2024.1厦门一检初三数学试卷＋答案

准考证号:__________________姓名:_________（在此卷上答题无效）2023-2024学年第一学期初中毕业班期末考试数学本试卷共6页.满分150分.注意事项:1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.3.可以直接使用2B铅笔作图.一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定性事件的是A.向上一面的点数是2B.向上一面的点数是奇数C.向上一面的点数小于3D.向上一面的点数小于72.下列方程中，有两个不相等的实数根的是A.x2＝0B.x2-3x-1＝0C.x2-2x+5＝0D.x2+1＝03.如图1,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点P,连接OB.下列角中，等于12∠AOB的是A.∠OABB.∠ACBC.∠CADD.∠OPB4.关于y＝（x-2）2-1（x为任意实数）的函数值，下列说法正确的是A.最小值是-1B.最小值是2C.最大值是-1D.最大值是25.某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程A.5（1+x）＝8B.5（1+2x）＝8C.5（1+x）2＝8D.5（1+2x）2＝86.如图2，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N.AN，BC的延长线相交于点P，连接BN.下列三角形中，与△NCP成中心对称的是A.△NCBB.△BMNC.△AMND.△NDA数学试题第1页（共6页） 7.某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图3所示）.以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是A.4B.16C.24D.328.某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试.飞机着陆后滑行的距离s（单位:m）关于滑行的时间t（单位:s）的函数解析式是s＝−32t2+60t，则t的取值范围是A.0≤t≤600B.20≤t≤40C.0≤t≤40D.0≤t≤20二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9.不透明袋子中只装有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是_________.10.抛物线y＝3（x-1）2+4的对称轴是__________.11.已知x＝1是方程x2+mx-3＝0的根，则m的值为____________.12.四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如图4所示，则图中与∠ADE相等的角是_________.13.如图5，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是△ABC的角平分线.把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点B的对应点是点E，则点D与点F之间的距离是___________.14.在平面直角坐标系xOy中，ABCD的对角线交于点O.若点A的坐标为（-2，3），则点C的坐标为_________.15.为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该种农作物的种子进行辐射，使其基因发生某种变异.表一记录了截至目前的试验数据.表一累计获得试验成功的种子数(单位:粒)1468101214累计试验种子数(单位:千粒)15810.512.514.516.5该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还需要准备用以辐射的种子数（单位:千粒）:_________.16.有四组一元二次方程:①x2-4x+3＝0和3x2-4x+1＝0;②x2-x-6＝0和6x2+x-1＝0;③x2-4＝0和4x2-1＝0;④4x2-13x+3＝0和3x2-13x+4＝0.这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”.请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程:______________.数学试题第2页（共6页） 三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分8分）解方程x2-5x+2＝0.18.（本题满分8分）如图6,四边形ABCD是平行四边形,AC＝AD,AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.证明AE＝DF.19.（本题满分8分）先化简，再求值:（m−1m）÷m2−2m+1m，其中m＝2+1.20.（本题满分8分）如图7，AB与⊙O相切于点A，OB交⊙O于点C，OC＝8，AC的长为2π，求BC的长.数学试题第3页（共6页） 21.（本题满分8分）在矩形ABCD中，点E在AD边上，∠ABE＝60°，将△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，使点A的对应点F在线段BE上.（1）请在图8中作出△FBG;（要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）FG与BC交于点Q，连接EQ，EC，若EC＝BQ，请探究AE与DE的数量关系.22.（本题满分10分）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车.每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如:201表示二层第1个车位.第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空.每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图9所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）:①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前;②转运板进311，托起车，载车出311;③转运板载车滑行至316前;④转运板进316，放车，空载出316，停在316前;⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车.停车位301…停车位311…升降台316…留空321…停车位330转运板滑行区转运板滑行区图9停车场第三层平面示意图升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍.（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度;（说明:送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率.数学试题第4页（共6页） 23.（本题满分10分）正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”.若直线l:y＝x+t与“T”是正方形“以T为端点的一边相交，且点T到直线l的距离为2（2-t），则称直线l为该正方形的“T悬割线”.已知抛物线M:y＝-（x-1）2+m2-2m+4，其中12≤m＜1，A（m，3），B（4-3m，3），以AB为边作正方形ABCD（点D在点A的下方）.（1）证明:正方形ABCD是抛物线M的“A悬正方形”;（2）判断正方形ABCD是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由;（3）若直线l是正方形ABCD的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形ABCD进行相同的平移，是否存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线M经过了怎样的平移;若不存在，请说明理由.24.（本题满分12分）四边形ABCD是菱形，点O为对角线交点，AD边的垂直平分线交线段OD于点P（P不与O重合），连接PC，以点P为圆心，PC长为半径的圆交直线BC于点E，直线AE与直线CD交于点F，如图10所示.（1）当∠ABC＝60°时，求证:直线AB与⊙P相切;（2）当AO＝2，AF2+EF2＝16时，求∠ABC的度数;（3）在菱形ABCD的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究∠AFC与∠CAF的数量关系.数学试题第5页（共6页） 25.（本题满分14分）请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料:[背景]小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道:“你家附近不是已经有一个A超市了吗？再开一个能吸引顾客吗？“这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣.[过程]为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素“为主题对该市居民展开随机调查.结果显示:超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素.大家根据调查进行了总结:①可以把“平均每周到超市购物次数p”作为超市吸引力指标;②占地面积越大吸引力越大;③距离越大吸引力越小.在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相应超市的占地面积s（单位:m2）及其与居民住处的距离r（单位:m），并对p，s，r之间的关系进行研究.一开始，同学们猜想p可能是SV的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大.这时，小梧提出:“我联想到牛顿万有引力定律，这个定律揭示了两个物体之间的引力大小与各个物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比，可以表示为F＝Gm1m2r2（G是引力常数），我们是不是可以作个类比，试一下看p与sr2的关系如何？”.按他的建议，同学们利用调查所得的数据在平面直角坐标系中绘制了p与sr2对应关系的散点图，如图11所示.根据阅读材料思考:（1）观察图11中散点的分布规律，请用一种函数来合理估计p与sr2的对应关系，直接写出它的一般形式;（2）为了清晰表示位置，同学们选A超市为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m长，则小悟家的坐标为（400，200）.A超市的占地面积为2000m2，规划中的B超市在A超市的正东方向.根据（1）中的对应关系，解决下列问题:①若B超市与A超市距离600m~800m，且对小悟家的吸引力与A超市相同，求B超市占地面积的范围;②小梧家在东西向的百花巷，百花巷横向排列着较为密集的居民楼.现规划B超市开在距A超市300m处，且占地面积最大为490m2，要想与A超市竞争百花巷的居民，该规划是否合适？请说明理由.数学试题第6页（共6页） 2023—2024学年第一学期初中毕业班期末考试数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号12345678选项DBBACDCD二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分）9..10.x＝1.11.2.12.∠ABC.（写∠B亦可）13.4.14.(2，－3).15.16.16.x2－x＝0.（常数项为0的一元二次方程均可）三、解答题（本大题有10小题，共86分）17.（本题满分8分）解：a＝1，b＝－5，c＝2.因为△＝b2－4ac＝17＞0，…………………………………4分所以方程有两个不相等的实数根x＝＝．…………………………………6分即x1＝，x2＝.…………………………………8分18．（本题满分8分）解法一：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC．…………………………………3分∴∠DAC＝∠ACB．…………………………………4分∵AE⊥BC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵AC＝AD，∴△AEC≌△DFA．…………………………………7分∴AE＝DF．…………………………………8分解法二：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∠B＝∠ADC．……………3分∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD．…………………………………4分∴∠B＝∠ACD．∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∴△AEB≌△DFC．…………………………………7分∴AE＝DF．…………………………………8分解法三：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC．…………………………………3分∵AC＝AC，∴△ABC≌△CDA．…………………………………5分∴S△ABC＝S△CDA．∵AE⊥BC，DF⊥AC，∴BC•AE＝AC•AF．…………………………………7分∵AD＝AC，AD＝BC，∴BC＝AC．∴AE＝DF．…………………………………8分19．（本题满分8分）解：原式＝÷…………………………………2分＝÷…………………………………4分＝•……………………………………5分＝．…………………………………6分当m＝＋1时，原式＝＝＝＋1．…………………………………8分20．（本题满分8分）解：连接OA.∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB．即∠OAB＝90°．…………………………………2分设∠AOB＝n°，∵OC＝8，的长为2π，∴＝2π．解得n＝45，即∠AOB＝45°．…………………………………5分∴∠B＝90°－∠AOB＝45°．∴∠B＝∠AOB．∴OA＝AB＝8．∴在Rt△OAB中，OB＝＝8．…………………………………7分∴BC＝OB－OC＝8－8．…………………………………8分 21．（本题满分8分）解：（1）（本小题满分4分）如图△FBG即为所求.…………………………………4分解法一（利用SSS作全等三角形）：解法二（利用SAS作全等三角形）：解法三（利用ASA作全等三角形）：（2）（本小题满分4分）矩形ABCD中，AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°．∵△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，点A的对应点F在线段BE上，∴△ABE≌△FBG．∴∠BFG＝∠BAE＝90°，BA＝BF．∵在Rt△BAE中，∠ABE＝60°，∴∠AEB＝30°．∴BE＝2BA．…………………………………5分∴BE＝2BF．又∵FG⊥BE，FG与BC交于点Q，∴BQ＝EQ．…………………………………6分∴∠QBE＝∠QEB＝30°．∴∠EQC＝∠QBE＋∠QEB＝60°．又∵EC＝BQ，∴EC＝EQ．∴△EQC是等边三角形． ∴∠ECQ＝60°，EC＝CQ．…………………………………7分在Rt△EDC中，∠ECD＝30°，∴CE＝2DE．∴BQ＝CQ＝2DE．∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝4DE．∴AE＝AD－DE＝3DE．…………………………………8分22．（本题满分10分）解：（1）（本小题满分5分）设转运板载车时的滑行速度为xm/s，则升降台升降速度为0.5xm/s，………………2分依据题意可知，车位421与401相距20×3＝60m，且每层的层高为6m，可列方程：＋40＝＋，…………………………………4分解得：x＝0.6，经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意．答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．…………………………………5分（2）（本小题满分5分）设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，…………………………………6分则3a＋＋＜60．解得：a＜2.5．因为a是正整数，所以a≤2．…………………………………8分因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种．所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝＝．………………10分23．（本题满分10分）解：（1）（本小题满分3分）当x＝m时，y＝－(m－1)2＋m2－2m＋4＝－m2＋2m－1＋m2－2m＋4＝3．…………………………………3分所以点A在抛物线M上．所以正方形ABCD是抛物线M的“A悬正方形”．（2）（本小题满分3分）解法一：正方形ABCD不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下：假设点B在抛物线M上，则当x＝4－3m时，y＝3．所以－(4－3m－1)2＋m2－2m＋4＝3．…………………………………4分化简得：m2－2m＋1＝0．所以m1＝m2＝1．…………………………………5分与≤m＜1矛盾．所以假设不成立．所以点B不在抛物线M上．正方形ABCD不可能是抛物线M的“B悬正方形”．…………………………………6分解法二：正方形ABCD不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下： 假设点B在抛物线M上，由A(m，3)，B(4－3m，3)可知抛物线M的对称轴x＝＝－m＋2．…………4分由抛物线M：y＝－(x－1)2＋m2－2m＋4可知对称轴是x＝1．所以－m＋2＝1．解得m＝1．…………………………………5分与≤m＜1矛盾．所以假设不成立．所以点B不在抛物线M上．正方形ABCD不可能是抛物线M的“B悬正方形”．…………………………………6分（3）（本小题满分4分）假设存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形，则平移后，正方形ABCD是抛物线M的“C悬正方形”．因为抛物线M及正方形ABCD进行相同的平移，所以平移前，正方形ABCD是抛物线M的“C悬正方形”．所以点C在抛物线M上．因为A(m，3)，B(4－3m，3)，所以AB//x轴．又因为m＜1，所以AB＝4－4m．在正方形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC，所以C(4－3m，4m－1)．………………………7分因为点C在抛物线M上，所以－(4－3m－1)2＋m2－2m＋4＝4m－1．解得：m1＝，m2＝1（不合题意，舍去）．所以m＝．…………………………………8分所以平移前，A(，3)，B(，3)，C(，1)．因为直线l：y＝x＋t与x轴，y轴分别交于(－t，0)，(0，t)，又因为|－t|＝|t|，x轴⊥y轴，所以直线l：y＝x＋t与x轴夹角是45°．因为平移前，直线l是正方形ABCD的“A悬割线”，如图，设直线l与AB，AD分别交于点P，Q，因为AB//x轴，所以∠APQ＝45°．在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，所以∠AQP＝45°．所以AQ＝AP．所以PQ＝＝AP．因为S△APQ＝AQ·AP＝PQ·d，d＝(2－t)，所以AP＝2(2－t)＝4－2t．所以P(－2t，3)．因为点P在直线l：y＝x＋t上，所以t＝．…………………………………9分 设点C(，1)平移后的坐标为(＋h，1＋k)．设直线l与平移后正方形的CD边交于点E，如图，同理可得：CE＝2(2－t)＝4－2t＝1．所以E(＋h，1＋k)．因为点E在直线l：y＝x＋上，所以＋h＋＝1＋k．所以k＝h＋2．因为抛物线M及正方形进行相同的平移，所以要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，则抛物线M向右平移h个单位，向上平移(h＋2)个单位，其中h为任意实数．…………………………………10分24．（本题满分12分）（1）（本小题满分4分）证明：连接AP．∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC＝AD，AO＝CO，BD⊥AC．…………………………………2分∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°．∴∠ABD＝∠ADB＝30°．∵P是AD垂直平分线上的点，∴PA＝PD．∴∠PAD＝∠PDA＝30°．…………………………………3分∴∠APB＝60°．∴∠PAB＝180°－∠APB－∠ABD＝90°．∴PA⊥AB．∵BD垂直平分AC，P在BD上，∴PA＝PC，即点A在⊙P上．∴直线AB与⊙P相切．…………………………………4分（2）（本小题满分4分）由（1）得点D在⊙P上．∵∠ADC与∠AEC同对，∴∠ADC＝∠AEC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠ADC＝∠DCE．∴∠AEC＝∠DCE．∴FE＝FC．…………………………………6分∵AF2＋EF2＝16，∴在△ACF中，AF2＋CF2＝AF2＋EF2＝16．∵由（1）得AC＝2AO＝4，即AC2＝16．∴AF2＋EF2＝AC2．∴△ACF为直角三角形，且∠AFC＝90°．…………………………………7分 ∴∠AEC＝∠DCE＝45°．又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE＝45°．…………………………………8分（3）（本小题满分4分）设∠ABC＝α，由（1）知：当α＝60°时，直线AB与⊙P相切，同理：当α＝60°时，直线BC与⊙P相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合．所以若点C与E不重合，可分两类讨论：①当点E在BC延长线上时，由（2）知：∠AEC＝∠DCE＝∠ABC＝α．∴∠AFC＝2∠DCE＝2α，即α＝∠AFC．∵由（1）得BA＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝（180°－∠ABC）＝90°－α．∴∠CAF＝∠ACB－∠AEC＝90°－α－α＝90°－α．…………………10分∴∠CAF＝90°－∠AFC．即∠CAF＋∠AFC＝90°．…………………11分②当点E在BC边上时，∵点A，E，C，D在⊙P上，∴∠AEC＋∠ADC＝180°．∵∠AEC＋∠FEC＝180°，∴∠FEC＝∠ADC＝∠ABC＝α．∵由（1）得AD∥BC，∴∠FCE＝∠ADC＝α．∴∠AFC＝180°－∠FCE－∠FEC＝180°－2α．即α＝（180°－∠AFC）．又∵由（1）得BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°－∠ABC）＝90°－α．∴∠CAF＝∠FEC－∠BCA＝α－（90°－α）＝α－90°．∴∠CAF＝（180°－∠AFC）－90°＝45°－∠AFC．即∠CAF＋∠AFC＝45°．综上，∠CAF＋∠AFC＝90°或45°．…………………………………12分25．（本题满分14分）（1）（本小题满分4分）解：p＝(k≠0)．…………………………………4分（2）①（本小题满分5分）解：设B超市的坐标为(t，0)(600≤t≤800)，占地面积为sm2. 记A超市的吸引力为pA，B超市的吸引力为pB.因为A超市为原点，小梧家的坐标为(400，200)，根据勾股定理，小梧家到A超市的距离为，到B超市的距离为.因为超市对居民的吸引力p＝，所以pA＝，pB＝.…………………………………6分因为两家超市对小梧家的吸引力相同，所以pA＝pB.所以＝.所以s＝[(t－400)2＋2002].…………………………………7分因为＞0，抛物线开口向上，对称轴t＝400，所以s在600≤t≤800上，随t的增大而增大.所以当t＝600时，s取得最小值800，当t＝800时，s取得最大值2000.所以B超市占地面积s的范围为800≤s≤2000.…………………………………9分①（本小题满分5分）解：设100m为1个单位长度，因为B超市开在距A超市300m处，所以B超市的坐标为（3，0）.任取百花巷上一点N，设N（x，2）,…………………………………10分根据勾股定理，点N到A超市的距离为，到B超市的距离为.2记A超市的面积为sA，B超市的面积为sB，设sB＝nsA，因为A超市的占地面积为2000m2，B超市占地面积最大为490m2，所以0＜n＜.因为pA＝，pB＝，所以pA－pB＝ksA[－]…………………………………11分＝ksA[].设y＝(x－3)2＋22－n(x2＋22)＝(1－n)x2－6x＋13－4n，则该二次函数中a＝(1－n)，b＝－600，c＝13－4n，因为a＞0，所以y有最小值ymin＝.设h＝4ac－b2＝4(4n2－17n＋4).因为4＞0，抛物线h开口向上，对称轴为n＝，所以h在0＜n＜上随n的增大而减小.因为当n＝时，h＝0，所以当0＜n＜时，h＞0. 因为a＞0，所以ymin＞0.…………………………………13分即当0＜n＜，y＞0恒成立.因为ksA＞0，（x2＋22）[(x－3)2＋22]＞0，所以pA－pB＞0，即对于任意x的值，都有pA＞pB.所以在规划的条件下，百花巷上不存在B超市对居民吸引力大于A超市的位置，故该规划不合适.…………………………………14分