“8 3 3”小题强化训练（17）（新高考九省联考题型）（解析版）

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(17)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由抛物线的焦点为，又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为，将点代入，可得，所以直线的长为.故选：A.2．已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由，得，所以又因为，所以.故选：A．3．平面向量，若，则（）A.6B.5C.D.【答案】B【解析】因，，所以，解得，所以，因此.故选：B．4．设，，表示平面，l表示直线，则下列说法中，错误的是（）.A.如果，那么内一定存在直线平行于B.如果，，，那么C.如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于D.如果，，则【答案】D【解析】对于选项A：根据线面关系可知：对于与的位置关系是平行或相交，在内均存在直线平行于，故A正确； 对于选项B：构造正方体（如图），取平面，为平面，为平面，直线l即为直线，故B正确；对于选项C：可用反证法假设，，与已知矛盾，故C正确；对于选项D：如果，，与的位置关系为：平行或相交.故选：D.5．已知，则（）A.0B.1C.-1D.【答案】C【解析】因为，所以，则，即，所以.故选：C6．已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从焦点发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】以所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，设双曲线的右焦点为，依题意可知直线过，依题意，，，则，所以三角形是等腰直角三角形，设双曲线的方程为，，由， 解得（负根舍去），由于，所以，，两边除以得，解得（负根舍去）.故选：C7．已知函数，若任意在上有零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得，令，因为任意在上有零点，则在上有解，又因为在内有解的最短区间长度为，所以，解得.故选：C.8．已知函数，若，且，恒有，则正实数t的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】不妨设，又，则，所以，即恒成立，故单调递减，则恒成立，即．当时，成立，符合题意； 当时，设，则，故单调递增，由得恒成立，即成立．设，，则时，，当时，，即在单调递增，在单调递减，，所以.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（）A.两组数据的中位数相同B.两组数据的极差相同C.两组数据的方差相同D.两组数据的均值相同【答案】BC【解析】因为，则，则，所以，，不妨设，则，对于A选项，值的中位数为，值的中位数为，且，A错；对于B选项，值的极差为，值的极差为，且，故两组数据的极差相同，B对；对于C选项，记，，值的方差为，值的方差为， 故两组数据的方差相同，C对；对于D选项，由C选项可知，，D错.故选：BC.10．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于A，B两点，且，过点A任作一条直线与圆相交于M，N两点，则（）A.圆C的方程为B.圆C与圆的相交弦所在直线方程为C.D.【答案】AC【解析】由圆C与x轴相切于点T（1，0），可设圆C的方程为，所以，所以圆C的方程为，故A正确；圆C与圆O的方程相减得，此方程即为其相交弦所在直线方程，故B错误；设为圆O上任意一点，则，所以，所以，，故C正确，D错误，故选:AC．11．已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（）A.B.C.是奇函数D.在上单调递增【答案】ACD 【解析】令，可得.令，可得.因为当时，，所以.令，可得.因为，所以当时，.又因为当时，，所以当时，.令，可得，①所以，两式相加可得.令，可得.②①-②可得，化简可得，所以是奇函数，C正确.由，可得：，B错误.由可得解得，A正确.令，可得.令，则.因为当时，，所以，所以，即，所以在上单调递增.因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，则这4个人名次排列的可能情况共有______种．【答案】14【解析】直接法：当乙是第1名时，甲、丙、丁共3名同学有种排法；当乙不是第1名时，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同学共有种排法，所以这4个人名次排列共有14种．间接法：这4个人名次排列的可能情况共有种．故答案为：14 13.已知数列满足，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】数列中，，，显然，则有，即，而，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．故答案为：14.已知球的表面积为，三棱锥的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】根据题意，设球的半径为，则有，解得，设底面的外接圆的圆心为，需要的面积越大，先定住点，若要的面积最大，则得为等腰三角形，且在的底边的高线上，如图所示，设到线段的距离为，底面的外接圆半径为，故，，，令，，故，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，此时的面积最大，此时，即， 所以是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，设正三角形的底面边长为，，三棱锥的高为，则，故，所以三棱锥的体积：，令，，由，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取最大值，即三棱锥的体积取得最大值为，故答案为：.