2024年安徽省芜湖市初中九年级数学中考模拟测试卷

2024年安徽省芜湖市初中九年级数学中考模拟测试卷（答题时间120分钟，满分150分）一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分）1.下列抛物线开口朝上的是（）A.B.C.D.2.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为（　　）A.2B.4C.D.3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（）A.B.1C.D.24.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A.B.C.D.5.已知点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系为（　　　）A.B.C.D.6.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（）学科网（北京）股份有限公司26/26 A.B.C.D.7.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（　　）A.55°B.45°C.42°D.40°8.如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）AB.C.D.9.一位同学在画二次函数图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（）A.24B.C.D.1210.如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点（在异侧），且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点必为的重心；②若，则的最大值为；③若，，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为　　学科网（北京）股份有限公司26/26 A.①④B.②③C.②④D.①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若是关于x的方程的解，则的值为___________．12.如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是___．13.如图，在平面直角坐标系中，点在函数图象上．设点为轴负半轴一动点，以为边作正方形，点在轴负半轴上，点在第三象限内，连接、，记的面积为，设，则的最大值为__________．14.如图，已知菱形的面积等于24，，则（1）______；（2）点，，，分别是此菱形的，，，边上的点，且，则_______．学科网（北京）股份有限公司26/26 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程：16.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（即每个小正方形的顶点），，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．（1）请使用尺规作图画出线段；（2）将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，四边形是学校的一块学农基地，其中是水果园，是蔬菜园，已知，，，．（1）求证：；（2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积．18.下图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题：学科网（北京）股份有限公司26/26 （1）若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数；（2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗?若能，求最小数；若不能，请说明理由．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，一次函数与函数为的图象交于两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足时x取值范围；（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．20.如图，为的直径，点是弧的中点，过点作射线的垂线，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．六、（本题满分12分）21.某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D学科网（北京）股份有限公司26/26 ，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．七、（本题满分12分）22.【问题背景】数学学习小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形展开了探究．【探究发现】（1）操作发现：如图1，在中，，．将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则　　，设，，那么　　（用含的式子表示）；（2）探究发现：比值被称为黄金比．当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．在（1）的条件下试证明：；【拓展应用】（3）如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．八、（本题满分14分）学科网（北京）股份有限公司26/26 23.如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．（1）求c的值及顶点M的坐标，（2）如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．①当时，求的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．学科网（北京）股份有限公司26/26 参考答案1.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由表达式判断抛物线开口方向：当时，抛物线开口方向向上；当时，抛物线开口方向向下；逐项验证即可得到答案，熟记的正负与抛物线开口方向的关系是解决问题的关键．【详解】解：A、中，抛物线开口方向向上，符合题意；B、中，抛物线开口方向向下，不符合题意；C、是一次函数，不是抛物线，不符合题意；D、中，抛物线开口方向向下，不符合题意；故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及中心对称图形的性质．在直角中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解．【详解】解：∵在直角中，1，故选：B．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，学科网（北京）股份有限公司26/26 根据题意，设，∵，∴，∵，∴，∴，故选：D．4.【答案】D【解析】【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．【详解】∵，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：在反比例函数中，，此函数图象在二、四象限，学科网（北京）股份有限公司26/26 ，点，在第二象限，，，函数图象在第二象限内为增函数，，．，点在第四象限，，，，的大小关系为．故选：C．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．6.【答案】B【解析】【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】先根据∠AOC的度数为105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，可得∠AOB＝65°，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝70°，然后求出∠B即可．【详解】解：∵∠AOC的度数为105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，学科网（北京）股份有限公司26/26 ∴∠C＝∠B＝45°，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．8.【答案】C【解析】【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．【详解】解：连接，∵四边形是的内接四边形，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．利用二次函数平移规律“上加下减，左加右减”的原则结合对称轴的性质进行解答即可．【详解】解：二次函数的图象的对称轴为，把看成了，学科网（北京）股份有限公司26/26 所画图象的对称轴为，两条对称轴关于y轴对称，所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，，即．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；②当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图，若，，根据相似三角形的性质求得．，，进而求得，即可求解；④如图，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．【详解】解：①有3种情况，如图1，当和都是中线时，点是重心；如图2，学科网（北京）股份有限公司26/26 四边形是平行四边形，是中点，则点是重心；如图3，点不是中点，则点不是重心；故①错误；②当，如图，取得最大值，，，，，，；故②正确；③如图，若，，学科网（北京）股份有限公司26/26 ，，，，，，，，，，，，，故③错误；④如图，，，即，在中，，，则由勾股定理可得，，，由，抛物线开口向下，则当时，有最大为5；故④正确；综上所述，正确的结论是②④，故选：C．【点睛】本题考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题关键．-学科网（北京）股份有限公司26/26 11.【答案】【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程即可求出的值．【详解】解：把代入，得，∴，∴．故答案为：．12.【答案】【解析】【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，，∴点A的对应点的坐标是点，即，故答案为：．13.【答案】1【解析】【分析】通过反比例函数的解析式求得的值，根据点在轴负半轴上得到，根据正方形的性质得到，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：点在函数的图象上，，；点在轴负半轴上，，四边形为正方形，，轴，学科网（北京）股份有限公司26/26 的面积为，，，抛物线开口向下，当时，有最大值，的最大值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14.【答案】①.6②.6【解析】【分析】本题考查菱形的性质，涉及菱形面积公式、菱形性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据菱形的面积公式得出解答．（1）根据菱形的面积公式列方程求解得出即可；（2）根据菱形的面积得出，由平行线的判定与性质结合相似三角形的判定和性质得出比例解答．【详解】解：（1）菱形的面积等于24，，；（2）四边形是菱形，，，菱形的面积等于24，，，，，，，，，，，，学科网（北京）股份有限公司26/26 ，同理，由可得，，，即，，故答案为：（1）6；（2）6．15.【答案】，【解析】【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．【详解】解：∵∴或解得，．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．16.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据要求作出图形；（2）利用勾股定理的逆定理证明，再求出，可得结论．【小问1详解】如图所示，线段即为所求；【小问2详解】如图所示，在中，，，学科网（北京）股份有限公司26/26 是直角三角形，，，∴．∵线段关于直线对称的线段为，，．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的逆定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．17.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形全等；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【小问1详解】证明：，，，，，，又，，；【小问2详解】，学科网（北京）股份有限公司26/26 ，，，，答：水果园的面积为．18.【答案】（1）10（2）不能，理由见解析【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设最小数是，则最大数是，根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是，则另外三个数分别是，，，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．【小问1详解】解：设最小数是，则最大数是，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：最小数是10；【小问2详解】方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是，则另外三个数分别是，，，根据题意得：，学科网（北京）股份有限公司26/26 整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），在最后一列，假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．19.【答案】（1），（2）（3）点P的坐标为或【解析】【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．【小问1详解】解：将代入，可得，解得，反比例函数解析式为；在图象上，，，将，代入，得：学科网（北京）股份有限公司26/26 ，解得，一次函数解析式为；【小问2详解】解：，理由如下：由（1）可知，当时，，此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，即满足时，x的取值范围为；【小问3详解】解：设点P的横坐标为，将代入，可得，．将代入，可得，．，，整理得，解得，，当时，，学科网（北京）股份有限公司26/26 当时，，点P的坐标为或．【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．20.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查了圆的综合应用，涉及熟练掌握切线的判断定理以及扇形面积的求法是解题的关键．（1）连接，证明，即可得到结论；（2）连接，证明，从而可得，再代入求值即可．【小问1详解】证明：连接，如图所示：点是的中点，，，，，，，，半径，是的切线；【小问2详解】解：连接，如图所示：学科网（北京）股份有限公司26/26 ，，，，，．21.【答案】（1）所有可能出现的结果共6种：，，，，，（2）小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是【解析】【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果．（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可；（2）根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，．【小问2详解】解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等，∴．22.【答案】探究发现（1），；（2）证明见解析；拓展应用【解析】【分析】探究发现（1）可求得，，，进而求得的值，；学科网（北京）股份有限公司26/26 （2）可证得，从而，进而得出，解得，从而得出；拓展应用在上截取，连接，可得出是黄金三角形，从而得出的值，可推出，进而求得结果．【详解】解：探究发现（1）解：，，，边落在边上，点的对应点是点，，，，，故答案为：72，；（2）证明：由（1）知：，，，，即，解得；拓展应用在上截取，连接，如图所示：四边形是菱形，，，，，学科网（北京）股份有限公司26/26 ，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“黄金比”．23.【答案】（1），顶点M的坐标是（2）①1；②存在，或【解析】【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；②先求出，易得P，Q坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【小问1详解】∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，∴，∴，∴顶点M的坐标是．【小问2详解】①∵A在x轴上，B的坐标为，∴点A的坐标是．学科网（北京）股份有限公司26/26 当时，，的坐标分别是，．当时，，即点Q的纵坐标是2，当时，，即点P的纵坐标是1．∵，∴点G的纵坐标是1，∴．②存在．理由如下：∵的面积为1，，∴．根据题意，得P，Q的坐标分别是，．如图1，当点G在点Q的上方时，，此时（在的范围内），如图2，当点G在点Q的下方时，，此时（在的范围内）．∴或．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司26/26