2024高考数学常考题型：第17讲 数列求和5种常考题型总结(解析版）

第17讲数列求和5种常考题型总结【题型目录】题型一：分组求和法题型二：裂项相消法求和题型三：错位相减法求和题型四：先求和，再证不等式题型五：先放缩，再求和【典型例题】【例1】已知数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用，即可得的通项公式；（2）由题可知，利用分组求和法即得.（1）因为，当时，，当时，，因为也满足，综上，；（2）由题可知，所以. 以．【例2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；（2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可．【详解】（1）由题设得：，∵，则，故是首项，公差为2的等差数列，∴，当时，得：，当，由①，②，由①－②整理得：，，∴，故，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．由，（）得：，∴新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，； ∴．【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和，且．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式；（2）数列中在之前共有项，再分组，分别利用等差，等比求和公式可求得答案【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得，则等比数列{an}的通项公式为；（2）数列中在之前共有项，当时，；当时，，则，则所求的数列的前100项和为．【题型专练】1.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．(1)求数列与数列的通项公式；(2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，.(2)【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.（2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.【详解】（1），，解得，（舍去）.故，.（2），故.2.已知数列的前项和为，且，请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是公比为2的等比数列，，求数列的前项和.【答案】(1)任选①②③，都有；(2)任选①②③，【分析】（1）由已知得出数列是等差数列，选①，利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式；选②，由等比数列性质得，再利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式；选③，由等差数列的前项和公式求得后得通项公式；（2）求出，用分组求和法求和．（1）由得，即，所以是等差数列，公差为1，选①，，则，，所以；选②，成等比数列，则，所以，解得，所以；选③，，，， 所以；（2）任选①②③都有：由题意，，所以，．3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设数列的公差为，根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式.（2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可.（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，则且则或（舍）则，即通项公式（2）因为与（，2，…）之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以4.已知等差数列满足，设.(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列； (2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.【答案】(1)，证明见解析，(2)【分析】（1）先由递推公式求出通项公式，即可得的通项公式，由即可证明为等比数列；（2）先确定数列前20项的和包含的前5项，的前15项，分组求和即可.（1）设等差数列的公差为，因为，所以，故，所以.因为，所以数列是公比为4的等比数列.（2）由题意，该数列前20项的和包含的前5项，的前15项，设该数列前项和为的前项和为的前项和为，所以.题型二：裂项相消法求和【例1】首项为4的等比数列的前n项和记为，其中成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等差中项及数列和的意义化简可得公比，由等比数列通项公式求解即可；（2）裂项相消法求出数列的和即可.【详解】（1）∵成等差数列，∴， ∴等比数列公比，∴（2），∴，∴.【例2】已知数列的首项为正数，其前项和满足．(1)求实数的值，使得是等比数列；(2)设，求数列的前项和．【解析】(1)当时，，，解得；当时，把代入题设条件得:，即，很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，∴；(2)由（1）知是首项为，公比的等比数列，所以，．故数列的前项和为：.【例3】数列的前n项和，.(1)求；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)，.(2).【分析】（1）根据已知，利用数列前n项和与通项的关系以及等比数列求解. （2）根据第（1）问的结论以及对数的运算性质，再利用裂项相消法进行求解.【详解】（1）当时，，解得，当时，，即，所以，即，所以数列为等比数列，且首项为2，公比为4，所以，.（2）由（1）有：，所以，即，所以，所以，令，所以.【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列的首项，记数列的前项和为，且数列为等差数列.(1)证明：数列为常数列；(2)设数列的前项和为，求的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设数列的公差为，则，平方后求出，再利用可表示出，从而可得数列的公差为，从而可表示出，然后可求出为常数，（2）由（1），，则，化简后利用裂项相消法可求得结果. （1）证明：设数列的公差为，则，，所以所以.所以所以的公差为，因为所以，即，所以，所以为常数，所以数列为常数列；（2）由（1），，对也成立，因为，，所以 .所以.【例5】已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)，是数列的前项和，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由数列的递推关系式可得数列是等差数列，由此求得数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出．（1）由，有，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以；（2），．【题型专练】1．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等比数列的基本时法求得公比，首项后得通项公式； （2）用裂项相消法求和，然后解方程得．（1）设的公比为，因为，所以，又因为成等差数列，所以，所以，解得.由，解得.所以.（2）因为，所以，因为，所以，解得.2．已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，即可证明.【详解】（1）依题意可得，当时，，，则；当时，，，两式相减，整理可得，又为正项数列，故可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）证明：由（1）可知，所以， ，所以成立.3.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【解析】(1)等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，所以.(2)由（1）知，，所以.4.记为数列的前项和，已知，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.【解析】(1)①，当时，，；当时，②①-②得，即又，∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．．(2)若选择①：， ．若选择②，则③，④，③-④得，．5．已知数列前n项和为，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求.【解析】(1)，当时，；当，时，，.当时也符合,.(2).题型三：错位相减法求和【例1】已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前n项和为，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由递推关系化简可证明数列为等差数列，再由通项公式求解即可；（2）根据错位相减法求和后做差判断单调性，利用单调性求取值范围.【详解】（1）由， ∴（常数），故数列是以为公差的等差数列，且首项为，∴，故；（2）设公比为q（），由题意：，∴，解得或（舍），∴，∴，∴，有，两式相减得，∴，由，知在上单调递增，∴.【例2】已知各项均不为零的数列满足，且，，设.(1)证明：为等比数列； (2)求的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题知，进而根据等比数列的定义证明即可；（2）结合（1）得是常数列，进而得，，再根据错位相减法和分组求和求解即可.【详解】（1）证明：∵，∴，∴上述等式两边同除以得，即，∴，即，又∴是以为首项，为公比的等比数列，∴.（2）解法1：由（1）知，即，∵，∴，∴是常数列，∴，∴，令，则 ①，②①式减②式得，，化简整理得.解法2：由（1）知，即，∵，∴，∴是常数列，∴，∴，，，，∴∴，∴为常数列.∵，∴.【例3】已知数列的首项.(1)求；(2)记，设数列的前项和为，求. 【答案】(1)，(2)【分析】（1）由可得数列等比，利用的通项公式即可得到；（2）利用错位相减和分组求和求解即可.【详解】（1）由题意可得，，，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，故.（2）由（1）得，所以令①，则，因为②，①-②得，所以，所以.【例4】已知各项为正数的数列前n项和为，若．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列前n项和为，求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用求得的递推关系，得数列为等差数列，从而易得通项公式；（2）由错位相减法求得和即可证．【详解】（1）当n＝1时，，解得：．当时，由得：，因此，，又，∴，即：是首项为1，公差为2的等差数列， 因此，的通项公式．（2）依题意得：，，∴，两式相减，得：，，因此，．【例5】已知数列的前n项和满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由与的关系即可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前n项和.【详解】（1）当，，故，因为，当时，,两式相减得：，即，故数列为等比数列，公比，所以．（2），故，故，令①，②，①-②得 即，故．【题型专练】1．若公比为c的等比数列的首项且满足．(1)求c的值；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)或；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意列方程即可求解；（2）当时，数列为等差数列，直接套公式即可求和；当时，利用错位相减法求和.【详解】（1）由题设,当时,.所以.因为为等比数列，所以，所以，解得：或.（2）当时，为常数列，所以.所以.所以数列的前n项和；当时，为等比数列，由，所以，所以.所以数列的前n项和：①两边同乘以，得： ②①式减去②式,得：所以综上所述：当时，；当时，.2．已知数列的前n项和为,,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值.【答案】(1)，(2)3【分析】(1)由题知,令为代入,注意,两式相减即可得到之间的关系,判断其数列类型,检验,得出通项公式.(2)由(1)得的通项公式代入,得的通项公式,得到其前n项和为,代入不等式中,使全分离,得到,求的最小值即可,注意且.【详解】（1）解:由题知,得,则,当时,由得,上述两式相减得,即,则且,可得数列是以1为首项,3为公比的等比数列,故数列的通项公式为.（2）由(1)知, 则,                         ,两式相减得,于是得,当且时,由,得,令,且,则,且,即,则当且时,数列是单调递增数列,即,因此,所以实数的最小值是3.3．已知数列前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）当时，求出，当时，，两式相减可得，又因为，所以从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式.（2）当时，求出，当时，再由错位相减可求出，再检验是否适合，即可得出答案.【详解】（1）当时，，所以， 当时，，两式相减可得：，所以，所以所以，又因为，所以从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以①（2）当时，，所以，当时，，所以，则①，②，①②得：，，，所以又因为当时，，所以.4.已知数列的前n项和为，且，.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，（）(2)【分析】（1）由题意，根据公式，可得数列递推公式（），结合等比数列的通项公式，可得答案；（2）由题意，根据错位相减法，可得答案.（1）因为，所以（），故，即（）又，故，即，因此（）故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（）（2）因为①故②①②，得，即.5.已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．(1)求与的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】 （1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可(1)设等差数列的公差为d，由已知得，，解得，       所以，即的通项公式为；       设正项等比数列的公比为，因为，，所以，所以，解得或（负值舍去），所以．(2)，             所以，       所以，相减得，，所以．题型四：先求和，再证不等式【例1】设为数列{}的前n项和，已知，且．(1)证明：{}是等比数列；(2)若成等差数列，记，证明＜．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由与的关系，等比数列的定义证明，（2）由题意列式解得后得{}通项公式，再由裂项相消法求和证明，【详解】（1），当，两式相减得．又因为，所以数列是公比为3的等比数列．（2）由，得，，，．，所以．【例2】已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①；②；③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①，利用与的关系及等比数列的通项公式即可求解；选择②，利用的思想，作差可得，再检验的情形，即可求解； 选择③，直接做商可得，再检验的情形，即可求解；（2）根据（1）的结论及裂项相消法求出数列的前项和，再将不等式恒成立问题转化求函数的最值问题，结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）选择①，由知，当时，，由，得，即，当时，，解得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故.选择②，由知，当时，由，得，在中，令，则，满足上式，所以，即.选择③，由知，当时，由，得，在中，令，则，满足上式，所以.（2）由（1）知，，所以，所以数列的前项和为，对于任意的，，所以，即.设所以恒成立，即，所以单调递减，所以，于是有，故实数的取值范围为. 【例3】（2022江西丰城九中高二阶段练习）等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.(1)求和的值；(2)求=(3)证明:【答案】(1)；.(2)(3)见解析【分析】（1）根据等差数列列式求解出与，代入表示，即可求出；（2）由（1）求出，再由裂项相消法求；（3）由（2）知，而，所以，即可证明.(1)∵等差数列中，前三项分别为，，，∴，解得，∴首项，公差．∵，化为：．解得．(2)由（1）可得：，∴，∴．∴(3) 因为，而，所以.【例4】（2022·浙江·高二期末）已知数列满足，.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.（1）证明：因为，所以，即，因为，所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则．（2）解：由（1）知，所以．当为偶数时，，因为是单调递减的，所以． 当为奇数时，，又是单调递增的，因为，所以．要使存在，使，只需，即，故的取值范围是．【题型专练】1．已知数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项和，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用递推关系分类讨论与两种情况，注意检验，易得；（2）利用裂项求和法易得，再由可推得.【详解】（1）由已知可得当时，；当时，，得；当时，由，得，两式相减可得，则，经检验：满足，所以；（2）由（1）得， 则，因为，则，故，则，故，所以，即，得证.2.（2022陕西安康市教学研究室高一期末）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推式可得，利用累乘法求得数列通项公式；（2）求出数列的前项和的表达式，利用错位相减法可证明结论.（1）数列满足，，，．当n=1时成立（2），，两式相减得，．3．已知数列的首项，，.(1)证明：为等比数列；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由题知，再根据等比数列的定义证明即可；（2）结合（1）得，，进而根据裂项求和方法求解即可证明.【详解】（1）解：∵，∴∴（且）又∵∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得，∴∴∵，∴，∴.4．已知数列{}的前项和为，，(1)求数列{}的通项公式；(2)设，为数列的前项和.证明：【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求通项公式； （2）由（1）得，应用裂项相消法求，结合数列单调性即可证结论.(1)当时，，又，则，当时，，解得，故是首项为，公比为的等比数列，则；(2)因为，则，故，又，所以，即，又是单调递增数列，则综上，.5.已知数列的前项和，其中.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，（i）证明：数列为等差数列；（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据即可求解；（2），两边除以即可证明等差数列；利用错位相减法求，解不等式即可求得的最小值.（1）， .时，，也适合上式，所以.（2）（i）证明：当时，，将其变形为，即，数列是首项为，公差为2的等差数列.（ii）解：由（i）得，，所以.因为，所以，两式相减得，整理得.∴，即.∴，故.6．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.（1） 解：因为，所以，两式相减得，当时，，又，所以，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以；（2）证明：，所以，由，得，所以，综上，.题型五：先放缩，再求和【例1】已知数列的前项和为，当时，．(1)求数列的通项公式;(2)求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据题意证明是以为首项，为公差的等差数列，进而得，再根据求解即可；（2）结合（1）得，再根据裂项求和，结合不等式放缩求解即可.【详解】（1）解：因为当时，，所以，，因为当时，，即 所以，是以为首项，为公差的等差数列，所以，，，所以，当时，，当时，，满足，所以（2）解：结合（1）得，所以，，所以，当时，，当时，，所以，.【例2】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列单调递增且，前项和满足，数列满足，且，.(1)求数列、的通项公式;(2)若，求证：.【答案】(1)，，(2)证明见解析【分析】（1）由结合可求得的值，令，由题意推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，分析可知数列为等比数列，确定的该数列的公比，结合的值可求得数列的通项公式；（2）由时，，由时，利用放缩法可得出 ，再利用等比数列的求和公式可证得结论成立.(1)解：当时，，所以或，因为，故；当时，，即，因为是单调递增的数列，所以，，则，即，所以，是等差数列，公差为，首项是，所以，.由得，，所以是等比数列，，，则数列的公比为，所以，.(2)解：当时，，当时，.所以，.综上可知，对任意的，成立.【例3】已知数列的前项和为，且满足，(1)求和(2)求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用可得，从而可求及. （2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，所以，（2）当时，，原式成立．当时，所以．【例4】已知数列的前n项和为，，，且．(1)求；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为 ，公比为的等比数列，求出、的表达式，即可得出数列的通项公式；（2）利用放缩法可得出，结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.(1)解：由得．        所以，当时，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，       故，即．    当时，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．所以．(2)证明：由（1）知，     所以.故原不等式成立.【题型专练】1.已知数列满足：，，.(1)设，求数列的通项公式；(2)设，，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式；（2）由（1）可得，即可得到，再利用等差数列前项和公式计算可得.（1）解：因为，，所以，又，所以，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论（1）因为，所以，所以，两式相除，得 ，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．（2）因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以．3.已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.【解析】(1)当时，，即由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则(2)所以4．已知数列满足，且,是的前项和.(1)求； (2)若为数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)先用累加法求通项公式，再由裂项相消法可得；(2)由(1)可得的通项公式为，放缩得，再由裂项相消法可证.(1)∵，∴，，…由上述个等式相加得∴，∴，.(2)令，∴，又因为，且∴，综上，，得证.