三角函数与解三角形、平面向量 微专题(三)　解三角形综合问题

微专题(三)解三角形综合问题命题点(一)利用正弦、余弦定理解三角形(1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形．(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[典例]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sinA＋sinB＋sinC)＝6S.(1)求角B的大小；(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cosA，cosC的值． 1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2. 法二：因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. [关键点拨]切入点(1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，cosB的方程组，解出cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；(2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长隐藏点B＋D＝π⇒cosD＝cos(π－B)＝－cosB在余弦定理中的应用 平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． (2022·济宁二模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD·sinD＝2CD·sinB．(1)求证：BC＝2CD；(2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积． 命题点(三)解三角形中的最值与范围问题(1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的最值或范围．(2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式、二次函数等． 三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法(1)利用基本不等式求得最大值或最小值；(2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围． [关键点拨]切入点把所求边放入三角形中求解迁移点求解第二空时设△AMD的外心为O，连接OC交AD于点O1，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径求解 解三角形实际应用问题的步骤 2．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角；推动自行车来测距离(轮子滚动一周为1.753米)．该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55米，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为______米．(精确到0.1) “课时验收评价”见“课时验收评价(四)”(单击进入电子文档)