福建省漳州市2022-2023学年高二上学期数学期末考试卷

漳州市2022-2023学年（上）期末高中教学质量检测高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（）A.13B.40C.72D.60【答案】B【解析】【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】由分步乘法计数原理得不同的配法种数为.故选：B.2.数列为等差数列，若，则（）A.8B.9C.10D.12【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质即可得出结果.【详解】数列为等差数列，.故选：C.3.若，则（）A.30B.20C.12D.6【答案】A【解析】【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果. 【详解】若故选：A.4.已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意得出直线的斜率，由直线与垂直可得进而求得的斜率，就可得到的倾斜角.【详解】∵直线，直线与垂直，，解得，的倾斜角为.故选：B.5.点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】首先得出椭圆得标准方程，计算出，再由由椭圆定义可知：，代入即可求得.【详解】椭圆，即，其中由椭圆定义可知：得，故选：A. 6.已知等比数列{an}中，，，则（）A.B.1C.D.4【答案】D【解析】【分析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故选：D7.若过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，先得到直线的方程，然后再求得直线的垂直平分线，从而可得圆心以及半径，即可得到结果.【详解】直线的方程：，即，直线的垂直平分线经过点，，半径，从而圆的方程为：，故选:D.8.椭圆的左、右焦点也是双曲线的焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积是（）A.1B.C.2D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意和椭圆、双曲线的对称性可得，结合椭圆、双曲线的定义和离心率即可求解.【详解】连接，由对称性可知四边形平行四边形，又，∴四边形是矩形.在中，，对于椭圆，其离心率为；而对于双曲线，其离心率为，故，故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（）A.共有18种安排方法B.若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法C若学校需要两名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在学校，则有12安排方法【答案】BD【解析】【分析】先将四名志愿者分成三组，然后再分到三所学校求方法数即可判断A选项；先挑出一所学校分给甲乙，剩下的两人去剩下的两所学校，然后求方法数即可判断B选项；先给学校挑两名志愿者，剩下的两人去剩下的两所学校，然后求方法数即可判断C选项；分甲一个人在学校和两个人在学校两种情况计算即可判断D选项. 【详解】所有安排方法有，A错误；若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，B正确；若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，C错误；若甲被安排在学校，则有种安排方法，D正确.故选：BD.10.已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（）A.的最小值为2B.抛物线关于轴对称C.的最小值为4D.过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条【答案】CD【解析】【分析】根据抛物线的定义得到，然后根据抛物线的图象即可得到当在原点时，最小，即可判断A选项；根据抛物线的图象即可判断BD选项；根据抛物线的定义和几何知识可以得到当三点共线时最小，然后求最小值即可判断C选项.【详解】作出抛物线的准线，过作的垂线，垂足为，则.当在原点时，最小为1，A错误；易知抛物线关于轴对称，B错误；，∴当三点共线时最小，最小值为到准线的距离为4，C正确.点在抛物线内，故只有当过的直线平行于对称轴轴时，过的直线与抛物线有一个公共点，D正确.故选：CD. 11.已知圆，点为直线上一动点，下列结论正确的是（）A.直线与圆相离B.圆上有且仅有一个点到直线的距离等于C.过点向圆引一条切线，为切点，则的最小值为D.过点向圆引两条切线和，、为切点，则直线过定点【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用几何法可判断A选项；求出与直线平行且与到直线的距离为的直线的方程，判断所求直线与圆的位置关系，可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；求出直线的方程，并将直线的方程变形，求出直线所过定点的坐标，可判断D选项.【详解】对于A选项，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，A正确；对于B选项，设与直线平行且与到直线的距离为的直线的方程为，所以，，解得，设直线，直线，所以到直线的距离为的点在直线、上，圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相交；圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相离.因此，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，B错；对于C选项，由切线的性质知，为直角三角形，且，， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，C对；对于D选项，设点，则，以点为圆心，为半径的圆的方程为，即，将圆的方程与圆的方程作差可得直线的方程为，因点在直线上，则，即，整理得.由，解得，所以直线过定点，D对.故选：ACD.12.被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可.【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，…设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确；B：，故B正确；C：结合A分析知：，故C错误； D：，，可得，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则_____．【答案】【解析】【分析】令分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.【详解】令得：，令得：，.【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.14.写出一个渐近线方程为的双曲线标准方程_______．【答案】【解析】【分析】不妨设双曲线方程焦点在轴上，根据渐近线方程以及的关系，得出双曲线的标准方程．【详解】不妨设双曲线方程焦点在轴上，渐近线方程，则故答案为：15.抛物线的焦点为，过原点的直线交于另一点，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的几何性质得出，即可得出点的坐标，即可根据两点间距离得出答案.【详解】抛物线的焦点为，若， 则，，.故答案为：.16.已知等差数列的首项为1，公差为0，构造新数列为：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…，即在的第项和第项之间插入个2，记数列的前项和为，则_______；______.【答案】①.2②.3981【解析】【分析】根据已知讨论的中1后面的2的个数，即可得出为第63个1后面的第六个2，而，可以根据含多少个1与多少个2得出.【详解】由题意得，考虑中1后面的2的个数，可得当有个1时，2的个数共有，当时，2的个数总共有1953个，则已有个数，则为第63个1后面的第六个2，即，则，故答案为：2；3981.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.等比数列的公比为2，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】(1)运用等差中项求出，再根据等比数列的通项公式求出；(2)根据条件求出的通项公式，再分组求和.【小问1详解】已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，，解得，；【小问2详解】，.；综上，18.在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________.（1）求的值；（2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）分别选择这三个条件，利用二项式系数的性质，求的值；（2）根据的值和展开式中的常数项为112，利用二项式求得的值，再求展开式中的系数.【小问1详解】选①，，；选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，；选③，∵所有项的二项式系数的和为256，，.【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为，令得，∴展开式中的常数项为，得，又，的展开式的通项公式为，令得，，∴展开式中的系数为.19.已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.（1）求的取值范围；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)方法一：根据直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于半径即可求解；方法二：联立直线和圆的方程，消去“y”得到关于“x”的方程，根据方程即可求解；(2)根据可知CM⊥CN，再结合几何关系求出圆心到直线l的距离，根据点到直线距离公式即可求出l方程．【小问1详解】方法一：圆，圆心，半径，设直线的方程为，即，∵直线与圆相交于两点，，解得：的取值范围是． 方法二：联立，整理得，∵直线与圆相交于两点，，解得：的取值范围是．【小问2详解】，，∴点到直线距离为，即，整理得，解得或，的方程为或．20.如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆经过两点.（1）求的标准方程；（2）若直线与相交于两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】(1)根据题意求出点C的坐标，列出等式求出a、b即可求解；(2)直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式计算即可求解.【小问1详解】设，将代入椭圆方程，得，所以，，解得，故椭圆的方程为：；【小问2详解】设，由，得：，，从而.又点到直线的距离，，的面积为.21.数列满足，设.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，数列的前项和为，求的最小值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据已知得出，则，得出，即可证明数列是以为首项，2为公比的等比数列；（2）根据已知得出，根据裂项相消法得出，根据，得出数列单调递增，即可得出的最小值为.【小问1详解】数列满足，，，，即，又，数列是以为首项，2为公比的等比数列，.【小问2详解】，，，，数列单调递增，的最小值为.22.如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有 .（1）求点的轨迹方程；（2）若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；（3）求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设，根据切线性质与勾股定理列式，结合已知即可得出，整理即可得出答案；（2）设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出与的不等关系式，结合小问一点的轨迹方程即可得出，得出其最小值，即可得出点坐标与半径最小值，即可得出答案；（3）设关于直线的对称点为，根据点关于直线对称点的求法得出，根据已知结合几何关系得出，即可计算得出答案.【小问1详解】设，为切点，， 由勾股定理有，又，，整理得.点的轨迹方程为：；【小问2详解】设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，，即且，而，故当时，.（也可以通过求点到直线的距离得到）此时，，故半径取最小值时圆的方程为：.【小问3详解】设关于直线的对称点为，解，，（也可以利用是的中点，得到） ，当三点共线时，取得等号.则的最大值为.