，32]D.（2，4）解析　因为｜2a－b｜＝1，所以｜b｜－｜2a－b｜≤2｜a｜≤｜b｜＋｜2a－b｜，所以1≤2｜a｜≤3，可得｜a｜∈[12，32]，故选C. 5.[2023武汉市调研]在正六边形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，则CD＝（　B　）A.－23AC＋13AEB.－13AC＋23AEC.－23AC＋23AED.－13AC＋13AE解析　解法一　如图，记正六边形的中心为O，连接BE，交AC于点G，则点O在BE上，G为AC的中点，且G为OB的中点，所以AG＝12AC，CD＝23GE＝23（AE－AG）＝23（AE－12AC）＝－13AC＋23AE，故选B.解法二　如图，以A为坐标原点，AB，AE所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2，则A（0，0），C（3，3），D（2，23），E（0，23），所以AC＝（3，3），AE＝（0，23），CD＝（－1，3）.设CD＝xAC＋yAE，则（－1，3）＝x（3，3）＋y（0，23）＝（3x，3x＋23y），得3x＝－1，3x+23y＝3，解得x＝－13，y＝23，所以CD＝－13AC＋23AE，故选B.6.[2024四川资阳模拟]在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是线段DE上的点，且FC＝78AB＋14AD，则（　D　）A.FD＝2EFB.EF＝2FDC.FD＝3EFD.EF＝3FD解析　解法一　由四边形ABCD是平行四边形可知AB＝DC，因为E为AB的中点，所以AB＝2AE，FD＝FC＋CD＝78AB＋14AD＋CD＝14AD－18AB＝14AD－14AE＝14ED，所以EF＝3FD.故选D.解法二　设FD＝λED，λ∈[0，1]，因为ED＝AD－AE＝AD－12AB，所以FC＝FD＋DC＝λED＋AB＝λ（AD－12AB）＋AB＝（1－12λ）AB＋λAD，又FC＝78AB＋14AD，所以λ＝14，所以FD＝14ED，即EF＝3FD.故选D.7.[2024河南信阳部分学校联考]已知向量a＝（6，2），则与a方向相反的单位向量b的坐标为　（－31010，－1010）　.解析　解法一　b＝－a｜a｜＝（－31010，－1010）. 解法二　设b＝λa＝（6λ，2λ），λ＜0，则（6λ）2＋（2λ）2＝1，得λ＝－1020，故b＝（－31010，－1010）.8.[2024天津四中月考]在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，若AP＝4AB｜AB｜＋AC｜AC｜，则△ABC的面积为　252　.解析　AP＝4AB｜AB｜＋AC｜AC｜＝4｜AB｜AB＋1｜AC｜AC.由题可知B，P，C三点共线，所以4｜AB｜＋1｜AC｜＝1.又因为｜AB｜＝｜AC｜，所以｜AB｜＝5，故△ABC的面积S＝12×5×5＝252.9.[多选]如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，则（　AC　）A.P为线段OC的中点时，μ＝12B.P为线段OC的中点时，μ＝13C.无论μ取何值，恒有λ＝34D.存在μ∈R，使λ＝12解析　OP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因为OP与OC共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正确，D错误；若P为OC的中点，则OP＝12OC，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝12，故A正确，B错误.故选AC.10.[2023天津模拟]如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，AB＝3mAD（m＞0），AC＝3nAE（n＞0），则m＋n＝　1　.解析　设F为BC的中点，即BF＝FC，连接AF，所以AF－AB＝AC－AF，即AF＝12（AB＋AC），因为点G为△ABC的重心，所以AG＝23AF＝13AB＋13AC，因为AB＝3mAD（m＞0），AC＝3nAE（n＞0），所以AG＝mAD＋nAE，因为D，G，E三点共线，所以m＋n＝1. 11.[2024辽宁部分学校联考]在△ABC中，点D在线段AC上，且满足｜AD｜＝13｜AC｜，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足AQ＝xAB＋yAC，则1x＋1y的最小值为　4＋23　.解析　由题意知点D满足AD＝13AC，故AQ＝xAB＋yAC＝xAB＋3yAD，由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x＞0，y＞0，则1x＋1y＝（1x＋1y）·（x＋3y）＝4＋3yx＋xy≥4＋23，当且仅当3yx＝xy，即x＝3－12，y＝3－36时等号成立.12.[角度创新]正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以P，T，S，R，Q为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5－12.则下列关系中正确的是（　A　）A.BP－TS＝5+12RSB.CQ＋TP＝5+12TSC.ES－AP＝5－12BQD.AT＋BQ＝5－12CR解析　由题意，知BP－TS＝TE－TS＝SE，RSSE＝PTAT＝5－12，所以SE＝5+12RS，故A正确；CQ＋TP＝PA＋TP＝TA＝5+12ST，故B错误；ES－AP＝RC－QC＝RQ＝5－12QB，故C错误；AT＋BQ＝SD＋RD，5－12CR＝RS＝RD－SD，若AT＋BQ＝5－12CR成立，则SD＝0，不合题意，故D错误.故选A.