2023.5三明二检初三数学试卷 答案
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三明市2022－2023学年初中毕业班第二次教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.4.考试结束，考生必须将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列实数为无理数的是A．12B．0.2C．﹣5D．32.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.如图，四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．B．C．D．3.下列几何体的三视图中没有矩形的是A．B．C．D．4.正八边形的中心角度数为A．36°B．45°C．60°D．72°5.下列计算结果等于a5的是A．a3+a2B．a10÷a2C．a3·a2D．(a3)26.某校举行年度十佳校园歌手大赛，陈老师根据七位评委所给的分数，把最后一位参赛同学,的得分制作成如下表格．对七位评委所给的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不会发生变化的是平均数中位数众数方差86.5分85分84分5.46A．平均数B．中位数C．众数D．方差7.如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=23，AC=10，则AE的长为A．103B．4C．6D．2038．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为A．B．C．D．9.如图，AB是半圆O的直径，AB=12，C，D是半圆上的两点，且满足∠ADC=120°，则BC的长为A．B．C．D．10.若点A(3，m+1)，B(5，m)，C(−1，y1)，D(4，y2)，E(9，y3)均在抛物线y=ax2－bx(a≠0)上，且m>0，则y1，y2，y3的大小关系是A.y1<y2<y3 b.y1="">0)在第一象限交于点A，点P为线段OA上一点（不含端点），过点P作直线l∥y轴，分别交x轴，抛物线L1于点M，Q.（1）若点A的横坐标为2，求a的值；（2）过点A作AN⊥l，垂足为N，求证：PQ=a·OM·AN；（3）如图②，若过点Q的抛物线L2：y=ax2-4x+b与直线y=12x交于点B，C（点B在C的左侧），求证：PB·PC=PO·PA.图①图②,三明市2022－2023学年初中毕业班第二次教学质量检测数学参考答案说明：不同于本参考答案的解答，按相应步骤给分.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.B5.C6.B7.B8.A9.C10.C二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.112.513.13 14.415.−3516.①③④三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：4x−y=3，①2x−5y=−3.②①-②×2得9y=9∴y=13分把y=1代入①得4x-1=3∴x=16分∴方程组的解为x=1y=18分18.证明：∵CE∥AB，∴∠DCE=∠A.3分∵CD=AB,∠CDE=∠B，∴△CDE≌△ABC．6分∴DE=BC.8分19.解：原式=3−（a+2）a+2÷a−12a+2…………………………………..2分=3−a−2a+2∙a+2a−12…………………………………..4分=1−aa+2∙a+2a−12=11−a.…………………………………..6分当a=时原式=11−a=11−3+1=−33.…………………………………..8分20.（1）如图所示，,………………………..3分点E为所求作的点.…………………………………..4分(2)解法一：∵△ABC为等边三角形，△DAE为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°，∠DAE=45°,∠DEF=∠DEA=90°.∴∠EAC=∠BAC-∠DAE=15°.…………………………………..5分∵EA=EC∴∠ECA=∠EAC=15°.∴∠FEC=∠ECA+∠EAC=30°.…………………………………..6分∴∠DEC=∠DEF+∠FEC=90°+30°=120°.∵ED=EA=EC，∴∠ECD=∠EDC=30°．…………………………………..7分∴∠ECD=∠FEC，∴EF=CF．…………………………………..8分解法二：由（1）知∠AED=90°.∵EA=EC=ED，∴点A，C，D在以E为圆心，以EA为半径的圆上.∴∠ACD=12∠AED=45°.…………………………………..5分∵△ABC为等边三角形，△EDA为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°，∠DAE=45°．∴∠EAC=∠BAC-∠DAE=15°．…………………………………..6分∵EA=EC，∴∠ECA=∠EAC=15°．∴∠ECF=∠DAC-∠ECA=30°，∠FEC=∠ECA+∠EAC=30°．……..7分∴∠ECF=∠FEC．∴EF=CF．…………………………………..8分21.(1)补全图形如下：…………………………………..2分,（2）这20户家庭的月平均用水量为（吨），…………………………………..5分∵被调查住户中月用水量低于6.25吨的有2+4+6=12（户）．∴估计小丽所住小区400户家庭中月用水量低于6.25吨的家庭户数为400×=240户.…………………………………..8分22.（1）证明：连结OC，∵CE与⊙O相切，∴∠OCE=90°．…………………………..1分∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COD=∠BOD.………………………………..2分∵OE=OE，∴△COE≌△BOE．………………………………….4分∴∠OBE=∠OCE=90°，∴BE与⊙O相切.…………………………………..5分（2）解法一：过点D作DF⊥OB，垂足为F，在Rt△OBD中，sin∠ABC=ODOB∵OB=9，sin∠ABC=，∴OD=9×=6．…………………………………..6分∴BD=OB2−OD2=3．…………………………………..7分∵12DF×OB=12OD×BD，∴9DF=6×3.∴DF=2．………………………..8分∴OF=OD2−DF2=4．………………………………..9分∵OA=OB=9，∴AF=4+9=13.∴AD=AF2+DF2=3．…………………………………..10分解法二：连接AC，在Rt△OBD中，sin∠ABC=ODOB，∵OB=9，sin∠ABC=，,∴OD=9×=6.…………………………………..5分∴BD=OB2−OD2=3．…………………………………..6分∵OC=OB，OD⊥BC，∴CD=BD=3．…………………………………..7分∵OA=OB，∴AC=2OD=12.…………………………………..8分∵AB是直径，∴∠ACB=90°，……………………………..9分∴AD=AC2+CD2=3．…………………………………..10分23.解：（1）设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元．由题意，得-=10.…………………………………..2分解得x=25．…………………………………..3分经检验，x=25是原方程的解．…………………………………..4分所以，甲种图书售价为每本25×1.4=35元，答：甲种图书售价每本35元，乙种图书售价每本25元．…………..5分（2）方法一：设甲种图书进货a本，总利润w元，则乙种图书进货（1000-a）本，∴w=(35-25-3)a+(25-20-1)(1000-a)=3a+4000…………………………………..7分又∵25a+20(1000-a)≤23000解得a≤600．…………………………………..8分∵3>0，∴w随a的增大而增大，当a取最大值600时，w有最大值3×600+4000=5800，…………………………………..9分∵5800＜5830，∴育知书店销售完购进的这两种图书后，所获利润不能达到5830元.…………………..10分方法二：设甲种图书进货a本，总利润w元，则乙种图书进货（1000-a）本，∴w=(35-25-3)a+(25-20-1)(1000-a)=3a+4000…………………………………..7分又∵25a+20(1000-a)≤23000解得a≤600．…………………………………..8分若所获利润要达到5830元，则有3a+4000=5830，得a=610.…………………………..9分∵610＞600，∴育知书店销售完购进的这两种图书后，所获利润不能达到5830元.……………………..10分方法三：设甲种图书进货a本，则乙种图书进货（1000-a）本．若利润为5830元，则(35-25-3)a+(25-20-1)(1000-a)=5830………………………………..7分,解得a=610．…………………………………..8分∴乙种图书进货1000-a=1000-610=390本．∵610×25+390×20=15250+7800=23050＞23000，…………………………………..9分∴育知书店销售完购进的这两种图书后，所获利润不能达到5830元.………………………….10分24.（1）证明：∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．………………………….1分∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴△ABC是等边三角形，∠ACD＝∠BAC＝60°，∴AB＝AC，∠B＝60°．………………………….2分∴∠B＝∠ACD，∴△ABE≌△ACF．………………………….3分∴AE＝AF．………………………….4分（2）解：∵△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，菱形ABCD的边长为4．∴△ECF周长＝EC+CF+EF＝EC+BE+EF＝BC+EF＝4+EF．…………….5分∴当EF最小时，△ECF的周长最小，∵AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF，即当AE最小时，△ECF的周长的最小值＝4+AE．……………….6分∵点E是边BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小．………………………….7分∵在Rt△ABE中，AB＝4，∠B＝60°，∴AE＝23，∴△ECF周长的最小值＝4+23．………………………….8分（3）解法一：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝∠EAF＝60°，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，………………………….9分∴∠ABC＝∠BCA＝60°.由（2）知△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.∴∠BAE＝180°-60°-∠BEA=∠CEG，………………………….10分∴△CEG∽△BAE．………………………….11分∴CEAB=CGBE.∴4−14=CG1.∴CG＝34．………………………….12分解法二：过点E作EM∥AB，交AC于点M，则∠EMC＝∠BAC＝60°.………………….9分∵△ABC是等边三角形，菱形ABCD的边长为4，∴∠ACB＝60°，BC＝AB＝4，∴△CEM是等边三角形．∴CE＝CM＝EM.∵△ABE≌△ACF，BE＝1∴CF＝BE＝1，CE＝CM＝EM＝3．………………….10分∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠EMG＝∠FCG，∠MEG＝∠CFG，∴△MEG∽△CFG．………………………….11分,∴MGCG=MECF.∴3−CGCG=31，∴CG＝34．………………………….12分解法三：过点F作FN∥AC，交BC延长线于点N．……………………9分∴∠N＝∠ACB，∠CFN＝∠ACD.∵△ABE≌△ACF，BE＝1,∴CF＝BE＝1.∵菱形ABCD的边长为4，△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝4，CE＝3，∠ACB＝∠ACD＝60°．………….10分∴∠N＝∠CFN＝60°，∴△CFN是等边三角形，∴CN＝NF＝CF＝1，∵∠N＝∠ACB，∠CEG＝∠NEF，∴△CEG∽△NEF．………………………….11分∴CENE=CGNF，∴34=CG1，∴CG＝34．………………………….12分解法四：延长EF，AD交于点P，………….9分∵△ABE≌△ACF，BE＝1,∴CF＝BE＝1．∵菱形ABCD的边长为4，△ABC是等边三角形，∴AP∥EC，AC＝BC＝AD＝CD＝4，CE＝DF＝3，∴∠P＝∠FEC，∠PDF＝∠ECF，∠PAG＝∠ECG，∴△PDF∽△ECF，△PAG∽△ECG．…………………………10分∴DPCE=DFCF，APCE=AGCG，∴DP3=31，即DP＝9，∴AP＝AD+DP＝13．………………11分∴133=4−CGCG，∴CG＝34．………………………….12分解法五：∵△ABE≌△ACF，BE＝1,∴CF＝BE＝1．∵菱形ABCD的边长为4，△ABC是等边三角形，∴BC＝4，CE＝3，∵△AEF是等边三角形，∠ACD＝60°，∴∠AEF＝∠ACD，AE＝AF，∵∠AGE＝∠FGC，∴△AGE∽△FGC．∴AEFC=EGCG，………………9分同理△AGF∽△EGC，∴AFEC=FGCG，………………10分设AE＝AF＝EF＝x，EG＝y，则FG＝x－y，∴x1=yCG，x3=x－yCG，∴yx=CG，CG3=1−yx，………………11分整理，得CG3=1−CG，解得CG＝34．………………12分25.解：（1）把x=2代入y=12x，得y=12×2=1.………………1分,∴点A坐标为（2,1）.………………2分把（2,1）代入y=ax2-2x，得1=4a-4.………………3分∴a=54.………………4分（2）设点P坐标为(t，12t),则点Q坐标为(t，at2-2t)，∴PQ=12t-(at2-2t)==52t-at2.………………5分由y=12xy=ax2−2x，解得x1=0y1=0,x2=52ay2=54a.…………6分∴点A坐标为(52a，54a)∴AN=52a−t，OM=t.………………7分a·OM·AN=at(52a−t)=52t-at2∴PQ=a·OM·AN.………………8分（3）解法一：∵抛物线L2：y=ax2-4x+b过点Q(t，at2-2t)，∴at2-4t+b=at2-2t.∴b=2t.∴抛物线L2的表达式为y=ax2-4x+2t.………………9分设P坐标为(t，12t),则OP=52t,∴cos∠POM=OMOP=255.作AN⊥l，垂足为N，作BD⊥l，垂足为D，作CE⊥l，垂足为E.易知∠PAN=∠PBD=∠ECA=∠POM.cos∠PAN=cos∠PBD=cos∠ECA=cos∠POM=255.∴PA=ANcos∠PAN=52AN.………………10分∴PO·PA=52OM·52AN=54OM·AN=54OM·AN==54t(52a−t).………………11分由y=12xy=ax2−4x+2t，得ax2−92x+2t=0.设点B，C的横坐标分别为m，n,则m+n=92a，mn=2ta.………………12分BD·CE=(t-m)(n-t)=(m+n)t-mn-t2=9t2a-2ta-t2=5t2a−t2.∴PB·PC=BDcos∠PBD·CEcos∠ECA=BD·CE255×255=54BD·CE=54(5t2a−t2)==54t(52a−t).…………13分∴PB·PC=PO·PA.………………14分解法二：作AN⊥l，垂足为N，作BD⊥l，垂足为D，作CE⊥l，垂足为E.易知△PBD∽△POM，△PAN∽△PCE，∴PBPO=BDOM，PAPC=ANCE.………………9分∵抛物线L2：y=ax2-4x+b过点Q(t，at2-2t)，∴at2-4t+b=at2-2t.∴b=2t.∴抛物线L2的表达式为y=ax2-4x+2t.………………10分设P坐标为(t，12t),由y=12xy=ax2−4x+2t，得ax2−92x+2t=0.解得x=9±81−32at4at.,∴xB=9−81−32at4at，xC=9+81−32at4at.………………11分∴BD=xD−xB=t-9−81−32at4a=4at−9+81−32at4a,CE＝xＣ−xＥ＝9+81−32at4a−t＝9+81−32at−4at4a．………12分由（２）知AN=52a−t，OM=t.BD·CE=4at−9+81−32at4a·9+81−32at−４at4a=5t−2at22aOM·AN=t·52a−t=5t−2at22a.∴BD·CE=OM·AN.……………13分∴BDOM＝ANCE.∴PBPO=PAPC∴PB·PC=PO·PA.………………14</y2<y3>
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