2024届新结构“8 3 3”选填限时训练11~20（解析版）

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(11)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取()A.8人B.6人C.4人D.2人【答案】D500【解析】由题可知，男居民选取×12=5人，女居民选取12-5=7人，1200则女居民比男居民多选取2人.故选：D.2若复数z满足3-4iz=4+3i，则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A4+3i55(3+4i)3+4i34【解析】由z====，对应点为,在第一象限.3-4i3-4i(3-4i)(3+4i)555故选：A3从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为()A.33B.45C.84D.90【答案】B21【解析】C6C3=45.故选：B4已知向量a与b是非零向量，且满足a-b在b上的投影向量为-2b，a=2b，则a与b的夹角为()A.120°B.150°C.60°D.90°【答案】A【解析】设a与b的夹角为θ0°≤θ≤180°，2a-b⋅bba⋅b-ba-b在b上的投影向量为⋅=2⋅bbbb2a⋅b⋅cosθ-b所以=-2，2b22b⋅b⋅cosθ-b1所以=2cosθ-1=-2,cosθ=-，22b所以θ为钝角，且θ=120°.故选：Ax212ex+-sinx25函数fx=的部分图像大致为()2xe-1 A.B.C.D.【答案】A2x【解析】由e-1≠0，得x≠0，则fx的定义域是x∣x≠0，排除B；212x+-sinxx2分子分母同时除以e得fx=，x-xe-e212212(-x)+-sin(-x)x+-sinx22f-x==-=-fx，-xxx-xe-ee-e所以函数fx是奇函数，排除C；ππe4π2+1-sin2πe4π2π4244f==，4ππ22e-1e-1ππ2ππ420∵e>0,4>0,e-1>e-1=0，∴f4>0，排除D，故选：A．6“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知AB=4，A1B1=2，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg，则该“方斗”可盛米的总质量为()A.74kgB.114kgC.76kgD.112kg【答案】D【解析】设线段AA1、BB1、CC1、DD1的中点分别为A2、B2、C2、D2，如下图所示： 易知四边形AA1B1B为等腰梯形，因为线段AA1、BB1的中点分别为A2、B2，AB+A1B14+2则A2B2===3，22设棱台A1B1C1D1-A2B2C2D2的高为h，体积为V1，则棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2h，设其体积为V，1221912256则V1=2+3+2×3h=h，则V=4+2+2×4⋅2h=h，333352hV35656所以，==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为×38=112kg.V119h19193故选：D.an+2an+1*7定义：满足:=qq为常数，n∈N)的数列an称为二阶等比数列，q为二阶公比.已an+1an知二阶等比数列∣an的二阶公比为2,a1=1,a2=2，则使得an>2024成立的最小正整数n为()A.7B.8C.9D.10【答案】Ba2【解析】由题意知二阶等比数列∣an二阶公比为2,a1=1,a2=2，则=2，a1ann-1an-1n-2a2故=2,=2,⋯,=2，an-1an-2a1(n-1)nn-1nann-1n-224将以上各式累乘得：=2⋅2⋅⋯⋅2=2=2，a1n(n-1)n-1n441011故an=2，令2>2024，由于2=1024,2=2048，n-1n故>10，即n-1n>40，4又n-1n的值随n的增大而增大，且(7-1)×7=42,(8-1)×8=56，n-1n21421010当n=7时，2=2=2×2<2×2=2024，n-1n414当n=8时，2=2>2024，故n的最小值为8，故选：Bππ8已知函数fx=4cosωx-12(ω>0),fx在区间0,3上最小值恰为-ω，则所有满足条件的ω的积属于区间()A.1,4B.4,7C.7,13D.13,+∞【答案】C【解析】当x∈0,ππ∈-π,πω-π时ωx-，因为此时fx的最小值为-ω<0，31212312 πππ7所以ω->，即ω>31224ππ若ω-≥π，此时fx能取到最小值-4，即-ω=-4⇒ω=4，312ππ代入可得×4->π，满足要求；312ππ13若fx取不到最小值-4，则需满足ω-<π，即ω<，3124ππ713pω=4cos3ω-12在ω∈4,4上单调递减，所以存在唯一ω符合题意；713所以ω=4或者ω∈,，所以所有满足条件的ω的积属于区间7,13，44故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，满足0<PA<1,0<PB<1，则下列叙述可以说明事件A，B为相互独立事件的是()A.PB=PB∣AB.PB∣A=PB∣AC.PA+PB=PA∪BD.PAB+PAB=PB∣A【答案】ABDP(AB)【解析】对于A，由P(B)=P(B|A)，得P(B)=即P(AB)=P(A)P(B)，所以A,B相互独P(A)立，故A正确;P(BA)P(BA)P(BA)P(BA)对于B，由PB∣A=，P(B|A)=得=，P(A)P(A)P(A)P(A)P(BA)P(B)-P(BA)又P(AB)+P(AB)=P(B)，所以=，P(A)1-P(A)得P(BA)-P(A)P(BA)=P(A)P(B)-P(A)P(BA)即P(BA)=P(A)P(B)，所以B,A相互独立，所以A,B相互独立，故B正确;对于C，由P(A)+P(B)=P(A∪B)，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，得P(AB)=0，由0<PA<1,0<PB<1得P(A)P(B)≠0，故P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B相互独立错误，故C错误;对于D，由PAB+PAB=P(B|A)，得P(B)=P(B|A)，P(AB)又P(B|A)=，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以A,B相互独立，故D正确.P(A)故选：ABD.10已知定义域在R上的函数fx满足：fx+1是奇函数，且f-1+x=f-1-x，当x∈2-1,1，fx=x-1，则下列结论正确的是()53A.fx的周期T=4B.f=24C.fx在-5,-4上单调递增D.fx+2是偶函数【答案】BC【解析】由于fx+1是奇函数，所以fx+1=-f-x+1，则fx=-f2-x 又f-1+x=f-1-x，则f2-x=fx-4，所以fx=-fx-4=--fx-8=fx-8，所以fx的周期为8，A错误，，51123f2=-f-2=--2-1=4，故B正确，2根据函数的性质结合x∈-1,1，fx=x-1，作出函数图象为：由图象可知：fx在-5,-4上单调递增，C正确，由于fx的图象不关于x=2对称，所以fx+2不是偶函数，D错误故选：BC2x211在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-y=1的右顶点为A，直线l与以O为圆心，3OA为半径的圆相切，切点为P．则()23A.双曲线C的离心离为3B.当直线OP与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点C.当直线l与双曲线C的一条渐近线平行吋，若直线l与双曲线C的交点为Q，则OQ=5D.若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则DM=EN【答案】ABD223【解析】对于A选项．由a=3，b=1，c=2，可得双曲线C离心率为e==，故A33选项正确；3对于B选项，双曲线C的渐近线方程为y=±x．33由对称性，不妨设直线l与渐近线y=-x重合，点P位于第四象限，335ππ记直线l与x轴的交点为T，由直线y=-x的倾斜角为，有∠POT=，366又由OP=3，可得OT=2．又由OF=2，故直线l过双曲线C的一个焦点，故B选项正确； 对于C选项，当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，由对称性，3m不妨设直线l的方程为y=x+m(其中m<0)，有=3，可得m=-2，31+13x2-y=1,33533直线l的方程为y=3x-2，联立方程3解方程组可得点Q的坐标为4,-4．y=x-2,375921可得OQ=+=，故C选项错误；1616222对于D选项，设点P的坐标为s,t，可得直线l的方程为sx+ty=3．其中s+t=3．y=3x,y=-3x,联立方程3解得x=33，联立方程3解得x=33，sx+ty=3,3s+tsx+ty=3.3s-t2x2133339s3-y=1,可得线段DE的中点的横坐标为+=，联立方程，23s+t3s-t3s2-t2sx+ty=3,2222消去y后整理为3s-tx-18sx+3t+27=0，118s9s可得线段MN的中点的横坐标为×=，23s2-t23s2-t可得线段DE和MN的中点相同，故有DM=EN，故D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.x12已知集合M=xy=ln1-2x，N=yy=e，则M∩N=1【答案】0,2【解析】】由1-2x>0，解得x<1，所以M=xx<1，22x而y=e>0，所以N=y|y>0，1所以M∩N=0,.2 1故答案为：0,213已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为2，体积为43，过AB的平面α与PC、PF分别交于点M、N.则P-ABCDEF的外接球的表面积为【答案】16π【解析】如下图所示：记正六边形ABCDEF的中心为点O，由正棱锥的几何性质可得PO⊥底面ABCDEF，易知△AOB是边长为2的等边三角形，32则S正六边形ABCDEF=6S△AOB=6××2=63，411VP-ABCDEF=S正六边形ABCDEF⋅PO=×63×PO=23⋅PO=43，33所以，PO=2，故OP=OA=OB=OC=OD=OE=OF=2，故O为正六棱锥P-ABCDEF外接球球心，且该球的半径为2，2因此，P-ABCDEF的外接球的表面积为4π×2=16π.故答案为：16π2y2x22214已知椭圆+=1a>b>0的右焦点为F，过点F的直线与圆x+y=b相切于点E且与22ab椭圆相交于M、N两点，若E、F恰为线段MN的三等分点，则椭圆的离心率为5【答案】3【解析】不妨设切点E在第一象限，点M在第一象限，记椭圆的左焦点为G，连接MG、OE，由圆的几何性质可知OE⊥MN，易知O、E分别为FG、FM的中点，则OE⎳MG，且MG=2OE=2b，所以，MG⊥MF，由椭圆的定义可得MF=2a-MG=2a-2b， 22222222由勾股定理可得MG+MF=FG，即4b+2a-2b=4c=4a-4b，2b2整理可得3b=2ab，可得=，a3ca2-b2b2225因此，该椭圆的离心率为e===1-=1-=，aa2a335故答案为：3 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(12)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为：90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为()A.120B.122.5C.125D.130【答案】C【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为：90,100,115,120,125,130，由于6×75%=4.5，故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125，故选：C2x2已知集合A=xx-2x-3<0，B=yy=2,x<1，则A∩B=()A.-∞,3B.0,2C.-1,2D.2,3【答案】B2【解析】由x-2x-3<0，得x-3x+1<0，解得-1<x<3，所以A=x-1<x<3，因为x<1，x1所以以0<2<2=2，所以B=y0<y<2，所以A∩B=x-1<x<3∩y0<y<2=0,2.故选：B.113已知数列an满足an+1=，若a1=，则a2023=()1-an21A.2B.-2C.-1D.2【答案】D11【解析】因为an+1=，a1=，1-an21111111所以a2===2，a3===-1，a4===，1-a11-11-a21-21-a31--122所以数列an的周期为3.1所以a2023=a3×674+1=a1=.2故选:D.4设m,n是两条异面直线，下列命题中正确是()A.过m且与n平行的平面有且只有一个B.过m且与n垂直的平面有且只有一个C.过空间一点P与m,n均相交的直线有且只有一条D.过空间一点P与m,n均平行的平面有且只有一个【答案】A 【解析】对于A，过m上一点P作n的平行直线l，则m与l确定一平面α，由l⊂平面α，n⊄平面α，所以n⎳平面α，故A正确；对于B，设过m的平面为β，若n⊥平面β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，故B错误；对于C，当点P与m确定一个平面α，且与n平行时，如图，则过空间一点P与m,n均相交的直线不存在，故C错误；对于D，当点P与m,n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D错误.故选：A.52023年11月30日，重庆市轨道交通新开通6个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为()9731A.B.C.D.1010510【答案】B3【解析】在红岩村被选中的条件下，还需从其它5个站点中选择3个，共有C5=10种选法，213其中10号线不少于2个站点的选法有C3C2+C3=7种，7故在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为，10故选：B6公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.3D打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D打印技术打印了一个“睡2美人城堡”.如图，其在高度为h的水平截面的面积S可以近似用函数Sh=π9-h，h∈0,9拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为() A.27πB.81πC.108πD.243π【答案】D【解析】如下图所示：圆锥PO的高和底面半径为9，平行于圆锥PO底面的截面角圆锥PO的母线PB于点C，设截面圆圆心为点O，且OO=h，则PO=PO-OO=9-h，POOC9-hOC易知△POC∽△POB，则=，即=，可得OC=9-h，POOB99所以，截面圆圆O的半径为9-h，圆O的面积为π9-h2，2又因为Sh=π9-h，根据祖暅原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为9，高为9的圆锥的体积近似相等，12所以该“睡美人城堡”的体积约为×π×9×9=243π，3故选：D.27设F为抛物线C:x=2y的焦点，P为C上一点且在第一象限，C在点P处的切线交x轴于N，交y轴于T，若∠FPT=30°，则直线NF的斜率为()13A.-2B.-3C.-D.-23【答案】D【解析】221xa易知F0,2,y=2⇒y=x，设Pa,2，22aa则C在点P处的切线方程为y=ax-a+⇒y=ax-，222aa所以N2,0,T0,-2，显然N为TP中点， 2a1由抛物线定义可知PF=+=FT，22即△FPT为以F为顶点的等腰三角形，所以FN⊥PT，即∠FNO=∠FPT=30°，3所以直线NF的斜率为tan180°-30°=-.3故选：D8在直角梯形ABCD，AB⊥AD，DC⎳AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)，若AP=λED+μAF，其中λ,μ∈R，则2λ-μ的取值范围是()A.-2,11122B.-2,2C.-,D.-,2222【答案】A【解析】结合题意建立直角坐标，如图所示：.ππ则A0,0，E1,0，D0,1，C1,1，B2,0，Pcosα,sinα-≤α≤，223131则F2,2，AP=cosα,sinα，ED=-1,1，AF=2,2，∵AP=λED+μAF，3131∴cosα,sinα=λ-1,1+μ2,2=-λ+2μ,λ+2μ，31∴cosα=-λ+μ，sinα=λ+μ，2211∴λ=3sinα-cosα，μ=cosα+sinα，4211π∴2λ-μ=3sinα-cosα-cosα+sinα=sinα-cosα=2sinα-，224ππ3ππππ2∵-≤α≤，∴-≤α-≤，∴-1≤sinα-≤，2244442π∴-2≤2sinα-≤1，故-2≤2λ-μ≤1，即2λ-μ∈-2,1.4故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9下列函数中最小值为2的是()21A.y=x+2x+3B.y=sinx+sinxx1-x1C.y=2+2D.y=lnx+lnx【答案】AB【解析】由题意，22A项，y=x+2x+3=x+1+2≥2，故A正确；111B项，在y=sinx+中，sinx>0，所以y=sinx+≥2sinx⋅=2，当且仅sinxsinxsinx2当sinx=1时，等号成立，故B正确；x1-xx1-xx2x2x21C项，2>0，2>0，故y=2+2=2+x≥22⋅x=22，当且仅当2=2即x=时222等号成立，C错误；112D项，x>0，lnx∈R，只有当lnx>0时才有y=lnx+≥2lnx×=2，当且仅当lnxlnxlnx=1即x=e时等号成立，故D错误.故选：AB2210已知点M在圆x+y+2x-3=0上，点P0,1，Q1,2，则()πA.存在点M，使得MP=1B.∠MQP≤4C.存在点M，使得MP=MQD.MQ=2MP【答案】ABD2222【解析】圆x+y+2x-3=0即x+1+y=4，圆心C-1,0，半径r=2，又P0,1，22所以CP=2，因为点M在圆x+y+2x-3=0上，所以MP∈2-2,2+2，所以存在点M，使得MP=1，故A对．22因为1+1+2=8>4，所以点Q在圆外，又CP=2<r=2，点P在圆内，所以当QM与圆C相切时，∠MQP取最大值，ππ此时∠MQP=，所以∠MQP≤，故B对．44对于D，设Mx,y，若MQ=2MP22⇔MQ=2MP2222⇔(x-1)+(y-2)=2x+(y-1)22⇔x+y+2x-3=0，22又点M在圆x+y+2x-3=0上，∴MQ=2MP一定成立，故D对，C错.故选：ABD． 11在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，E为A1D1的中点，F是正方形BB1C1C内部一点(不含边界)，则下列说法正确的是()A.平面FBD1⊥平面A1C1DB.平面BB1C1C内存在一条直线与直线EF成30°角22C.若F到BC边距离为d，且EF-d=1，则点F的轨迹为抛物线的一部分D.以△AA1D1的边AD1所在直线为旋转轴将△AA1D1旋转一周，则在旋转过程中，A1到平面AB1C的3636距离的取值范围是-,+3636【答案】ACD【解析】A.如图，连结B1D1，则B1D1⊥A1C1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，且B1D1∩BB1=B1，B1D1,BB1⊂平面BB1D1，所以A1C1⊥平面BB1D1，BD1⊂平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理A1D⊥BD1，且DA1∩A1C1=A1，且DA1,A1C1⊂平面A1DC1，所以BD1⊥平面A1DC1，且BD1⊂平面FBD1，所以平面A1DC1⊥平面FBD1，故A正确；B.将正方体中，分离出四棱锥E-B1C1CB，取B1C1的中点H，连结EH,HB，5223因为EH⊥平面B1C1CB，EH<EF<EB=EC，EH=1，EB=+1=223即1<EF<，2121则EF与平面B1C1CB所成角的最小值是∠EBH，sin∠EBH==>，3322 所以∠EBH>30°，因为线面角是线与平面内的线所成的最小角，所以平面B1C1CB内不存在一条直线与直线EF成30°角，故B错误；C.如图，取B1C1的中点H，连结EH,HF，EH⊥平面B1C1CB，作FQ⊥BC于点Q，则FQ=d22222因为HF=EF-1=d，则HF=FQ，即点F到点H的距离和点F到BC的距离相等，即可点F形成的轨迹是抛物线，故C正确；D.连结A1D交AD1于点N，取B1C的中点M，连结MN,AM，2则点A1的运动轨迹是平面A1DCB1内以N为圆心，为半径的圆，2易知B1C⊥MN，由AC=AB1，知AM⊥B1C，MN∩AM=M，且MN,AM⊂平面AMN，所以B1C⊥平面AMN,B1C⊂平面ACB1，所以平面ACB1⊥平面AMN，2AN23sin∠NMA===，AM2121231+2+2如图，NM与圆的交点分别为R,S，当点A1位于点R,S时，点A1到平面ACB1的距离分别取得最大值和最小值，22336且距离的最大值为1+2sin∠NMA=1+2×3=3+6,22336距离的最小值为1-2sin∠NMA=1-2×3=3-6,3636所以点A1到平面AB1C的距离的取值范围是-,+，故D正确.3636 故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.2212已知双曲线x-my=1的一条渐近线为3x-y=0,则该双曲线的离心率为.【答案】22222y1【解析】由题意得m>0，易知双曲线x-my=1，即x-=1的渐近线方程为y=±x,∴1mm11=3,得=3,mmc1所以该双曲线的离心率e==1+=2.am故答案为：2.πππ13已知函数f(x)=2sinωx+4(ω>0)，若fx1=fx2=-3,x1-x2的最小值为2，则f8=．【答案】3ππ3π45【解析】2sinωxi+4=-3，∴sinωxi+4=-2,i=1,2，ωxi+4=3π+2kπ或3π+π2kπ,k∈Z,ωx1-x2≥，3ππ22πππππ∴ω2=3,∴ω=3,fx=2sin3x+4,f8=2sin12+4=2sin3=3．故答案为:3.a14已知函数fx=x-logbx(a>0，b>0)且b≠1)，若fx≥1恒成立，则ab的最小值为.【答案】ea【解析】函数fx=x-logbx的定义域为0,+∞，a0当0<b<1时，可得fx在0,+∞上单调递增，fb=b-1<b-1=0，不合题意；1a-11aa11a当b>1时，fx=ax-xlnb=xx-alnb，令fx0=0，解得x0=alnb，当x∈0,x时，fx<0，fx单调递减，0当x∈x,+∞时，fx>0，fx单调递增，0所以当x=x0时，fx有极小值，也是最小值，fxmin=fx0=1又因为f1≥1且f1=1，所以，x0=111ab则x0=alnb=1，得alnb=1，所以ab=lnb，blnb-1设gb=b>1，gb=，令gb=0，得b=e，lnb2lnb当b∈1,e，gb<0，当b∈e,+∞，gb>0，所以gb在区间1,e单调递减，e,+∞单调递增，所以gbmin=ge=e，即ab的最小值为e.故答案为：e. 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(13)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知复数z满足z+1i=2z-1，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由题意设z=x+yi,x,y∈R，所以z+1i=-y+x+1i=2x-1+2yi=2z-1，-y=2x-1131313所以x+1=2y，解得x=,y=，所以z=-i对应点,-位于第四象限.555555故选：D.2已知a1,a2,a3,a4,a5成等比数列，且2和8为其中的两项，则a5的最小值为()11A.-32B.-16C.D.3216【答案】B【解析】由题意，要使a5最小，则a1,a3,a5都是负数，则a2和a4选择2和8，设等比数列的公比为q,q<0，2a48当a4=8,a2=2时，q===4，所以q=-2，所以a5=-16；a222a4211当a4=2,a2=4时，q===，所以q=-，所以a5=-1；a2842综上，a5的最小值为-16.故选：B.73已知直线m:(a-2)x+ay-2=0和直线n:x+3ay+1=0，则“a=”是“m⎳n”的()3A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线m:(a-2)x+ay-2=0和直线n:x+3ay+1=0平行，3aa-2=a7则，解得a=，a≠-6a37所以“a=”是“m⎳n”的充要条件，3故选：Ax4设集合A=xlog0.5x-1>0，B=x2<4，则()A.A=BB.A∩B=∅C.A∩B=BD.A∪B=B【答案】D【解析】log0.5x-1>0，即log0.5x-1>log0.51，则0<x-1<1，解得1<x<2，x2所以A=x1<x<2，B=x2<2=xx<2，所以A⊆B，从而A∪B=B.故选：D.5将12名志愿者(含甲、乙、丙)安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则 甲、乙、丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为()A.3129B.4284C.18774D.25704【答案】C【解析】先分类讨论人员分组情况．34当甲、乙、丙所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有C9+C9=210种方法；1当甲、乙、丙所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有C9⋅43C8C8+=819种方法；A22当甲、乙、丙所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，23有C9⋅C7=1260种方法当甲、乙、丙所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，33C6有C9⋅=840种方法．2A2再将三组人员分配到三个地区．3因为这三组分配到三个地区有A3=6种方法，所以安排方法总数为210+819+1260+840×6=18774.故选:C.2316设A，B为两个事件，已知P(A)=,P(B)=,P(A|B)=，则P(A|B)=()5522132A.B.C.D.3355【答案】B332【解析】由P(B)=，得P(B)=1-=，显然P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)，55523211因此=P(A|B)+×，所以P(A|B)=．55523故选：B7如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为()A.0,16B.0,16C.0,4D.0,4【答案】B【解析】取CD的中点E，连接PE，如图所示， AD所以PE的取值范围是，AE，即2,25，2CD222又由PC⋅PD=(PE+ED)⋅(PE+EC)=PE-=PE-4，4所以PC⋅PD∈0,16.故选：B.2y2x8已知F1,F2分别为双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2向双曲线的一条渐近线ab1引垂线，垂足为点P,PQ=PF1，且OQ⊥PF1(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为()3A.y=±22xB.y=±5xC.y=±3xD.y=±2x【答案】D2y2x【解析】设双曲线2-2=1焦距为2c，则F1-c,0、F2c,0，abb不妨设渐近线OP的方程为y=x，如图：aba因为直线PF2与直线y=x垂直，则直线PF2的方程为y=-x-c，abb2ay=bxx=a2abc联立可得，即点P,，y=-ax-cy=abccbca2aba2+c2ab所以，PF1=-c-c,-c=-c,-c，因OQ⊥PF1，所以OQ⋅PF1=0，11又PQ=PF1，故OQ=OP+PQ=OP+PF1，33112所以，OQ⋅PF1=OP+3PF1⋅PF1=OP⋅PF1+3PF12222222222ab+aa+ca+c+ab=-+=0，22c3c4224整理可得b-ab-2a=0，b4b2b所以a-a-2=0，又a>0，b所以=2，a 故该双曲线C的渐近线方程为y=±2x.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知直线l，m，平面α，β，则下列说法错误的是()A.m⎳l，l⎳α，则m⎳αB.l⎳β，m⎳β，l⊂α，m⊂α，则α⎳βC.l⎳m，l⊂α，m⊂β，则α⎳βD.l⎳β，m⎳β，l⊂α，m⊂α，l∩m=M，则α⎳β【答案】ABC【解析】选项A中，m可能在α内，也可能与α平行，故A错误；选项B中，α与β也可能相交，故B错误；选项C中，α与β也可能相交，故C错误；选项D中，依据面面平行判定定理可知α∥β，故D正确.故选：ABC.210如图，已知抛物线C：y=2pxp>0的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点D，过点F的直线l(直线l的倾斜角为锐角)与抛物线C相交于A，B两点(A在x轴的上方，B在x轴的下方)，过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与抛物线C的准线相交于点N，则()A.当直线l的斜率为1时，AB=4pB.若NF=FM，则直线l的斜率为2C.存在直线l使得∠AOB=90°D.若AF=3FB，则直线l的倾斜角为60°【答案】ADpp【解析】易知F2,0，可设AB:y=kx-2k>0，设Ax1,y1,Bx2,y2，p22与抛物线方程联立得y=kx-2⇒k2x2-k2p+2px+kp=0，y2=2px422kp+2pp则x1+x2=2,x1x2=，k4对于A项，当直线l的斜率为1时，此时x1+x2=3p，pp由抛物线定义可知AF+BF=x1++x2+=AB=4p，故A正确；22易知△AMN是直角三角形，若NF=FM，则∠ANM=∠FMN⇒∠AMF=∠FAM，又AF=AM，所以△AMF为等边三角形，即∠AFx=60°，此时k=3，故B错误；2222222pkpk2ppkpk+2由上可知x1x2+y1y2=k+1x1x2-x1+x2+=k+1×-×2+2442k 22pk32=-p<0，44即OA⋅OB<0，故C错误；pp若AF=3FB⇒2-x1=3x2-2⇒x1=2p-3x2，2pp3p又知x1x2=⇒x2=,x1=，所以y1=3p，462y1则k==3，即直线l的倾斜角为60°，故D正确.px1-2故选：AD11已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(2026)，且f(x+1)-1是奇函数.则()A.f(1)+f(3)=2B.f(2023)+f(2025)=f(2024)2024C.f(2023)是f(2022)与f(2024)的等差中项D.f(i)=2024i=1【答案】ACD【解析】因为f(x+2)+f(x)=f(2026)，所以f(x+4)+f(x+2)=f(2026)，两式相减得f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为4.因为f(x+1)-1是奇函数，所以f(-x+1)-1=-f(x+1)+1，所以f(-x+1)+f(x+1)=2，即f(-x)+f(x+2)=2，令x=-1，得f(1)=1.因为f(x+2)+f(x)=f(2026)=f(2)，令x=2，得f(4)+f(2)=f(2)，所以f(4)=0，即f(0)=0.因为f(-x)+f(x+2)=2，令x=0，得f(0)+f(2)=2，所以f(2)=2，所以f(x+2)+f(x)=2，所以f(3)+f(1)=2，故A正确.因为f(-x)+f(x+2)=2，所以f(-1)+f(3)=2，即f(3)+f(3)=2，所以f(3)=1.因为f(2023)+f(2025)=f(3)+f(1)=2，f(2024)=f(0)=0，所以B错误.因为f(2022)+f(2024)=f(2)+f(0)=2，f(2023)=f(3)=1，所以f(2022)+f(2024)=2f(2023)，所以f(2023)是f(2022)与f(2024)的等差中项，故C正确.因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(3)+f(2)+f(4)=2+2+0=4，2024所以f(i)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=506×4=2024，故D正确.i=1故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为【答案】16【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故答案为：1613如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为a，则上层的最高点离平台的距离为.26+6【答案】a3【解析】依次连接四个球的球心O1,O2,O3,O4，则四面体O1-O2O3O4为正四面体，且边长为2a，22322正△O2O3O4外接圆半径r=O2O3sin60°=a，则O1到底面O2O3O4的距离h=(2a)-r=3326a，32626+6所以最高点到平台的距离为a+2a=a.3326+6故答案为：a32π14已知函数fx=23sinωxcosωx+2cosωx(ω>0)的定义域为0,2.若存在唯一x0，使得fx0≤fx恒成立，则正实数ω的取值范围是.210【答案】≤ω<33π【解析】fx=3sin2ωx+cos2ωx+1=2sin2ωx++1，6πππ令t=2ωx+6，则t∈6,ωπ+6，若存在唯一x0，使得fx0≤fx恒成立，ππ则函数y=2sint+1，在t∈6,ωπ+6上使得函数y=2sint+1取到唯一的最小值， 如图为函数y=sint的大致图象，ππ根据函数y=sint的图象性质可得，当函数y=sint在t∈6,ωπ+6取得唯一的最小值时，函数y=2sint+1也取到唯一的最小值，5ππ7π210则≤ωπ+<，解得≤ω<.66233210故答案为：≤ω<.33 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(14)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：10,7,6,9,8,9,5，这组数据的中位数和众数分别是()A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9【答案】D某乡镇7个村的得分：10,7,6,9,8,9,5，由小到大排序为：5,6,7,8,9,9,10，所以中位数为8，众数为9.故选：D.2设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，S7=9S4-8，则S5=()1565A.B.C.15D.3188【答案】D【解析】设等比数列an的公比为q，q>0，当q=1时，S7=7a1=7,9S4-8=9×4-8=28，S7≠9S4-8，所以q≠1.741×1-q9×1-q74所以=-8，q-9q+8q=0，1-q1-q63由于q>0且q≠1，所以q-9q+8=0，333则q-1q-8=0，所以q-8=0,q=2，51×1-2所以S5==31.1-2故选：D3若复数z满足iz=1+i，其共轭复数为z，则下列说法正确的是()A.z对应的点在第一象限B.z的虚部为-iC.z=1+iD.|z|=2【答案】C【解析】由iz=1+i两边乘以-i得，z=1-i，所以z对应点1,-1在第四象限，22z的虚部为-1，z=1+i，z=1+-1=2，所以C选项正确，ABD选项错误.故选：C2y2x4椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线l，交C于abA，B两点，若AB=F1F2，则C的离心率为()5-15A.B.2-1C.-1D.2-222【答案】A【解析】因为F1-c,0，且直线l垂直于x轴，可知直线l：x=-c，-c2y222b2b将x=-c代入椭圆方程可得+=1，解得y=±，所以AB=，a2b2aa 2222ba-c又因为AB=F1F2，则=2c，即=c，aa222155-1可得c+ac-a=0，则e+e-1=0，解得e=-+=.222故选：A.5如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则()A.OC=OEB.OA⋅OB>0C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=0【答案】C【解析】不妨设|OB|=|OC|=|OE|=1，则|OA|=|OD|=2，对于A项，显然OC与OE方向不一致，所以OC≠OE，故A项错误；对于B项，由图知∠AOB是钝角，则OA⋅OB=|OA|⋅|OB|cos∠AOB<0，故B项错误；1对于C项，由题意知点E是线段AD的中点，则易得：OE=(OA+OD),即得：OA+OD=22OE，故C项正确；对于D项，由OA+OC+OD=(OA+OD)+OC=2OE+OC，而OE与OC显然不共线，故OA+OC+OD≠0．即D项错误．故选：C．x-x316已知函数f(x)=e-e⋅x，若m满足flog2m+flog0.5m<2e-e，则实数m的取值范围是()111A.2,2B.(2,+∞)C.0,2D.0,2∪(2,+∞)【答案】Ax-x3【解析】因为函数f(x)=e-e⋅x定义域为R关于原点对称，-xx3x-x3且f-x=e-e⋅-x=e-e⋅x=fx，所以fx是定义在R上的偶函数，x-x32x-x又fx=e+e⋅x+3x⋅e-e，x-x当x>0时，e>1,0<e<1，则fx>0，所以fx在0,+∞单调递增，又log0.5m=-log2m，则flog0.5m=f-log2m=flog2m，11且f1=e-e，则不等式flog2m+flog0.5m<2e-e可化为2flog2m<2f1，即flog2m<f1，且fx是定义在R上的偶函数，fx在0,+∞单调递增，1则log2m<1，即-1<log2m<1，即log2<log2m<log22，2 11所以<m<2，即实数m的取值范围是,2.22故选：A7在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，2asinA-bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面S积，则的最大值为()2b710235A.B.C.D.4632【答案】D【解析】因为2asinA-bsinB=3csinC，22221232由正弦定理得2a-b=3c，所以a=b+c，2222222b+c-ab-c由余弦定理得cosA==，2bc4bc12S2bcsinAc2sin2Ac2(1-cos2A)1c418c22所以====-+-1，b2b44b24b264b4b2c2S2152令=t，则=(-t+18t-1)≤，当且仅当t=9，即c=3b时取等号，b2b2644S5所以≤，b22故选：D.228在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x+y=4，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则|OC|的最大值为()A.6+2B.25C.22+2D.5【答案】Cππ【解析】令∠OBA=θ∈0,2且|OB|=2，|BC|=4cosθ，要使|OC|最大有cos∠OBC=2+θ，222如下图示，在△OBC中|OC|=|OB|+|BC|-2|OB||BC|cos∠OBC，22π所以|OC|=4+(4cosθ)-2×2×(4cosθ)⋅cos+θ2 2=4+16cosθ+16sinθcosθ=8(sin2θ+cos2θ)+12π=82sin2θ++12，4π当且仅当θ=时|OC|max=82+12=222+3=2(1+2)，8所以|OC|的最大值为22+2.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9若a>b>1,c∈R，则下列说法一定正确的是()A.ac>bcB.logba>111abC.+≤4D.若a+b=4，则2+2>8ab【答案】BCD【解析】对于A，当c=0时，ac=0=bc，A错误；对于B，由a>b>1，得logba>logbb=1，B正确；1111对于C，由a>b>1，得0<<<1，则+<2≤4，C正确；abababababa+b对于D，由a>b>1，a+b=4，得2>2>2，2+2>22⋅2=22=8，D正确.故选：BCD10已知fx=sin2x+3cos2x，则()A.函数fx的最小正周期为ππB.将函数fx的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称6ππC.函数fx在区间,上单调递增1221π2πD.若fθ=2，则8tanθ+6-tanθ+6=1【答案】AD13π【解析】由fx=sin2x+3cos2x，得fx=22sin2x+2cos2x=2sin2x+3，2π对于A：最小正周期为T==π，所以A正确；2π对于B：将函数fx的图象上所有点向右平移，6ππ所得图象的函数解析式为gx=2sin2x-6+3=2sin2x，而gx为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以B错误；ππ3ππ7π对于C：令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，化简得kπ+≤x≤kπ+，2321212当k=0时，π≤x≤7π，又因为π,ππ,7π⊆，12121221212ππ所以函数在,单调递减，所以C错误；1221π1对于D选项：因为fθ=，所以sin2θ+=，234 sinθ+ππππ16cosθ+61所以sinθ+6cosθ+6=8，所以2π2π=8，sinθ+6+cosθ+6tanθ+π61π2π即得2π=8，也就是8tanθ+6-tanθ+6=1，tanθ+6+1所以D正确.故选：AD．11在四棱锥S-ABCD中，ABCD是矩形，AD⊥SD,∠SDC=120°,SD=CD=2BC=2,P为棱SB上一点，则下列结论正确是()A.点C到平面SAD的距离为33B.若SP=PB，则过点A,D,P的平面α截此四棱锥所得截面的面积为2C.四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π3D.直线AP与平面SCD所成角的正切值的最大值为3【答案】ACD【解析】如图，对于A，因为AD⊥SD,AD⊥DC，又SD∩DC=D,SD,DC⊂面SDC，所以AD⊥面SDC，所以点A到平面SDC的距离为AD=BC=1，又因为∠SDC=120°,SD=CD=2，3所以点C到平面SAD的距离为×2=3，故A正确；2对于B，因为SP=PB，所以点P为棱SB的中点，取SC中点Q，连接PQ,DQ，可得平面APQD即平面α截此四棱锥所得截面，且由于Q是SC的中点，点P为棱SB的中点，11所以在△SBC中，PQ是△SBC的中位线，则PQ=BC=，PQ⎳BC，22又因为四边形ABCD是矩形，则BC⎳AD，所以PQ/AD，因AD⊥面SDC，AD⊄面SDC，QC⊂面SDC，所以四边形APQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形，因为SD=CD=2，在等腰三角形SCD中，QD⊥BC，且QD平分∠ADC，11则QD=CD⋅cos∠SDC=2×=1，22113则平面α截此四棱锥所得截面的面积为×1+×1=，故B错误；224对于C，又因为∠SDC=120°,SD=CD=2，所以SC=2cos30°+2cos30°=23， SC23所以2r===4，即r=2，其中r为△SCD外接圆半径，sin∠SDC32因为AD⊥面SDC，2CD221217所以四棱锥S-ABCD外接球的半径为R=r+2=2+2=2，所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π，故C正确；对于D，因为AD⊥面SDC，所以直线AP与平面SCD所成角为∠APD，3所以当点P与点B重合时，∠APD最大，积tan∠APDmax=，故D正确.3故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为4%，乙生产线的次品率为7%，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为．19【答案】2021【解析】由题意取到合格品的概率为p=×1-4%+×1-7%=0.95.2+12+1故答案为：0.95.13近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是．【答案】540123【解析】若三个景点安排的人数之比为1:2:3，则有C6C5A3=360种安排方法；11C6C53若三个景点安排的人数之比为1:1:4，则有⋅A3=90种安排方法；2A222C6C43若三个景点安排的人数之比为2:2:2，则有⋅A3=90种安排方法，3A3故不同的安排方法种数是360+90+90=540．故答案为：540xe,x≥014已知函数fx=-x2,x<0，若函数fx的图象在点Ax1,fx1x1<0和点AMBx2,fx2x2>0处的两条切线相互平行且分别交y轴于M、N两点，则的取值范围为BN.e【答案】2,+∞【解析】当x<0时，fx2=-x，fx=-2x，则fx1=-2x1，当x>0时，fxxxx2=e，fx=e，则fx2=e，因为函数fx的图象在点Ax1,fx1x1<0和点Bx2,fx2x2>0处的两条切线相互平行，x2则fx=fx，即-2x=ex2，则x=-e，1211222x2AM=1+4x1⋅x1，BN=1+e⋅x2， 2xAM1+4x⋅xx2111e所以，==-=，BN1+e2x2⋅xx22x22xexx-1e令gx=，其中x>0，则gx=，2x2x2当0<x<1时，gx<0，此时函数gx在0,1上单调递减，当x>1时，gx>0，此时函数gx在1,+∞上单调递增，eAMe所以，gx≥g1=2，因此，取值范围是2,+∞.BNe故答案为：2,+∞ 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(15)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为：90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为()A.120B.122.5C.125D.130【答案】C【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为：90,100,115,120,125,130，由于6×75%=4.5，故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125，故选：C2已知集合A=x2≤1，B=x∣x2-2x>0，则()xA.A⊆BB.A⊇BC.A=BD.A∪B=R【答案】B222-x2-xx≤0【解析】≤1,-1=≤0⇔，解得x<0或x≥2，xxxx≠0所以A=x|x<0或x≥2.2x-2x=xx-2>0，解得x<0或x>2，所以B=x|x<0或x>2.所以A⊇B，B选项正确，其它选项错误.故选：B3最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积)，已知数据如图(注意：单位cm)，则平地降雪厚度的近似值为()91319597A.cmB.cmC.cmD.cm1241212【答案】C20+40【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为=15cm，4122π×20×10+15+10×15395所以平地降雪厚度的近似值为=cm.π×20212故选：C 4已知平面向量a，b满足a=32，b=1，并且当λ=-4时，a+λb取得最小值，则sina,b=()221151A.B.C.D.3344【答案】B【解析】平面向量a，b满足a=32，b=1，则a⋅b=32cosa,b，2222a+λb=a+2λa⋅b+λb，2=λ+62cosa,bλ+18，2则λ=-32cosa,b时，a+λb取得最小值，即a+λb取得最小值，22故-32cosa,b=-4，解得：cosa,b=，3∵a,b∈0,π2221则sina,b=1-=，33故选：B.25已知抛物线E:y=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，若AB=3OF(O为坐标原点)，且△ABF的面积为122，则E的方程为()2222A.y=4xB.y=43xC.y=8xD.y=83x【答案】C【解析】由题意，2在抛物线E:y=2px(p>0)中，AB=3OF，pp焦点F2,0，准线l:x=-2p3∴OF=，AB=p，则Ap,±2p22113∴S△ABF=AB⋅yA=⋅p⋅±2p=122，解得：p=42222∴E的方程为：y=8x.故选：C.6已知函数fx的定义域为R，且fx-1-1为奇函数，fx+1为偶函数，则f2023=()A.-2B.-1C.0D.1【答案】D【解析】函数fx的定义域为R，由fx-1-1为奇函数，得f(-x-1)-1=-[f(x-1)-1]，即f(-x-1)=-f(x-1)+2，由fx+1为偶函数，得f(-x+1)=f(x+1)，即f(-x-1)=f(x+3)，因此f(x+3)=-f(x-1)+2，即f(x+4)=-f(x)+2，则f(x+8)=-f(x+4)+2=f(x)，即函数f(x)的周期是8，由f(-x-1)=-f(x-1)+2，得f(-1)=1，所以f2023=f(253×8-1)=f(-1)=1.故选：D 1π7已知sinα-cosα=，0≤α≤π，则sin2α-=()54172172312312A.-B.C.-D.50505050【答案】D11【解析】将sinα-cosα=平方得1-2sinαcosα=，52524π所以2sinαcosα=，则α∈0,．25222449所以sinα+cosα=1+2sinαcosα=1+=，25257从而sinα+cosα=．5sinα-cosα=1sinα=455联立，得．sinα+cosα=7cosα=355242232427所以sin2α=2sinαcosα=25，cos2α=cosα-sinα=5-5=-25．π22247312故sin2α-4=2sin2α-cos2α=2×25--25=50．故选：D888已知复数z1,z2满足z1+1-i+z1-1+i=26,z2=p++p+i，(其中p>0,i是虚数单pp位)，则z1-z2的最小值为()A.2B.6C.42-2D.42+2【答案】B【解析】设z1=x+yi，(其中x∈R,y∈R，i是虚数单位)，z1在复平面的对应点Z1x,y则z1+1-i+z1-1+i=x+1+y-1i+x-1+y+1i2222=x+1+y-1+x-1+y+1=26即点Z1的轨迹表示为焦点分别在-1,1，1,-1的椭圆，且该椭圆的长轴为直线y=-x，短轴为直12222线y=x.长半轴长为a=6，半焦距c=1+1+1+1=2，短半轴长为b=a-c=2.2因为p>088所以p+≥2p×=42pp88设z2在复平面的对应点Z2p+,p+,p>0.pp即点Z2的轨迹表示为射线y=x(x≥42)上的点.若使得z1-z2最小，则需Z1Z2取得最小值，即点Z1为第一象限内的短轴端点，点Z2为射线y=x(x≥42)的端点时，Z1Z2最小.22z1-z2min=Z1Z2min=OZ2-b=42-0+42-0-2=8-2=6 故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.ππ9已知函数fx=tanx++1，则()24A.fx的一个周期为2B.fx的定义域是xx≠1+k,k∈Z21C.fx的图象关于点,1对称D.fx在区间1,2上单调递增2【答案】ACDπππ【解析】对于A，由fx=tanx++1可知其最小正周期T=π=2，故A正确；242πππππ1对于B，由fx=tanx++1可知x+≠+kπ⇒x≠+2k,k∈Z，242422故B错误；ππ1πππ对于C，由fx=tanx++1可知x=⇒x+=，2422421此时fx的图象关于点,1对称，故C正确；2ππππ3π5π对于D，由fx=tan2x+4+1可知x∈1,2⇒2x+4∈4,4，又y=tanx在π,3π3π,5ππ,3π上递增，显然⊂，故D正确.224422故选：ACD10某射箭俱乐部举行了射箭比赛，甲、乙两名选手均射箭6次，结果如下，则()次数第x/次123456环数y/环786789甲选手次数第x/次123456环数y/环976866乙选手A.甲选手射击环数的第九十百分位数为8.5B.甲选手射击环数的平均数比乙选手的大C.从发挥的稳定性上看，甲选手优于乙选手 D.用最小二乘法求得甲选手环数y关于次数x的经验回归方程为y=0.3x+a，则a=6.45【答案】BCD【解析】对于A中，由甲选手射击环数从小到大排列为：6,7,7,8,8,9，又由6×90%=5.4，所以甲选手射击环数的第九十百分位数为9，所以A错误；1对于B中，根据题意，可得甲的射击环数的平均数为y1=6+7+7+8+8+9=7.5，61乙的射击环数的平均数为y2=9+7+6+8+6+6=7，6因为y1>y2，所以甲选手射击环数的平均数比乙选手的大，所以B正确；212222对于C中，由题意，甲的射击环数的方差为s1=[(7-7.5)+(8-7.5)+(6-7.5)+(7-7.5)+62211(8-7.5)+(9-7.5)]=，12212222224乙的射击环数的方差为s2=[(9-7)+(7-7)+(6-7)+(8-7)+(6-7)+(6-7)]=，6322因为s1<s2，所以从发挥的稳定性上看，甲选手优于乙选手，所以C正确；17对于D中，由甲的射击环数的数据，可得x1=(1+2+3+4+5+6)=，62715157所以样本中心为,，代入回归方程为y=0.3x+a，可得=0.3×+a，2222解得a=6.45，所以D正确.故选：BCD.11英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数f(x)有两个不相等的实根b,c，其中c>b.在函数f(x)图象上横坐标为x1的点处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标xn-b为x2；用x2代替x1，重复以上的过程得到x3；一直下去，得到数列{xn}.记an=ln，且a1=1，xn>xn-cc，下列说法正确的是()ec-bA.x1=(其中lne=1)B.数列{an}是递减数列e-1C.a=1D.数列a+1的前n项和S=2n-21-n+16nn32an【答案】ADx1-bx1-be·c-b【解析】对于A选项，由a1=ln=1得=e，所以x1=，故A正确.x1-cx1-ce-1∵二次函数fx有两个不等式实根b，c，∴不妨设fx=ax-bx-c，因为fx=a2x-b-c，所以fx=a2x-b-c，nn∴在横坐标为xn的点处的切线方程为：y-fxn=a2xn-b-cx-xn，22a⋅xn2xn-b-c-fxnaxn-abcxn-bc令y=0，则xn+1===，a2xn-b-ca2xn-b-c2xn-b-c2222xn+1-bxn-bc-b2xn-b-cxn-2bxn+b(xn-b)因为===xn+1-cx2-bc-c2x-b-cx2-2cx+c2(x-c)2nnnnnxn+1-bxn-b所以ln=2ln，即：an+1=2anxn+1-cxn-c所以an为公比是2，首项为1的等比数列.n-1所以an=2故BC错. 1-111n-11-2n2n21n-1nn对于D选项，由an+a=2+2，得Sn=1-2+1=2-1+2-n=2+1-n-1n1-222故D正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.21512二项式x+的展开式中，x的系数为.x【答案】1021521【解析】要x+中含有x的项,则需要在5项中选取2个x与3个相乘,故含有x的项为xx33221C5(x)x=10x,故x的系数为10故答案为10.13已知△ABC是边长为8的正三角形，D是AC的中点，沿BD将△BCD折起使得二面角A-BDπ-C为，则三棱锥C-ABD外接球的表面积为．3208【答案】π3【解析】在三棱锥C-ABD中，BD⊥AD,BD⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD，π由二面角A-BD-C为，AD=CD=4，得△ACD是正三角形，令其外接圆圆心为O，32π43则OD=ADsin=，令三棱锥C-ABD外接球的球心为O，球半径为R，333则OO⊥平面ACD，即有OO⎳BD，显然球心O在线段BD的中垂面上，令线段BD的中垂面交BD于E，则OE⊥BD，显然OD⊥BD，于是OE⎳OD，四边形OEDO是平行四边形，且是矩形，12222432252而DE=2BD=23，因此R=OD=OE+DE=3+(23)=3，2208所以三棱锥C-ABD外接球的表面积S=4πR=π.3208故答案为：π3a2x2x14已知函数fx=alnx-2x(a>0)，若不等式x≥2efx+e对x>0恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】0,2ea2x2x【解析】不等式x≥2efx+e对x>0恒成立， axalnx-2x等价于≥2fx+1，即e≥2fx+1，2xefx所以e-2fx-1≥0,t设gt=e-2t-1，其中t=fx，t-2，令gt则gt=e=0得t=ln2，所以当t<ln2时，gt<0，gt单调递减，当t>ln2时，gt>0，gt单调递增，2所以gxmin=gln2=1-2ln2<0，又g0=0，g2=e-5>0，所以存在t0∈ln2,2使得gt0=0，所以若gt≥0，则t≤0或t≥t0，即fx≤0或fx≥t0，aa-2xfx=-2=，x>0，xxa所以在0,上，fx>0，fx单调递增，2a在,+∞上，fx<0，fx单调递减，2aaa所以fxmax=f2=aln2-a，所以只有aln2-a≤0才能满足要求，a即aln-1≤0，又a>0，解得0<a≤2e，2所以实数a的取值范围为0,2e．故答案为：0,2e 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(16)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2x1已知集合A=xx-2x-8≤0,B=x2<8，则A∩B=()A.x-2≤x≤4B.x-4≤x≤2C.x-2≤x<3D.x-4≤x<3【答案】C2【解析】A=xx-2x-8≤0=x-2≤x≤4，xB=x2<8=xx<3，则A∩B=x-2≤x<3.故选：C.2某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40，40,60，60,80，80,100.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A.40B.45C.50D.60【答案】C【解析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20(0.005+0.010)=0.300，15由于低于60分的人数是15，则该班的学生人数是=50，0.300故选：Cx3已知直线l与曲线fx=e+sinx在点0,f0处的切线垂直，则直线l的斜率为()1A.-1B.1C.-D.22【答案】Cxx【解析】由函数fx=e+sinx，可得fx=e+cosx，1则f0=2，所以直线l的斜率为-.2故选：C．4若数列{nan}的前n项和Tn=2n(n+1)(2n+1)，则数列{an}的前n项和Sn=()2122322A.n+11nB.n+nC.6n+6nD.-6n+12n22【答案】C【解析】因为数列{nan}的前n项和Tn=2n(n+1)(2n+1)，所以当n≥2时，Tn-1=2n(n-1)(2n-1)，两式相减，得2nan=2n(n+1)(2n+1)-2n(n-1)(2n-1)=12n，当n=1时，a1=2×2×3=12也符合该式，所以an=12n，an+1-an=12n+1-12n=12， 所以数列{an}是首项为12，公差为12的等差数列，n(n-1)2所以Sn=12n+×12=6n+6n.2故选：C．5如图，AB为圆锥SO底面圆的一条直径，点C为线段SA的中点，现沿SA将圆锥SO的侧面展开，所得的平面图形中△ABC为直角三角形，若SA=4，则圆锥SO的表面积为()32π16πA.B.C.8πD.12π99【答案】B【解析】如图所示，作出展开图，可得∠CAB,∠CBA为锐角，故BC⊥SA，2π由SC=CA，可得BS=BA，即△ASB为等边三角形，所以∠ASA=，34×2π212π16π316π则圆锥的侧面积为2×3×16=3，底面积π×2π=9，16π所以圆锥SO的表面积为.9故选：B．62024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是()A.54B.21C.18D.36【答案】D23【解析】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：C3A3=18， 11C3C23若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：A3=18，2A2所以不同的选法总数为:18+18=36.故选：D．tanα-1π7已知=2，则sin2α+的值为()1+tanα64+334-334+334-33A.-B.-C.D.10101010【答案】Atanα-1【解析】由=2，得tanα=-3，1+tanα2sinαcosα2tanα-63所以sin2α====-，sin2α+cos2αtan2α+1105222cosα-sinα1-tanα1-94cos2α====-，sin2α+cos2αtan2α+1105πππ所以sin2α+=sin2αcos+cos2αsin66633414+33=-×+-×=-，525210故选：A0.0018若a=0.001+sin0.001，b=ln1.001，c=e-1，则()A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b【答案】Dx【解析】令fx=x+sinx，gx=lnx+1，hx=e-1，xxpx=hx-fx=e-1-x-sinx，qx=hx-gx=e-1-lnx+1，xx1则px=e-1-cosx,qx=e-，x+1令mxx11=px，mx=e+sinx，当x∈0,2时，mx>0，所以px在0,2时单调递增，所以当x∈0,1时，px1=e-1-cos1<e-1-cosπ=e-1-3<0，2<p22621所以px在x∈0,2时单调递减，所以p0.001<p0=0，所以c<a；1时，qx-1，令nxx1当x∈0,x=e=qx，则nx=e+>0，2x+1(x+1)2所以nx1=qx在0,上单调递增，所以qx≥q0=0，21所以qx在0,2上单调递增，所以q0.001>q0=0，所以c>b，综上，a>c>b.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.π9用“五点法”作函数fx=Asinωx+φ+BA>0，ω>0，ϕ<在一个周期内的图象时，列表2 计算了部分数据，下列有关函数y=fx描述正确的是()π3πωx+φ0π2π22π5πxabc36fx131d1A.函数fx的最小正周期是π5πB.函数fx的图象关于点,0对称6πC.函数fx的图象关于直线x=对称3πD.函数fx与gx=-2cos2x++1表示同一函数3【答案】ACDππω⋅+φ=ω=232B=1π【解析】根据表格可知5π3π⇒φ=-π，且A=2，则fx=2sin2x-6+1，ω⋅+φ=6622π由正弦函数的周期性可知fx的最小正周期为T==π，故A正确；ω由已知结合正弦函数的对称性可知：5π5ππ3πx=⇒fx=2sin2×-+1=2sin+1=-1，66625π显然fx此时取得最小值，所以fx的图象不关于点,0对称，故B错误；6由已知结合正弦函数的对称性可知：ππππx=⇒fx=2sin2×-+1=2sin+1=3，此时fx取得最大值，3362π所以fx的图象关于直线x=对称，故C正确；3πππ由诱导公式可知gx=-2cos2x+3+1=2sin2x+3-2+1=fx，故D正确.故选：ACD10已知z为复数，设z，z，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则()A.OA=OBB.OA⊥OCC.AC=BCD.OB∥AC【答案】AB【解析】设z=a+bia,b∈R，∴Aa,b，z=a-bia,b∈R，∴Ba,-b，iz=ia+bi=-b+ai，∴C-b,a，OA=a,b,OB=a,-b,OC=-b,a,AC=-b-a,a-b,BC=-b-a,a+b2222对于A，∵a+b=a+-b∴OA=OB，故选项A正确；对于B，∵a-b+ba=0，∴OA⊥OC，故选项B正确；2222对于C，∵AC=-b-a+a-b,BC=-b-a+a+b，当ab≠0时，AC≠BC，故选项C错误；22对于D，∵aa-b--b-b-a=a-2ab-b， 22a-2ab-b可以为零，也可以不为零，所以OB不一定平行于AC，故选项D错误.故选:AB.11定义在R上的函数fx同时满足①fx+1-fx=2x+2,x∈R；②当x∈0,1时，fx≤1，则()A.f0=-1B.fx为偶函数*2C.存在n∈N，使得fn>2023nD.对任意x∈R,fx<x+x+3【答案】ACD【解析】对于A，∵fx+1-fx=2x+2，令x=0，则f1-f0=2，即f1=f0+2，又x∈0,1，fx≤1，即-1≤fx≤1，-1≤f0≤1-1≤f0≤1可知，即，得-1≤f0≤-1即f0=-1，故A正确；-1≤f1≤1-1≤f0+2≤1对于B，由选项A可得f1=f0+2=1，又令x=-1得f0-f-1=0，解得f-1=-1，∴f-1≠f1，所以函数fx不是偶函数，故B错误；*对于C，因为fx+1-fx=2x+2，当n≥2,n∈N时，fn=fn-fn-1+fn-1-fn-2+⋯+f2-f1+f1=2n+2n-2+⋯+2×2+1=2n+n-1+⋯+2+1n-1n+22=2×+1=n+n-1，又f1=1满足上式，22*2∴fn=n+n-1，n∈N，令n=2023，则f2023=2023+2022>2023×2023，*所以存在n∈N，使得fn>2023n，故C正确；2对于D，令gx=fx-x-x，22则gx+1-gx=fx+1-x+1-x+1-fx+x+x=fx+1-fx-2x-2=0，即gx+1=gx，即gx是以1为周期的周期函数，因为当x∈0,1，fx≤1，22则gx=fx-x-x≤fx+x+x≤3，当且仅当x=1且f1与2异号时等号成立，但f1=1，故f1与2同号，故等号不成立，故gx<3结合周期性可知对任意x∈R，均有gx<3，222所以fx=gx+x+x≤gx+x+x<x+x+3，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.3412已知向量a=5,5，b为单位向量，且满足a+b=b-2a，则向量b在向量a方向的投影向量为32【答案】,105222212【解析】因为a+b=a-2b，所以a+b+2a⋅b=a+4b-4a⋅b，即a⋅b=b，2341又a=5,5，b为单位向量，则a=1，a⋅b=2，a⋅ba132所以向量b在向量a方向的投影向量为⋅=a=,.2105aa 32故答案为：,10513若正四面体ABCD的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB,AD交于点E,F，则空间四边形BCFE的四条边长之和的最小值为.【答案】4+3##3+4【解析】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，设正四面体ABCD棱长为2a，所以正方体的边长为a，DH易知正方体的外接球直径为体对角线DH的长，又DH=3a，所以正四面体的半径R==23a，222依题有4πR=3πa=6π，得到a=2，即正四面体ABCD的棱长为2，因为BD⎳面CEF，面ABD∩面CEF=EF，BD⊂面ABD，所以EF⎳BD，设AF=λAD(0<λ<1)因为AB=AD=BD=2，则AF=AE=2λ，BE=DF=2-2λ，π在△EAF中，因为∠EAF=，所以EF=2λ，3π2π2在△FDC中，∠FDC=，DC=2，则FC=(2-2λ)+4-2×(2-2λ)×2×cos=2λ-λ+1，3322所以空间四边形BCFE的四条边长之和L=2λ+2-2λ+2+2λ-λ+1=4+2λ-λ+1=4+1232λ-2+4，1又0<λ<1，当λ=时，Lmin=4+3，2故答案为：4+3.2y2x214已知P是双曲线C:-=λ(λ>0)上任意一点，若P到C的两条渐近线的距离之积为，843则C上的点到焦点距离的最小值为．【答案】3-22y2x【解析】所求的双曲线方程为-=λ(λ>0)，则渐近线方程为x±2y=0，8422x0y022设点Px0,y0，则-=λ⇒x0-2y0=8λ，8422x0+2y0x0-2y0x0-2y08λ2点P到C的两条浙近线的距离之积为⋅===，12+(2)212+(2)233321x2解得：λ=，故双曲线C方程为：-y=1，42 故a=2,c=3，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=3-2．故答案为：3-2． 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(17)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21直线l过抛物线C:x=-4y的焦点，且在x轴与y轴上的截距相同，则l的方程是()A.y=-x-1B.y=-x+1C.y=x-1D.y=x+1【答案】A2【解析】由抛物线C:x=-4y的焦点为F(0,-1)，又由直线l在x轴与y轴的截距相同，可得直线方程为x+y+m=0，将点F(0,-1)代入x+y+m=0，可得m=1，所以直线l的长为y=-x-1.故选：A.1x2已知集合A=xlog1x≥1，B=yy=2,x≥2，则A∩B=()2A.0,111,11,+∞4B.0,2C.42D.2【答案】A【解析】由logx≥1，得0<x≤1，所以A=x0<x≤112221x1又因为B=yy=2,x≥2=y0<y≤4，所以A∩B=B.故选：A．223平面向量a=-2,k,b=2,4，若a⊥b，则a-b=-4+-3=5()A.6B.5C.26D.25【答案】B【解析】因a=-2,k,b=2,4，a⊥b，所以a⋅b=-2×2+4k=0，解得k=1，所以a-b=-2-2,k-4=-4,-3，22因此a-b=-4+-3=5.故选：B．4设α，β，γ表示平面，l表示直线，则下列说法中，错误的是().A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γC.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD.如果α⊥β，α⊥γ，则β⎳γ【答案】D【解析】对于选项A：根据线面关系可知：对于α与β的位置关系是平行或相交，在α内均存在直线平行于β，故A正确；对于选项B：构造正方体(如图)，取α平面CDD1C1，β为平面ADD1A1，γ为平面ABCD， 直线l即为直线DD1，故B正确；对于选项C：可用反证法假设a⊂α，a⊥β⇒α⊥β，与已知矛盾，故C正确；对于选项D：如果α⊥β，α⊥γ，β与γ的位置关系为：平行或相交.故选：D.πππ5已知sinα-4+cosα-4=sinα，则tanα-4=()2A.0B.1C.-1D.2【答案】Cππππ【解析】因为sinα-4+cosα-4=2sinα-4+4=2sinα，所以2sinα=sinα，则sinα=0，即α=kπ,k∈Z，ππ所以tanα-4=tankπ-4=-1.故选：C6已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，AB是它的一条对称轴，F是它的左焦点，光线从焦点F发出，经过镜面上点P，反射光线为PQ，若∠AFP=90°，∠FPQ=135°，则该双曲线的离心率为()A.2B.2C.2+1D.3【答案】C【解析】以FB所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，设双曲线的右焦点为F1，依题意可知直线QP过F1，依题意，∠AFP=90°，∠FPQ=135°，则∠PFF1=∠FF1P=45°，所以三角形PFF1是等腰直角三角形，2y2-c2y2x设双曲线的方程为-=1a>0,b>0，xP=-c，由-=1，2222abab2b解得yP=(负根舍去)，由于PF=FF1，a2b222所以=2c,b=2ac,c-a=2ac，a 222c2c2c-2ac-a=0，两边除以a得-2⋅-1=0,e-2e-1=0，aa解得e=1+2(负根舍去).故选：Cπ7已知函数fx=sinωx+φ(ω>0)，若任意φ∈R,fx在0,上有零点，则ω的取值范围为2()A.0,+∞B.1,+∞C.2,+∞D.3,+∞【答案】Cππω【解析】由x∈0,2，可得ωx+φ∈φ,2+φ，π令t=ωx+φ，因为任意φ∈R,fx在0,上有零点，2πω则sint=0在φ,+φ上有解，2又因为sint=0在a,b内有解的最短区间长度为b-a=π，πω所以+φ-φ>π，解得ω>2.2故选：C.f(x1)-f(x2)8已知函数f(x)=xlnx-x，若∀x1>0,x2>0，且x1≠x2，恒有tx1tx2<1，则正实数t的取e-e值范围为()11A.[e,+∞)B.e,+∞C.0,eD.0,e【答案】B【解析】不妨设0<x1<x2，又t>0，则tx1<tx2，tx1tx2tx1tx2所以f(x1)-f(x2)>e-e，即f(x1)-e>f(x2)-e恒成立，txtx故gx=fx-e单调递减，则gx=lnx-te≤0恒成立，txtxtxtx即xlnx≤txe=elne．当x∈0,1时，xlnx≤0<txe成立，符合题意；当x∈1,+∞时，设hx=xlnx，则hx=lnx+1>0，故hx单调递增，txtxlnx由he≥hx得e≥x恒成立，即t≥成立．xlnx1-lnx设Hx=，Hx=，xx2则x∈0,e时，Hx>0，当x∈e,+∞时，Hx<0，即Hx在0,e单调递增，在e,+∞单调递减，11Hx≤he=，所以t≥.ee故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z=2+x⋅ix>0，设y=z⋅z，当x取大于0的一组实数x1、x2、x3、x4、x5时、所得的y值依次为另一组实数y1、y2、y3、y4、y5，则()A.两组数据的中位数相同B.两组数据的极差相同C.两组数据的方差相同D.两组数据的均值相同【答案】BC【解析】因为z=2+x⋅ix>0，则z=2-x⋅i，则y=z⋅z=2+x⋅i2-x⋅i=x+4，所以，yn=xn+4n=1,2,3,4,5，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，则y1≤y2≤y3≤y4≤y5，对于A选项，x值的中位数为x3，y值的中位数为y3，且y3=x3+4>x3，A错；对于B选项，x值的极差为x5-x1，y值的极差为y5-y1，且y5-y1=x5+4-x1+4=x5-x1，故两组数据的极差相同，B对；x1+x2+x3+x4+x5对于C选项，记x=，5y1+y2+y3+y4+y5x1+4+x2+4+x3+4+x4+4+x5+4y==55x1+x2+x3+x4+x5=+4=x+4，5222222x1-x+x2-x+x3-x+x4-x+x5-xx值的方差为sx=，5222222y1-y+y2-y+y3-y+y4-y+y5-yy值的方差为sy=5=22222x1+4-x+4+x2+4-x+4+x3+4-x+4+x4+4-x+4+x5+4-x+4522222x1-x+x2-x+x3-x+x4-x+x5-x2==sx，5故两组数据的方差相同，C对；对于D选项，由C选项可知，y=x+4>x，D错.故选：BC.310如图，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且AB=，过点A任作一222条直线与圆O:x+y=1相交于M，N两点，则()25225A.圆C的方程为x-1+y-=416B.圆C与圆O的相交弦所在直线方程为4x+5y+4=0|MA||NB|5C.+=|MB||NA|2 |MA||NB|3D.-=|MB||NA|2【答案】AC222【解析】由圆C与x轴相切于点T(1，0)，可设圆C的方程为(x-1)+(y-b)=b，22325225225所以b=1+4=4，所以圆C的方程为(x-1)+y-4=16，故A正确；圆C与圆O的方程相减得4x+5y-4=0，此方程即为其相交弦所在直线方程，故B错误；2125|PA|x+y-24-y1设Px,y为圆O上任意一点，则===，|PB|x2+(y-2)25-4y2|MA||NA|1|MA||NB|3|NB||MA|5所以==，所以-=-，+=，|MB||NB|2|MB||NA|2|NA||MB|2故C正确，D错误，故选:AC．11已知定义在R上的函数fx满足fx×fx-fx-y=fxy，当x∈-∞,0∪0,+∞，时，fx≠0.下列结论正确的是()11A.f=B.f10=1C.fx是奇函数D.fx在R上单调递增22【答案】ACD【解析】令x=y=0，可得f0=0.2令x=y=1，可得f1=f1.因为当x>0时，fx≠0，所以f1=1.22令x=y，可得fx=fx≥0.2因为x≥0，所以当x≥0时，fx≥0.又因为当x>0时，fx≠0，所以当x>0时，fx>0.令y=1，可得fx×fx-fx-1=fx，①所以fx-fx-1=1,fx+1-fx=1，两式相加可得fx+1-fx-1=2.令y=-1，可得fx×fx-fx+1=f-x.②①-②可得fx×fx+1-fx-1=fx-f-x，化简可得fx=-f-x，所以fx是奇函数，C正确.由fx-fx-1=1，可得：f2=f1+1=2,f3=f2+1=3,f4=f3+1=4,⋯,f10=10，B错误.f11fx+1-fx=12-f-2=111由fx=-f-x可得11解得f2=2，A正确.f2=-f-2fx1x1-x2令x=x1,y=x1-x2，可得fx1-fx2=.fx1令0<x2<x1，则x1-x2>0,x1x1-x2>0.因为当x>0时，fx>0，所以fx1>0,fx1x1-x2>0，fx1x1-x2所以fx1-fx2=>0，即fx1>fx2，fx1所以fx在0,+∞上单调递增.因为fx为奇函数，所以fx在R上单调递增，D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，则这4个人名次排列的可能情况共有种．【答案】143【解析】直接法：当乙是第1名时，甲、丙、丁共3名同学有A3=6种排法；112当乙不是第1名时，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同学共有A2⋅A2⋅A2=8种排法，所以这4个人名次排列共有14种．432间接法：这4个人名次排列的可能情况共有A4-2A3+A2=14种．故答案为：14*13已知数列an满足a1=1,2an+1-an+anan+1=0(n∈N)，则数列an的通项公式为．1【答案】an=n2-1【解析】数列an中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0，11111则有=2⋅+1，即+1=2+1，而+1=2，an+1anan+1ana1因此数列1+1是以2为首项，2为公比的等比数列，an1n1所以+1=2，即an=．ann2-11故答案为：an=n2-114已知球O的表面积为36π，三棱锥P-ABC的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最大值为．【答案】832【解析】根据题意，设球的半径为R，则有4πR=36π，解得R=3，设底面ABC的外接圆的圆心为O1，需要△ABC的面积越大，先定住A,B点，若要△ABC的面积最大，则△ABC得为等腰三角形，且O1在△ABC的底边的高线上，如图所示，22设O1到线段AB的距离为O1M=x，底面ABC的外接圆半径为r，故AB=2r-x，1223S△ABC=⋅2r-x⋅r+x=r-xr+x，0≤x<r，23令Fx=r-xr+x，0≤x<r，322故Fx=-r+x+3r-xr+x=r+x2r-4x，r当0<x<时，Fx>0，Fx单调递增，2r当<x<r时，Fx<0，Fx单调递减，2 r所以Fxmax=F2，此时△ABC的面积最大，1π此时cos∠BO1M=，即∠BO1M=，23所以△ABC是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，设正三角形ABC的底面边长为t，OO1=d，三棱锥的高为h，322222则2t×3+d=9，故t=39-d，132132323所以三棱锥的体积：V=⋅th≤⋅t3+d=27+9d-3d-d，3434423令fd=27+9d-3d-d，d∈0,3，由fd=-3d-13+d=0，得d=1，当0<d<1时，fd>0，fd单调递增，当1<d<3时，fd<0，fd单调递减，故当d=1时，fd取最大值，即三棱锥的体积取得最大值为83，故答案为：83. 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(18)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是()A.130B.132C.134D.136【答案】C132+136【解析】8×75%=6，=134，2故选：C5-i2已知复数z=(i为虚数单位)，则z的共轭复数z=()1+iA.2+3iB.2-4iC.3+3iD.2+4i【答案】A5-i5-i1-i4-6i【解析】∵z====2-3i1+i1+i1-i2∴z=2-3i故z=2+3i故选：A.3若向量a=(λ,4),b=(2,μ)，则“λμ=8”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意a∥b⇔λμ=8，则“λμ=8”是“a∥b”的充要条件.故选：C．π1π4若cos6-α=3，则sin2α+6=()424277A.B.-C.D.-9999【答案】Dπ1【解析】因为cos-α=，63πππ2π127则sin2α+6=cos3-2α=cos26-α=2cos6-α-1=2×3-1=-9.故选：D．5口袋里有红黄蓝绿的小球各四个，这些球除了颜色之外完全相同，现在从口袋里任意取出四个小球，则不同的方法有()种.A.48B.77C.35D.39【答案】C【解析】根据条件，取出的四个球可以分为一种，两种，三种，四种颜色，当取出的球只有一种颜色时：有4种；2当取出的球只有二种颜色时：有C41+2=18种； 31当取出的球只有三种颜色时：有C4C3=12种；当取出的球只有四种颜色时：有1种；共有：4+18+12+1=35种.故C项正确.故选：C.6科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为()23(参考数据：9.5≈90，9.5≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)3333A.9064mB.9004mC.8944mD.8884m【答案】A19【解析】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R==9.5(m)，而圆台一个底面的半2径为r=1(m)，14317143则V半球=××π×9.5≈π(m)，23323V圆柱=π×9.5×14≈1260π(m)，12231663V圆台=×9.5π+9.5π×π+π×31.5≈π(m)，33171431663所以V=V半球+V圆柱+V圆台≈π+1260π+π≈9064(m)．33故选：A．7已知点P为直线x-22y+5=0上的动点，平面内的动点Q到两定点M(1,0)，N(3,0)的距离|MQ|1分别为|MQ|和|NQ|，且=，则点P和点Q距离的最小值为()|NQ|216454A.B.C.D.9933【答案】2|MQ|1|MQ|122【解析】设Qx,y，由=得=,4|MQ|=|NQ|，|NQ|2|NQ|2422222225即4x-1+y=x-3+y，即x-x+y=，331221614也即x-3+y=9，所以Q点轨迹是以3,0为圆心，半径为3的圆，1-22×0+5344所以点P和点Q距离的最小值为-=.1+-22239故选：B 62-ln28已知a=ln3，b=log2e，c=，则a，b，c的大小关系是()2eA.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】C23lne62-ln223ln3【解析】因为c==，a=ln3=，22ee32lnx构造函数fx=，x1-lnx因为fx=，2xlnx所以当x>e时，fx<0，函数fx=在e,+∞上单调递减，xlnx当0<x<e时，fx>0，函数fx=在0,e上单调递增，x2e2lne2ln3又>3>e，所以<，22e3223lne23ln3故<，即a>c，2e3233ln3ln27log2e因为a=ln3==，b=log2e=，3334433因为e>2.7>27，e>2.7>16，43所以lne=4>ln27，log2e>log216=4，3log2eln27所以>，即b>a，33所以c<a<b，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.π9关于函数f(x)=2sin2x-，则下列命题正确的是()35πA.f(x)的图象关于点,0对称3B.函数f(x)的最小正周期为2πππC.f(x)在区间-,上单调递增123πD.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再把图象向右平移个单位长度得到的函数为6 g(x)=-2cosx【答案】ACDπ5π5ππ【解析】由于f(x)=2sin2x-3，所以f3=2sin2×3-3=2sin3π=0，故f(x)的图象关5π于点,0对称，A正确，32π函数f(x)的最小正周期为=π，故B错误，2当x∈-π,ππ∈-π,ππ,π时，2x-⊆-，故C正确，12332322ππ将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sinx-，再把图象向右平移个36ππ单位长度得到的函数为g(x)=2sinx--=-2cosx，D正确，63故选：ACD∗10已知离散型随机变量X服从二项分布Bn,p，其中n∈N,0<p<1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有()1A.a+b=1B.p=时，a=b211C.0<p<时，a随着n的增大而增大D.<p<1时，a随着n的增大而减小22【答案】ABC【解析】对于A选项，由概率的基本性质可知，a+b=1，故A正确，11对于B选项，由p=时，离散型随机变量X服从二项分布Bn,，22k1k1n-k则P=X=k=Cn21-2k=0,1,2,3,⋯,n，1n1351nn-11所以a=2Cn+Cn+Cn+⋯⋯=2×2=2，1n0241nn-11b=2Cn+Cn+Cn+⋯⋯=2×2=2，所以a=b，故B正确，nnn1-p+p-1-p-p1-1-2p对于C,D选项，a==，22n11-1-2p当0<p<时，a=为正项且单调递增的数列，22故a随着n的增大而增大故选项C正确，1n当<p<1时，a=1-2p为正负交替的摆动数列，2故选项D不正确.故选：ABC.11在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，所有棱长均2，∠BAD=60°，P为CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内(包括边界)运动，下列结论中正确的是() A.当点Q在线段CD1上运动时，四面体A1BPQ的体积为定值B.若AQ⎳平面A1BP，则AQ的最小值为5C.若△A1BQ的外心为M，则A1B⋅A1M为定值22πD.若A1Q=7，则点Q的轨迹长度为3【答案】ABD【解析】对于A，因为A1B⎳D1C，又因为A1B⊂面A1BP，D1C⊄面A1BP，所以D1C⎳面A1BP，所以直线CD1到平面A1BP的距离相等，又△A1BP的面积为定值，故A正确；对于B，取DD1,DC的中点分别为M,N，连接AM,MN,AN，则易证明：AM⎳PC，AM⊄面A1BP，PC⊄面A1BP，所以AM⎳面A1BP，又因为A1B⎳MN，，MN⊄面A1BP，A1B⊄面A1BP，所以MN⎳面A1BP，MN∩AM=M，所以平面A1BP⎳面AMN，AQ⊂面AMN，所以AQ⎳平面A1BP当AQ⊥MN时，AQ有最小值，则易求出AM=5,MN=2,AN=221AD+DN-2AD⋅DNcos120°=4+1-2×2×1×-2=7，所以Q,M重合，所以则AQ的最小值为AM=5，故B正确； 22对于C，若△A1BQ的外心为M，，过M作MH⊥A1B于点H，A1B=2+2=2212则A1B⋅A1M=A1B=4.故C错误；2π对于D，过A1作A1O⊥C1D1于点O，易知A1O⊥平面C1D1D，OD1=A1D1cos=13在DD1,D1C1上取点A3,A2，使得D1A3=3，D1A2=1，则A1A3=A1A2=7，OA3=OA2=7-3=2所以若A1Q=7，则Q在以O为圆心，2为半径的圆弧A2A3上运动，π2π又因为D1O=1,D1A3=3,所以∠A3OA2=，则圆弧A2A3等于，故D正确.33故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知集合A={yy=2x+1,x<0，B={x|x<m}，若A∩B=A，则实数m的取值范围为x．【答案】(-22,+∞)111【解析】由集合A中，当x<0时，y=2x+=-(-2x)+≤-22，当且仅当-2x=，x(-x)-x2即x=-时等号成立，2 故A={yy=2x+1,x<0={y|y≤-22}．因为A∩B=A，所以A⊆B，所以m>-22，故实x数m的取值范围为(-22,+∞)．故答案为：(-22,+∞).1913已知函数f2x+1为奇函数，fx+2为偶函数，且当x∈0,1时，fx=log2x，则f2=．【答案】1【解析】由函数f2x+1为奇函数，fx+2为偶函数，则f2x+1+f-2x+1=0，fx+2为偶函数，所以f(x)得图象关于1,0对称，且关于x=2对称，即f2-x=-fx，fx+2=f-x+2，则fx+2=-f(x)，所以fx+4=f(x)，即函数f(x)的周期为4，19311则f2=f2=-f2=-log22=1.故答案为：1.2y2x14已知双曲线C：2-2=1的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A，B为C上位于x轴上ab方的两点，且AF1⎳BF2，∠AF1F2=60°．记AF2，BF1交点为P，过点P作PQ⎳AF1，交x轴于点Q．若OQ=2PQ，则双曲线C的离心率是．【答案】2【解析】做出图像，如图所示，则F1F2=2c，222AF1+F1F2-AF21在△AF1F2中，由∠AF1F2=60°得，cos∠AF1F2==，2AF1⋅F1F22设AF1=m，则AF2=m+2a，m2+(2c)2-(m+2a)22212b2b所以=，解得m=，即AF1=，2m⋅2c2c+2ac+2a222BF2+F1F2-BF11在△BF1F2中，由∠BF2F1=180°-60°=120°得，cos∠BF2F1==-，2BF2⋅F1F22设BF2=n，则BF1=n+2a，n2+(2c)2-(n+2a)22212b2b所以=-，解得n=，即BF2=，2n⋅2c22a-c2a-c因为AF1∥PQ∥BF2，PQQF2PQQF1所以=,=，AF1F1F2BF2F1F2PQPQQF2QF1111则+=+=1，即+=，AF1BF2F1F2F1F2AF1BF2PQ211111b所以+=+=，解得PQ=，22AF1BF22b2bPQ2ac+2a2a-c22bb所以OQ=2PQ=2⋅=，2aaPQQF2由PQ∥AF1可得，△PQF2∼△AF1F2，则=，AF1F1F2 22bb+c2aacac所以=，整理得-2=0，解得=2，22b2cacac+2a故答案为：2． 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(19)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21已知集合A=x∈R-3≤x≤3，B=x∈Rx>4，则A∩B=()A.2,3B.-3,+∞C.-3,-2∪2,3D.-∞,-2∪2,+∞【答案】C2【解析】x>4，得x>2或x<-2，所以B={xx<-2或x>2}，A=x∈R-3≤x≤3，所以A∩B=-3,-2∪2,3.故选：C2已知圆锥的底面直径为2，母线长为22，则其侧面展开图扇形的圆心角为()π3ππAB.C.D.π442【答案】C【解析】由题设，底面周长l=2π，而母线长为22，2ππ根据扇形周长公式知：圆心角θ==.222故选：C.3已知a，b均为单位向量，若a-b=1，则a在b上的投影向量为()3131A.aB.aC.bD.b2222【答案】D2221【解析】a-b=a-2a⋅b+b=2-2a⋅b=1，∴a⋅b=21a⋅b21a在b上的投影向量b=b=b，b212故选：D．4如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是()A.24B.36C.48D.96【答案】C 2112【解析】由题有C4C2C2A2=6×2×2×2=48，故选：C.ππ25已知函数fx=22cos4+xcos4-x，要得到函数g(x)=sin2x-2cosx+1的图象，只需将f(x)的图象()π3πA.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度843π3πC.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度48【答案】Dπππππ【解析fx=22cos4+xcos4-x=22cos4+xsin4+x=2sin2+2x=2cos2x，2π3πgx=sin2x-2cosx+1=sin2x-cos2x=2sin2x-4=2cos2x-4，3π3π3π故将f(x)的图象向右平移8个单位长度可得y=2cos2x-8=2cos2x-4，即为g(x)的图象.故选：C6已知复数z=a+bi，其中a,b∈R且a+b=1，则z+1+i的最小值是()232A.2B.2C.D.22【答案】D【解析】复数z=a+bi，其中a,b∈R且a+b=1，复数z在复平面内对应的点Za,b，在直线x+y=1上，z+1+i的几何意义是点Za,b到点C-1,-1的距离，-1-1-132其最小值为点C-1,-1到直线x+y=1的距离，最小值为d==.12+122故选：D67已知三棱锥O-ABC的体积是,A,B,C是球O的球面上的三个点，且∠ACB=120°,AB=63，AC+BC=2，则球O的表面积为()A.36πB.24πC.12πD.8π【答案】A3【解析】因为AB=3,∠ACB=120°，所以△ABC的外接圆半径为r==1，2sin120°2222在△ABC中，由余弦定理可得3=AB=AC+BC-2AC⋅BCcos120°=(AC+BC)-AC⋅BC，213所以AC⋅BC=(AC+BC)-3=1，所以S△ABC=AC⋅BCsin120°=，24设球心O到平面ABC距离为h，1136∵VO-ABC=S△ABC⋅h=×h=，3346∴h=22， 222球半径R=h+r=3，所以球面积S=4πR=36π.故选：A2y2x8已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F且斜率为kk≠0的直线l交双曲线22ab于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若AB≥3DF，则双曲线的离心率取值范围是()2323A.1,3B.1,3C.3,+∞D.3，+∞【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为Fc,0,Ax1,y1,Bx2,y2，则直线l:y=kx-c，2y2x-=1222222222222联立方程ab，消去y得：b-akx+2akcx-akc+b=0，y=kx-c22a2k2c2+b22222akc则可得b-ak≠0,Δ>0,x1+x2=-222,x1x2=-222，b-akb-ak222a2k2c2+b22ab21+k222akc则AB=1+k-222-4-222=222，b-akb-akb-akx+x222212akcakc设线段AB的中点Mx0,y0，则x0=2=-222,y0=kx0-c=k-222-c=b-akb-ak2bkc-，222b-ak222akcbkc即M-,-，b2-a2k2b2-a2k21且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为-，k222bkc1akc则线段AB的中垂线所在直线方程为y+=-x+，b2-a2k2kb2-a2k222223bkc1akckc令y=0，则=-x+，解得x=-，b2-a2k2kb2-a2k2b2-a2k22323b2c1+k2kckc即D-,0，则DF=--c=，b2-a2k2b2-a2k2b2-a2k222222ab1+k3bc1+k由题意可得：AB≥3DF，即≥，222222b-akb-akc223整理得2a≥3c，则e=≤=，a33注意到双曲线的离心率e>1，23∴双曲线的离心率取值范围是1,.3故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列说法中，正确的是()2A.若随机变量X~N2,σ，且P(X>6)=0.4，则P(-2<X<2)=0.2B.一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为16C.盒子中装有除颜色外完全相同的5个黄球和3个蓝球，从袋中有放回地依次抽取2个球，第一次抽到 3蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为8D.设随机事件A，B，已知A事件发生的概率为0.3，在A发生的条件下B发生的概率为0.4，在A不发生的条件下B发生的概率为0.2，则B发生的概率为0.26【答案】BCD1【解析】A选项，根据正态分布的对称性可知P(-2<X<2)=-PX>6=0.1，A选项错误.2B选项，9×0.7=6.3，所以第70百分位数是16，B选项正确.C选项，由于抽取的方式是有放回，所以“第一次抽到蓝球”与“第二次抽到蓝球”是相互独立事件，33所以第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为=，5+38所以C选项正确.D选项，PB=0.3×0.4+1-0.3×0.2=0.26，所以D选项正确.故选：BCD10已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，则下列结论正确的是()Sn222A.数列n为等差数列B.对任意正整数n，bn+bn+2≥2bn+1C.数列S2n+2-S2n一定是等差数列D.数列T2n+2-T2n一定是等比数列【答案】ABCnn-1Snn-1d【解析】设等差数列an的公差为d，则Sn=na1+d，所以，=a1+.2n2Sn+1Snndn-1ddSn对于A选项，n+1-n=a1+2-a1-2=2，所以，n为等差数列，A对；∗2对于B选项，对任意的n∈N，bn≠0，由等比中项的性质可得bn+1=bnbn+2，222由基本不等式可得bn+bn+2≥2bnbn+2=2bn+1，B对；对于C选项，令cn=S2n+2-S2n=a2n+2+a2n+1，所以，cn+1-cn=a2n+4+a2n+3-a2n+2+a2n+1=4d，故数列S2n+2-S2n一定是等差数列，C对；对于D选项，设等比数列bn的公比为q，当q=-1时，T2n+2-T2n=b2n+2+b2n+1=b2n+1q+1=0，此时，数列T2n+2-T2n不是等比数列，D错.故选：ABC.x111已知定义在0,1上的函数fx满足：∀x∈[0,1]，都有f(1-x)+f(x)=1，且f=f(x)，32f0=0，当0≤x1<x2≤1时，有fx1≤fx2，则()11111ln31A.f2=2B.f(1)=2C.f3=2D.f3=2【答案】ACD11111【解析】令x=2，则由f(1-x)+f(x)=1，可得f2+f2=1，所以f2=2，故A正确，因为f(0)=0，f(1-x)+f(x)=1，所以f1+f(0)=1，可得f1=1，故B错误，x1111因为f3=2fx，所以f3=2f1=2，故C正确， 1111又因为当0≤x1<x2≤1时，都有fx1≤fx2，且f3=2，f2=2111所以当x∈，时，f(x)=，3221ln3因为ln3>1,∴<；333531253ln31又e>=>9,∴lne>ln9,进而<，28321ln31ln31因此<<，所以f=．故D正确，33232故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.2x12已知fx=axa>0 的图象在x=1处的切线与与函数gx=e的图象也相切，则该切线的斜率k=.32【答案】e2【解析】函数f(x)=ax的图象在x=1处的切线的切点为1,a，因为f(x)=2ax，所以切线斜率为f(1)=2a，切线方程为y-a=2a(x-1)，即y=2ax-a，设g(x)=ex的图象的切线的切点为x,ex0(x)=ex，所以切线斜率为g(x)=ex0，0，因为g0x0x0x0x0切线方程为y-e=e(x-x0)，即y=ex+(1-x0)e，2a=ex033由题，解得a=1e2，x=3，斜率为2a=e2.x00-a=(1-x0)e2232故答案为：e.2213已知圆C:x+y+2x-4y+3=0，直线l:mx+2y+m-2=0，若直线l与圆C交于A,B两点，则AB的最小值为.【答案】2【解析】由直线l:mx+2y+m-2=0可得：m(x+1)+2(y-1)=0，即直线l经过定点M(-1,1).2222由C:x+y+2x-4y+3=0可得：(x+1)+(y-2)=2，即圆心为C(-1,2)，半径为2，如图.连接CM,过点M作CM的垂线交圆C于点A,B，则此时AB取最小值.(理由如下：过点M作另一条直线交圆C于点A1,B1，过点C作CM1⊥A1B1于点M1,2222在Rt△CM1M中，显然|CM1|<|CM|,而|AB|=2|AC|-|CM|,|A1B1|=2|B1C|-|CM1|,因|B1C|=|AC|故有|AB|<|A1B1|，即AB是最短的弦长)22此时，|CM|=1,|AB|min=2|AC|-|CM|=22-1=2.故答案为：2.ππ14在△ABC中，AB=4，∠BAC=，∠ABC=，点D，E，F分别在BC，CA，AB边上，且DE43⊥AC，DF⊥AB，则EF的最小值为． 【答案】6【解析】由DE⊥AC，DF⊥AB，故A，F，D，E四点共圆，且AD为该圆直径，π又∠BAC=，故EF最小时，需AD最小，当AD⊥BC时，AD最小，4π3EF由∠ABC=，故此时AD=4×=23，由正弦定理可得=23，3222∴EF=6．故答案为：6. 2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(20)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．π1若角α的终边过点4,3，则sinα+=()24433A.B.-C.D.-5555【答案】A44π4【解析】因为角α的终边过点4,3，所以cosα=22=，所以sinα+=cosα=.4+3525故选：Aa62若x-的展开式中常数项的系数是15，则a=()xA.2B.1C.±1D.±2【答案】Cak3-3kk6-kkk2【解析】二项展开式通项为Tk+1=C6x⋅-x=C6(-a)x22则k=2时常数项为C6(-a)=15,∴a=±1．故选：C3已知m,n,l是空间中三条互不重合的直线，α,β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A.m⊥α,m⊥n，则n∥αB.m∥n且m⊥α，则n⊥αC.m∥α,m⊥n，则n⊥αD.α∥β,l⊂α,n⊂β，则l∥n【答案】B【解析】A.若m⊥α,m⊥n，则n∥α或n⊂α，故错误；B.若m∥n且m⊥α，则n⊥α，故正确；C.若m∥α,m⊥n，则n⊂α或n⎳α或n与α相交，故错误；D.若α∥β,l⊂α,n⊂β，则l∥n或l与n异面，故错误.故选：B4已知向量a=x,1，b=4,x，则“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C2【解析】若a⎳b，则x=4，解得x=±2．若向量a与b的夹角为锐角，则a⋅b>0且cosa,b≠1，所以4x+x>0且x≠2，解得x∈0,2∪2,+∞．故“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：C.5已知Sn是等比数列an的前n项和，且S2=3，S6=5S4-12，则S4=()A.11B.13C.15D.17 【答案】C【解析】因为an是等比数列，Sn是等比数列an的前n项和，所以S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，且S4-S2≠0,S6-S4≠0，2所以(S4-S2)=S2⋅(S6-S4)，又因为S6=5S4-12，S2=3，2所以(S4-3)=3(5S4-12-S4)，即(S4-3)(S4-15)=0，解得S4=3或S4=15，因为S4-S2≠0，所以S4=15，故选：C．6一组数据x1,x2,x3,,x10满足xi-xi-1=22≤i≤10，若去掉x1,x10后组成一组新数据.则新数据与原数据相比()A.极差变大B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小【答案】C【解析】由于xi-xi-1=22≤i≤10，故x2=x1+2，x3=x1+4，⋯⋯，x9=x1+16，x10=x1+18，A选项，原来的极差为x10-x1=18，去掉x1,x10后，极差为x9-x2=14，极差变小，A错误；x1+x2+⋯+x1010x1+90B选项，原来的平均数为==x1+9，1010x2+x3+⋯+x98x1+72去掉x1,x10后的平均数为==x1+9，平均数不变，B错误；88222x1-x1-9+x2-x1-9+⋯+x10-x1-9C选项，原来的方差为=33，10222x2-x1-9+x3-x1-9+⋯+x9-x1-9去掉x1,x10后的方差为=21，8方差变小，C正确；D选项，10×2500=2.5，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即x3，8×2500=2，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即x4，由于x3<x4，第25百分位数变大，D错误.故选：Clog2x+2x,x>07若函数fx=有4个零点，则正数ω的取值范围是()sinωx+π3,-π≤x≤0A.4,7B.7,10C.4,77,10333333D.33【答案】B【解析】当x>0时，令fx=0，即log2x+2x=0，即log2x=-2x，因为函数y=log2x与y=-2x的图象仅有一个公共点，如图所示， 所以x>0时，函数y=fx只有一个零点，log2x+2x,x>0又由函数fx=π有4个零点，sinωx+3,-π≤x≤0π所以x∈-π,0时，方程fx=sinωx+有三个零点，如图所示，3ππππ因为x∈-π,0，可得ωx+∈-ωπ+,，则满足-3π<-ωπ+≤-2π，3333710710解得3≤ω<3，即实数ω的取值范围为3,3.故选：B.8已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体(如图)，剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内(容器壁厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为()A.12πB.24πC.36πD.48π【答案】D【解析】如图： 设O为正四面体P-ABC的外接球球心，O1为△A1B1C1的中心,H为△ABC的中心,M为BC的中点，因为正四面体P-ABC棱长为8，易得PH⊥平面ABC，383易得AH=×8=，PH⊥平面ABC，AH⊂平面BCD，33283286则PH⊥AH,PH=8-=，33由正四面体外接球球心为O，则O在PH，则OP=OA=R为外接球半径，2228328622由AH+OH=BO得3+3-R=R，解得R=26，即PO=26,22223223226在正四面体P-A1B1C1中，易得A1O1=2-1=，PO1=2-=，所以333346OO1=PO-PO1=，322则该八面体的外接球半径A1O=OO1+A1O1=23,2所以该球形容器表面积的最小值为4π23=48π，故选：D.2y2x9已知双曲线：2-2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过点F2作直线交双曲线右支于abM,N两点(M点在x轴上方)，使得MF2=3F2N.若MF1+MN⋅F1N=0，则双曲线的离心率为()6A.B.2C.3D.22【答案】D【解析】如图所示，取F1N的中点E，连接ME，可得MF1+MN=2ME，由MF1+MN⋅F1N=0，可得ME⋅F1N=0，所以ME⊥F1N，则MF1=MN，可得F2N=MN-MF2=MF1-MF2=2a，则F1N=4a,MF2=3NF2=6a,MF1=8a，在△MF1F2与△NF1F2中,2222224a+4c-16a4c+36a-64a由余弦定理可得：cos∠F1F2N=,cos∠F1F2M=，8ac24ac因为∠F1F2M+∠F1F2N=π，所以cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0，2222224a+4c-16a4c+36a-64a22c即=，解得c=4a，即e==2.8ac24aca故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.10下列式子中最小值为4的是()24x2-xA.sinx+B.2+22sinxx11C.8+log22x⋅log28D.2+2sinxcosx【答案】BCD242【解析】对于选项A：sinx+≥2sinx⋅=4，sin2xsinx2当且仅当sinx=，即当且仅当sinx=±2时等号成立，sinx24但sinx=±2不成立，所以sinx+的最小值不为4，故A错误；2sinxx-xx2-xx2-x对于选项B：因为2>0,2>0，则2+2≥22⋅2=4，x2-x当且仅当2=2，即x=1时，等号成立，x2-x所以2+2的最小值为4，故B正确；x对于选项C：8+log22x⋅log2=8+1+log2xlog2x-3822=log2x-2log2x+5=log2x-1+4，当x=2时，取得最小值4，故C成立；22对于选项D：由题意sinx>0,cosx>0，22112211cosxsinx则+=sinx+cosx+=++2，sin2xcos2xsin2xcos2xsin2xcos2x22cosxsinx≥2⋅+2=4，22sinxcosx22cosxsinx当且仅当=，即tanx=±1时，等号成立，故D正确．22sinxcosx故选：BCD．211在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点M，N在C上，且FM+FA=2FN，则()22A.ON∥FMB.直线MN的斜率为±317AF⋅AMC.|MN|=D.=222|AM|【答案】ABC【解析】由FM+FA=2FN，故N为AM中点，又O为AF中点，故ON∥FM，故A正确；222mm1m由C:y=4x，故F1,0，A-1,0，设M4,m，则N8-2,2，m2m21故有2=4×8-2，解得m=±22，1即M2,±22、N,±2，2 22-222则kMN=±=±，故B正确；2-13212217MN=2-2+22-2=2，故C正确；AF⋅AM2×3617AF=2,0，AM=3,±22，则==，故D错误.32+±22217AM故选：ABC.112若fx是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，且对任意x1,x2∈0,2，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，则下列说法正确的是()A.f1一定为正数B.2是fx的一个周期202311C.若f1=1，则f4=1D.若fx在0,2上单调递增，则f(1)≠2024【答案】BCD【解析】因为fx=0符合条件，故A错误；因为偶函数fx的图像关于直线x=1对称，所以fx+2=f-x=fx，故B正确；1x因为对任意x1，x2∈0,2，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，所以对任意x∈0,1，取x1=x2=2得x2f(x)=f2≥0；12141若f1=1，即f(1)=f2=f4=1，故f4=1，2023111由2是fx的周期得f4=f506-4=f-4=f4=1，故C正确；1121411假设f(1)=2024，由f(1)=f2=f4=2024及fx≥0，x∈0,1，得f2=111，f4=4，20242024111故f4>f2，这与fx在0,2上单调递增矛盾，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.2213设m∈R，i为虚数单位．若集合M=1,2,m+3m-1+m+5m-6i,N=-1,3，且M∩N={3}，则m=．【答案】122【解析】因为M=1,2,m+3m-1+m+5m-6i,N=-1,3，M∩N=3，2m+5m-6=0所以2，解得m=1.m+3m-1=3 故答案为：1.3ππ1+sin2θ14已知θ∈,π,tan2θ=-4tanθ+，则=442cos2θ+sin2θ1【答案】43ππ【解析】由题θ∈4,π,tan2θ=-4tanθ+4，2tanθ-4tanθ+12得=⇒-4tanθ+1=2tanθ，21-tanθ1-tanθ1则2tanθ+1tanθ+2=0⇒tanθ=-2或tanθ=-，23π1因为θ∈,π,tanθ∈-1,0，所以tanθ=-，422221+sin2θsinθ+cosθ+2sinθcosθtanθ+1+2tanθ==222+2tanθ2cosθ+sin2θ2cosθ+2sinθcosθ1+1-141==.2+-141故答案为：415已知函数fx=ax-x1x-x2x-x3(a>0)，设曲线y=fx在点xi,fxi处切线的斜率为kii=1,2,3，若x1,x2,x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为．【答案】18【解析】由于fx=ax-x1x-x2x-x3(a>0)，故fx=ax-xx-x+x-xx-x+x-xx-x，122331故k1=ax1-x2x1-x3,k2=ax2-x3x2-x1，k3=ax3-x1x3-x2，111111则++=++k1k2k3ax1-x2x1-x3ax2-x3x2-x1ax3-x1x3-x2x3-x2+x1-x3+x2-x1==0，ax1-x2x2-x3x3-x1111由k2=-2，得+=，k1k32由k2=-2，即k2=ax2-x3x2-x1<0，知x2位于x1,x3之间，不妨设x1<x2<x3，则k1>0,k3>0，11k14k3k14k3故k1+4k3=2k1+4k3+=25++≥25+2⋅=18，k1k3k3k1k3k1k14k3=k3k1当且仅当111，即k1=6,k3=3时等号成立，+=k1k32故则k1+4k3的最小值为18，故答案为：18