2024高考数学常考题型：第16讲 数列的通项6种常见题型总结(解析版）

第16讲数列的通项6种常见题型总结【题型目录】题型一：已知，求题型二：叠加法（累加法）求通项题型三：叠乘法（累乘法）求通项题型四：构造法求通项题型五：已知通项公式与前项的和关系求通项问题【典型例题】题型一：已知，求【例1】已知数列的前项和.若，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求得，然后根据求得的值.【详解】依题意，当时，；当时，，，两式相减得，也符合上式，所以，，由解得，所以.故选：B【例2】（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】当时，由求出；当时，由求出；即可求解. 【详解】当时，，；当时，，不符合，则.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．【答案】.【分析】利用项与前项和的关系即得.【详解】对任意的，，当时，则，当时，由，可得，上述两个等式作差可得，，满足，因此，对任意的，.【题型专练】1.已知数列的前项和是，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数列与的关系即可求得数列的通项公式；（2）因为数列的首项为正且是一个递减数列，令，得该数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，利用分组求和即可求得数列的前项和.【详解】（1）当时，， 当时，把代入上式，满足题意.数列的通项公式.（2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负，令，则数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，则当，，当时，数列的前项和为2．（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______.【答案】7【分析】将代入根据可得出答案；当时由，求出，从而可得出答案.【详解】当时，；当时，.所以，所以.故答案为：3．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列满足，则的前n项和（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】当时，求，当时，由题意得，可求得，即可求解.【详解】 解：当时，，当时，由得，两式相减得，，即，综上，所以的前n项和为，故选：C.题型二：叠加法（累加法）求通项【例1】在数列中，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.【详解】因为，则，当时，，显然满足上式，即有，所以．故选：A【例2】已知数列满足，，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知等式可推导证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得，采用累加法可求得，由此可得，分别讨论和时的取值，加和即可得到结果. 【详解】由得：，又，则数列是以为首项，为公差的等差数列，，，；又，当时，；当时，，.故选：C.【例3】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（    ）A．290B．325C．362D．399【答案】B【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得.【详解】设该数列为，则由，，，，…可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故，故，则，，，…，，上式相加，得，即，故. 故选：B.【例4】已知数列满足，，则______．【答案】【分析】由已知可得，然后利用累加法可求出，从而可求出.【详解】因为，所以，所以，，，……，，所以，因为，所以，所以．故答案为：.【例5】已知数列中，，，是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和，求使得成立的最小整数.【答案】(1)；(2)使得成立的最小整数为.【分析】（1）根据等差数列的定义求出，从而可求出的通项，再利用累加法求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前项和，解不等式求的范围，确定满足条件的最小整数.【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，所以，因为，，所以，所以，故，所以，则，，，，累加得，所以，满足上式，所以，（2）由（1），所以，所以不等式可化为，所以，所以使得成立的最小整数为.【题型专练】1．若，，，则_________．【答案】【分析】用累加法即可求出．【详解】，当时，，，， 以上各式相加得：而也适合上式，．故答案为：．2．数列满足，则_____．【答案】【分析】利用累加法，结合等比数列的前项公式，即得.【详解】因为，所以，，…，，所以，所以，当时，，也符合，故.故答案为：.3．若数列满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）运用累加法即可求出的通项公式； （2）运用裂项相消法即可证明.【详解】（1）因为，，所以，故；（2）证明：当n＝1时，；当时，，则，故；综上，.4．已知数列满足：，，（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．（2）由（1）知，，当时， 当n=1时，满足上式．所以，．5．已知无穷数列的前项和为，，，对任意的，都有．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的通项公式；【答案】(1)；(2).【分析】（1）由关系得，结合等差数列定义和已知求公差，即可写出通项公式；（2）由（1），应用累加法求的通项公式.【详解】（1）由，即，故，由，故，所以，综上，，即是首项为1、公差为2的等差数列，所以.（2）由题设，所以，…，，，将上式累加可得：，又，则.题型三：叠乘法（累乘法）求通项【例1】已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ）A．B．C．D． 【答案】A【分析】利用累乘法计算可得.【详解】解：因为，所以，，，，，，所以，即，又，所以；故选：A【例2】在数列中，，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知，根据题意递推关系分别得到，，，然后运用累乘法求解出，然后再借助等差数列求和公式即可完成求和.【详解】由已知，数列中，，，，所以，，，所以，所以，即，则.故选：C.【例3】已知数列满足，则___________．【答案】【分析】当时，由可得，两式作差变形可得，利用累乘法可求得数列的通项公式 【详解】将代入可得，解得，由可得，两式相减得即，所以，也满足，故对任意的，，故答案为：【例4】记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的定义，写出数列的通项公式，整理可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；（2）利用分组求和法以及等差数列求和公式，可得答案.【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，则，即，当时，，两式相减可得：，整理可得，故，将代入上式，，故的通项公式为.（2）由，则.【例5】设数列的前项和为，，． (1)求的通项公式；(2)对于任意的正整数，，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，由可得，两式作差变形可得，利用累乘法可求得数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用奇偶分组求和法、裂项相消法、等比数列的求和公式可求得.【详解】（1）解：当时，由可得，上述两个等式作差可得，所以，，则，所以，，也满足，故对任意的，.（2）解：对于任意的正整数，，所以，.【例6】在数列中，，且，.(1)求的通项公式；(2)若，且数列的前项n和为，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知得当，再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式，（2）由（1）得当时，，利用裂项相消法可求得，从而可证得结论.（1）解：因为，所以当，两式相减，得，即，当时，，所以当时，，所以当时，，当时，上式成立；当时，上式不成立，所以（2）证明：由（1）知当时，，所以当，；当时，.综上，.【题型专练】 1．数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．【答案】【分析】由的关系可得，由迭代累乘法即可求解.【详解】由得：当时,进而得，因为，所以，故，故答案为：2．数列满足：，，则通项________．【答案】【分析】当时，与两式相减，可得出，再由累乘法计算即可得出答案.【详解】由题意得：①，当时，，当时，②，①②得：，所以，，，，…，，累乘得，当时，不满足，则．故答案为：. 3．设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________【答案】【分析】由已知条件化简可得，再由递推累乘法可得，最后检验是否符合即可.【详解】依题意，，所以，又因为，所以，所以，，所以，经检验，也符合上式.所以.综上所述，.故答案为：.4．已知数列满足：，，求数列的通项公式.【答案】.【分析】根据，由累乘法即可求得.【详解】由题意得，当时，，又也满足上式，所以.故.5．已知数列中，，.(1)求数列的通项公式； (2)求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用累乘法求出时，通过验证也满足，从而求出通项公式为，；（2）根据第一问得到数列为等差数列，进而利用等差数列求和公式进行求解.【详解】（1）因为，，所以当时，，又满足，综上：，；（2）由（1）知：，；由等差数列求和公式可得：6．已知为数列的前n项和，且，．(1)求，；(2)求的通项公式．【答案】(1)，.(2)【分析】（1）将和代入即可求值；（2）根据和的关系，结合累乘法即可求解.【详解】（1）当时，，即，又，所以，当时，有，解得.故，. （2）因为，所以，两式相减得：，即，化简得：，所以，即，，化简得：.故的通项公式.题型四：用“待定系数法”构造等比数列【例1】已知数列中，，则等于（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析得到数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列的通项即得解.【详解】所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，所以.故选：C【例2】若数列和满足，，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再根据，得到，即可得到的通项公式，最后代入即可； 【详解】解：因为，，所以，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，即，所以所以；故选：C【例3】（多选题）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ）A．为等比数列B．的通项公式为C．为递增数列D．的前项和为【答案】AD【分析】取倒数后由构造法得为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定【详解】由题意得，则，而，故是首项为，公比为的等比数列，，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，对于D，，的前项和为，故D正确，故选：AD【例4】（多选题）已知数列满足：，当时，，则关于数列 的说法正确的是(    )A．B．是递增数列C．D．数列为周期数列【答案】ABC【分析】利用数列的递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误．【详解】数列满足：，当时，，，∴数列是首项为，公差为1的等差数列，，，故C正确；，故A正确；∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误．故选：ABC．【例5】在①；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.已知数列的前项和为，且，_____.(1)求；(2)设，求数列的前项和.注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①：由已知等式可得，从而证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到；若选②，利用与的关系直接求解即可得到结果；若选③，由与 的关系可整理得到，从而证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到；（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.（1）若选条件①：由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则；若选条件②：当时，，经检验：满足；；若选条件③：当时，，整理可得：，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则.（2）由（1）得：，，，，.【例6】已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，若，求． 【答案】(1)(2)．【分析】（1）当时，得到，两式相减化简得到，进而得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.（1）解：由题意，数列满足，当时，，两式相减得到，即，即，所以，令，可得，解得，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，可得，所以数列的通项公式为.（2）解：由，可得，则，所以，两式相减，可得所以.【题型专练】 1.（多选题）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）A．B．数列是等比数列C．D．【答案】AB【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.【详解】解：∵，可得，又∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；则，∴，故C错误；则，故A正确；∴，故D错误.故选：AB.2．已知数列满足，则数列的前项和为______．【答案】【分析】由递推公式可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出的通项公式，则，再利用裂项相消法求和即可.【详解】解：因为，所以，即，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则，令数列的前项和为， 则故答案为：3．已知数列中，，，则通项______；【答案】【分析】化简已知得，所以是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，即得解.【详解】因为，所以，所以是一个以为首项，以2为公比的等比数列，所以.故答案为：4．已知数列满足，.求数列的通项公式;【答案】【分析】将代入已知等式可求得，根据已知关系式可得，由此可知数列为等差数列，结合等差数列通项公式可推导得到.【详解】，，，即，解得：；由题意知：；由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则.5．已知数列的前项和，求的通项公式．【答案】，.【分析】根据，构造等比数列即可.【详解】．① 当时，，可得，当时，，②①－②得，则，而不为零，故是首项为1，公比为2的等比数列，则，∴数列的通项公式为，．6．设数列满足，.（1）设，求证：是等比数列；（2）设的前n项和为，求满足的n的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【分析】（1）代入递推公式证明为常数即可；（2）根据（1）可得，再求和根据的单调性判断即可【详解】（1）证明：因为，，所以，从而，.所以，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1），得.由，得，解得.所以.显然为递增数列， 又当时，；当时，，所以满足的n的最大值是10.7．已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先利用题给条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；（2）利用得到，再利用裂项相消法求得数列的前n项和，进而得到.(1)数列中，，由，可得又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，则数列的通项公式为(2)由（1）知，则则数列的前n项和由，可得，即．8．已知数列，，.(1)求数列的前5项；(2)求数列的前n项和. 【答案】(1)前5项依次为；(2).【分析】（1）由题设，根据等比数列的定义写出的通项公式，即可得前5项；（2）应用分组求和，结合等比数列前n项和公式求.(1)由题设，而，所以是首项、公比都为2的等比数列，则，故的前5项依次为.(2)由（1）知：，所以.9．已知数列和满足，，，，则______，______．【答案】        【分析】由题设有，根据等比数列的定义判断为等比数列，进而写出通项公式，令则，结合已知是常数列，即可得的通项公式.【详解】由题设，，则，而，所以是首项、公比均为2的等比数列，故，，则，令，则，故，而，所以是常数列，且，则.故答案为：，.题型五：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【例1】已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（    ）A．B．C．是等比数列D．是等比数列【答案】C【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A;结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，进而推出，即可判断D．【详解】由题意数列的前项和为，，且，则，即，即选项A正确；∵①，∴当时，②，①-②可得，，即，，不满足，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，，则，故，故B正确；由得：,则，即，故是首项为，公比为3的等比数列，D正确，故选︰C．【例2】（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________.【答案】 【分析】根据，作差得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式；【详解】解：因为，当时，，所以，当时，，两式相减，整理得，所以是首项为，公比为的等比数列，故.故答案为：【例3】已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据时，得到，，再结合，得到数列为等差数列，然后求通项即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）当时，，解得，当时，，则，整理得，又，所以，数列为等差数列，所以. （2）由（1）得，设数列的前项和为，，，两式相减得：，所以.【例4】数列中，为的前项和，，.(1)求证:数列是等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得到，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）解：数列中，为的前项和，，①，当时，，解得；当时，②，①②得③，所以④，由③④得，所以数列为等差数列， 所以公差，所以．（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以.【例5】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，_____________.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.【答案】(1)若选①或②，,；选③，(2)若选①或②，；选③，【分析】（1）①②都是利用的方法进行简化，然后得到与的关系，进而得到通项公式；③利用的方法进行化简，得到与的关系，进而得到通项公式；（2）利用①②③的结果代入的具体值，通过求和得到答案.（1）若选①：因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列，，所以；若选②：因为，所以，两式相减， 得，因为，所以，故为等差数列，则；若选③：由，变形得：，则，易知，所以，则为等差数列，由，则，，所以，由当时，，也满足上式，所以.（2）若选①或②：由题意，，当时，，；当时，，；当时，；.若选③：由题意，，当时，，；当时，，；当时，，；.【题型专练】1．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））设数列的前n项和为，已知.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据，消元得到，故为等比数列，进而求出通项公式；（1）因为，所以，两式相减，可得，整理得，即，因为在中当时，，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.2．已知数列的前项和为，且满足，.求和.【答案】；.【分析】利用给定的递推公式，结合推理判断数列类型，再求出和作答.【详解】，当时，，则，而，显然，因此，即数列是以为首项，公差为的等差数列，于是得，即，当时，，而不满足上式，因此，所以，.3．已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式.【答案】【分析】当时可求得；当时，由，结合已知等式可整理得到，由此可得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果.【详解】当时，，解得：；当且时，，，， 整理可得：，又，，即，数列是以为首项，为公差的等差数列，.4．已知等比数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据与的关系可得，结合条件即得；（2）根据等比数列的求和公式即得.【详解】（1）∵，∴当时，，∴，∴，故等比数列的公比q＝3，令n＝1，得，∴，∴；（2）由题可知，∴，∵， ∴.5．已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)详见解析；(2)【分析】（1）中令和结合求得，然后利用得数列的递推关系，进而即得；（2）由（1）求得再得出，利用裂项相消法求得和．【详解】（1）因为，所以，因为，所以，，即，，解得，，当时，，与联立，得，所以，又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）得，，所以，，所以， 所以.6．已知数列中，，其前n项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据与的关系可得出数列是等比数列从而得到通项公式；（2）将带入化简得到，利用裂项相消可以求得的前项和，即可证明不等式.（1）由题意得，（），两式相减得（），，又，，，，（），是首项为1，公比为3的等比数列，.（2）由（1）可知，则，所以，， ，又，.