2024高考数学常考题型：第20讲 双曲线高考6大常考基础题型总结（解析版）

第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（       ）A．B．C．或D．或【答案】A【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可求得.【详解】解：双曲线C的渐近线方程为，则，所以，，， 由双曲线定义可知，则或，又因为，故，故选：A．【例2】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则【答案】【分析】利用双曲线的定义及余弦定理求解得答案.【详解】在双曲线中，，，,∵，又，∴，所以【例3】已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为．【答案】【解析】由双曲线的方程可知【例4】已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ）A．若，则曲线为椭圆B．若，则曲线为双曲线C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则D．若为双曲线，则渐近线方程为【答案】BD【分析】根据椭圆及双曲线的标准方程可判断ABC，由双曲线的性质可判断D.【详解】对于A，当时，满足，曲线不为椭圆，故错误； 对于B，当时，由双曲线标准方程知，是双曲线，故正确；对于C，由可得，若表示焦点在轴的椭圆，则，即，故错误；对于D，若为双曲线，则由可得，即双曲线的渐近线方程为，故正确.故选：BD【题型专练】1.设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（       ）A．B．1C．D．2【答案】B【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故选：B． 2.已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2|=.【答案】【分析】利用角平分线定理及双曲线的定义求解得答案.【详解】在双曲线中，，所以，又，∴3.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（       ）A．B．C．或D．【答案】B【分析】求得方程表示双曲线的充要条件，从而确定正确答案.【详解】由于方程表示双曲线，，所以，解得，所以在ABCD四个选项中，方程表示双曲线的一个充分不必要条件是.故选：B、题型二：求双曲线的标准方程 【例1】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可得，，，，因此，双曲线的方程为.故选：C.【例2】已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可．【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由圆，得，该圆的半径，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，所以，，可得，所以， 所以点的轨迹方程为.故选：B．【例3】已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答.【详解】双曲线H：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角为，则，由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，于是得，而双曲线的虚半轴长为3，即，显然四边形为矩形，其面积，解得所以双曲线的方程为.故选：B【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程.【详解】因为，，且为中点，所以，且， 因为，所以，解得，直线l的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为.故选：C.【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据双曲线定点的定义，求得，设出双曲线方程，写出渐近线方程，利用点到直线距离公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意得，即，设双曲线的方程为，焦点到其渐近线的距离为，双曲线方程为，综上，双曲线的方程为．故选：B．2．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意可知，求解即可【详解】由题意可知双曲线方程为且， 解得，所以双曲线的标准方程为，故选：B3．已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由，得，该圆的半径为，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，所以点的轨迹方程为，故选：D4.已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________.【答案】【分析】由双曲线焦距可得，讨论焦点在x轴、y轴上，结合求k值即可.【详解】由焦距为6，知：，若焦点在x轴上，则方程可化为，即，解得k=6；若焦点在y轴上，则方程可化为，即，即k=-6.综上所述，k值为6或-6. 故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（       ）A．的周长B．的周长与之差C．D．【答案】BD【解析】【分析】如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，可判断A，根据双曲线定义求解可判断B，设，则根据商与积的值可判断CD．【详解】如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，故A不正确；的周长为所以的周长与之差为，故B正确；设，则，由不是常量，故C不正确；由为常量，故D正确；故选：BD 题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选A．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，又∵，∴．解法三：设，则，，，求的．【例2】已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．【答案】72 【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积.【详解】由可知，因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积,故答案为：72【题型专练】1．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ）A．P的纵坐标为B．C．的周长为D．的面积为4【答案】ABD【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，因为，所以. 由双曲线的定义可得①，两边平方得，即，解得，故的面积为，D正确.设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.，解得②，的周长为，C错误.①＋②可得，B正确.故选：ABD2.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（）A．B．3C．D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设，则，∵，∴点在以为直径的圆上，[来源：Z．xx．k．Com]即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，∴，解得，∴，故选B．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在轴上的渐近线为 焦点在轴上的渐近线为若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。【例1】双曲线与有相同的（       ）A．离心率B．渐近线C．实轴长D．焦点【答案】D【分析】根据双曲线方程判断焦点在轴上，并求，进而确定离心率、渐近线、实轴长和焦点．【详解】对于双曲线可得：焦点在轴上，则离心率，渐近线，实轴长，焦点对于双曲线可得：焦点在轴上，则离心率，渐近线，实轴长，焦点∴ABC错误，D正确故选：D．【例2】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据离心率得关系，进而得关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．试题解析：．∵渐近线方程为渐近线方程为，故选A． 【名师点睛】已知双曲线方程求渐近线方程：．【考点】双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线方程）【例3】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．【答案】【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为，将点代入C的方程中，得．∴双曲线的方程为，渐近线方程为．【例4】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．【例5】设双曲线的右焦点为，，两点在双曲线上且关于原点对称，若 ，，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】设双曲线左焦点为，点在双曲线右支，根据对称性知四边形是平行四边形，，根据双曲线的定义可推得，，.又，可知四边形为矩形，根据勾股定理得到的关系式，进而得到的关系式，即可求出渐近线方程.【详解】设双曲线左焦点为，点在双曲线右支，根据对称性知四边形是平行四边形.由已知可得，又由双曲线的定义知，，所以，.又，所以四边形是矩形，所以.在中，有，即，所以，，所以，.所以，双曲线的渐近线方程为，整理可得.故选：A.【题型专练】1.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．【答案】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．2.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（       ）A．3B．C．D．【答案】B【分析】由题意可得，再由可求出答案.【详解】由双曲线的渐近线方程为，可知，，，故选：B．3.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】试题分析：由双曲线性质得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．试题解析：由题可知，．在中，，， ，，故选C．4.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，解得，故双曲线方程为，故选D．5.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．【答案】【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，又双曲线过点，∴，∴，故双曲线的方程为．题型五：双曲线的离心率问题【例1】已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆去双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.【详解】设P为第一象限的交点，则由椭圆和双曲线的定义可知， ∴在△中由余弦定理得：即：∴，即：∴当且仅当，即时，取得最小值为3.故选：B.【例2】双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（    ）A．2B．C．D．【答案】A【分析】由抛物线的方程得焦点，延长交的延长线于点，由角平分线的性质得且，由中位线的性质得，根据双曲线的定义求得，由双曲线的离心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线的焦点，故，延长交的延长线于点是的角平分线，于点，且点是的中点， 由双曲线的定义得,故故双曲线的离心率为故选：A.【例3】已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由双曲线的定义可得：，，于是可得，，在中，由余弦定理可得，即可求得离心率的值.【详解】因为，，由双曲线的定义可得：，，则，由，在中，由余弦定理可得，化简得，所以双曲线的离心率.故选：B. 【例4】已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】依次求出点、的坐标，然后由点在双曲线上可建立方程求解.【详解】不妨设在，令，则有，解得，所以，，因为点在双曲线上，所以，解得，故选：B.【例5】设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出M，N两点的坐标，再利用余弦定理，求出a,c之间的关系，即可得了双曲线的离心率.【详解】解：不妨设圆与相交，且点的坐标为，则点的坐标为，联立， 得，又且，所以，所以由余弦定理得：，化简得，所以，所以.故选：A【题型专练】1．过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案.【详解】解：由题意可得，且，又因为，所以，即有，所以，所以，所以， 所以，所以.故选：C.2．已知双曲线，左、右焦点分别为、，O为坐标原点，P为右支上一点，且，O到直线的距离为b，则双曲线C的离心率为（    ）A．2B．C．D．【答案】B【分析】利用已知条件及图像用两种方式求出，建立关于的等式，结合及双曲线离心率，化简方程，解出即可.【详解】如图所示：由为坐标原点，为右支上一点，且，在双曲线中：，所以，由三角形的性质有：，过作，则因为到直线的距离为b，且为的中点，所以为的中位线，为线段的中点，所以，在中，所以， 所以所以，由双曲线的定义有：，①，②联立①②解得：，所以，所以，所以，因为，所以，故选：B.3．已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，进而结合双曲线的定义得，，，，进而在，结合余弦定理求得，进而得，再求离心率即可.【详解】解：如图，设，因为,所以，由双曲线的定义得：，所以，，，，，所以，在中，，在中， 因为，所以，即，所以故选：B4．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则C的离心率为（    ）A．B．C．2D．3【答案】C【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，则，即．故选：C．5．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A 【分析】由为圆心，为半径为径的圆经过点，得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解．【详解】解：由题意得，设，则，，，，在中，由勾股定理得，解得，则，，在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，故选：B6．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（    ）A．B．C．D．2【答案】B【分析】数形结合，设，分别联立直线与双曲线，直线与直线可分别解得点的纵坐标,再根据点是中点，由中点坐标公式即可解得关系，从而可得双曲线C的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，设，如图，直线与双曲线联立方程组，解得：，即，点的纵坐标为，直线与直线联立方程组，可得，点的纵坐标为，由于点是中点，由中点坐标公式可得，，，即.故选：B.7．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（      ）A．2B．C．D．【答案】C【分析】结合点到直线的距离公式、角平分线的性质求得，进而求得离心率. 【详解】右焦点，一条渐近线为，到的距离为，即，由于，所以，由于，由正弦定理得，而，所以，所以.故选：C题型六：双曲线的最值问题【例1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得，所以，再根据双曲线性质得的范围，则，再利用二次函数求值域即可. 【详解】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：，所以，因为，，所以，，所以，将代入得：.故选：B．【例2】已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.【答案】【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．【详解】若，，且，则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，，∴，，∴双曲线方程为，其渐近线方程为，则曲线上存在点满足，等价于与双曲线相交，∴．故答案为：．【例3】已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．【答案】【分析】求出双曲线的焦点坐标，应用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线时取得最值，即可得到的最小值. 【详解】双曲线中，，，，，圆半径为，，，(当且仅当共线且在之间时取等号)，，当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．的最小值是7．故答案为：7.【题型专练】1.设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ）A．6B．9C．12D．14【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可.【详解】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，故可得，故的最大值为：.故选：B.2．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（            ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由已知可判断点P在双曲线上，将已知转化为曲线与双曲线相交，利用直线与渐近线的位置关系可得解.【详解】点，，且，故点P在双曲线的下支上.所以双曲线的方程为，其渐近线方程为，又点P在曲线上，即点P在曲线上， 即曲线与双曲线相交，，即故选：D3.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意可知，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，从而得到的最小值为，求出的值，得到双曲线的离心率．【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，因为双曲线，，由双曲线的定义可知，，，当且仅当点，，三点共线时，等号成立， 渐近线方程为，即，且，此时，的最小值为，，，所以离心率，故选：A．4．已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为___________.【答案】##1.5【分析】为左焦点，利用双曲线定义得到周长为，判断其最小时的位置关系及△的形状，进而求出△的面积.【详解】若为左焦点，则，而，，则，由周长为，当且仅当三点共线时周长最小，此时，所以，此时△为腰长为2的等腰直角三角形，令，则，故，而，在△中，可得，故三角形的面积为.故答案为：