2024.2福建龙岩一中锦山学校初三（下）数学开学考试卷（解析版）

龙岩一中锦山学校2023-2024学年第二学期返校测试九年级数学满分150分时间120分钟一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列实数中，最大的数是（）A.−1B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且21>，所以−1012、、、中最大的实数是2．故选：D【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．2.如图所示的几何体，其主视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，据此求解即可．【详解】解：从正面看看到的是一小一大两个长方形（无对应相等的宽、长）上下叠放，如图所示：，第1页/共20页学科网（北京）股份有限公司 故选：B【点睛】本题考查了三视图的知识，属于简单题，熟知主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．3.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A.1B.5C.7D.9【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系求解即可．【详解】解：由题意，得43−<<+m43，即17<<m，故m的值可选5，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．4.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（）A.7891010410×B.10.410×C.1.0410×D.0.10410×【答案】C【解析】n【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1||10≤<a，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：910400000001.0410=×，故选：C．n【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1||10≤<a，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．225.化简(3a)的结果是（）A.22449aB.6aC.9aD.3a【答案】C【解析】第2页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了积的乘方，应用积的乘方运算法则进行求解即可得出答案．224【详解】解：(39aa)=，故选：C．6.如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是（）A.甲成绩比较稳定，且平均成绩较低B.乙成绩比较稳定，且平均成绩较低C.甲成绩比较稳定，且平均成绩较高D.乙成绩比较稳定，且平均成绩较高【答案】B【解析】【分析】根据折线统计图，可判断甲、乙两人的平均成绩和波动情况，据此可得答案．【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩高于乙的平均成绩；乙的成绩比甲的成绩稳定；故选：B．【点睛】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况，解题关键是准确根据折线统计图判断两人的平均成绩大小和波动情况．7.阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OCOD,，使OC=OD；1②分别以CD,为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；2③作射线OM，连接CMDM,，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A.∠=∠12且CM=DMB.∠=∠13且CM=DM第3页/共20页学科网（北京）股份有限公司 C.∠=∠12且OD=DMD.∠∠23=且OD=DM【答案】A【解析】【分析】由作图过程可得：OD=OCCM,=DM，再结合DM=DM可得COM≌DOM(SSS)，由全等三角形的性质可得∠=∠12即可解答．【详解】解：由作图过程可得：OD=OCCM,=DM，∵DM=DM，∴COM≌DOM(SSS)．∴∠=∠12．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠=∠13不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定OD=DM,故C选项不符合题意，OD∥CM不一定成立，则∠∠23=不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．8.“曹冲称象”是流传很广的故事，参考他的方法：第一步先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；第二步往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；第三步往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，根据以上方法可列出的方程是（）A.20xx+×3120=(201+)+120B.20xx+×3120=(201+)−120C.20xx−×3120=(201+)+120D.20xx−×3120=(201+)−120【答案】A【解析】【分析】设每块条形石的重量是x斤，利用题意找出等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，列出方程即可．【详解】解：设每块条形石的重量是x斤，由题意可得：20xx+×3120=(201+)+120，第4页/共20页学科网（北京）股份有限公司 故选：A．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．k9.在平面直角坐标系中，反比例函数yk=(≠0)的图象如图所示，点AB,不在该反比例函数的图象x上，则k的值可以为（）A.−1B.−2C.−3D.−4【答案】C【解析】【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点AB,的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到k值的取值范围，即可得出结果．【详解】解：由图象可知：A(−2,2)，B(1,2−)，∴−×<<×−22k12()，即：−<4k<−2，∴k的值可以为−3；故选C．10.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计O的面积S，设O的半径为1，则SS−1的值为（）πA.B.π−3C.4−πD.2π−52【答案】B【解析】第5页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据圆的面积公式得到O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S=3，即可得到结论．【详解】解：O的半径为1，∴O的面积=π，360°∴圆的内接正十二边形的中心角为=30°，12∴如图，过点A作AC⊥OB，11∴==ACOA，2211∴圆的内接正十二边形的面积S=×××=1213，122∴−=−SSπ3，1故选：B．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）．11.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作___________．【答案】−5【解析】【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：∵“正”和“负”相对，∴进货10件记作+10，那么出货5件应记作−5．故答案为：−5．【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键．12.四边形的外角和等于_______.【答案】360°．【解析】【详解】解：n（n≥3）边形的外角和都等于360°．第6页/共20页学科网（北京）股份有限公司 13.如图，在Rt△ABC中，∠=ABC90°，∠°BAC=40，D为斜边AC的中点，则∠BDC的度数为______________．【答案】80°##80度【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD=BD，进而得到DBAA40，则由三角形外角的性质可得∠=+=BDC∠A∠DBA80°．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠=ABC90°，D为斜边AC的中点，∴AD=BD，∴DBAA40，∴∠=+=BDC∠A∠DBA80°，故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14.如图，ACBD，是菱形ABCD的对角线，若∠=°120，则∠2的度数为________．【答案】70°##70度【解析】【分析】本题考查菱形性质，三角形内角和定理．根据题意利用菱形性质可知∠=∠1DCA=°20，AC⊥DB，利用三角形内角和即可求得本题答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠=°120∴AC⊥DB，∠=∠1DCA=°20，∴∠=290°−20°=70°，故答案为：70°．12aba−15.已知+=1，且ab≠−，则的值为___________．abab+第7页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【答案】1【解析】12aba−【分析】根据+=1可得b+=2aab，即aba−=+ba，然后将aba−=+ba整体代入计算即abab+可．12【详解】解：∵+=1abba+2∴=1，ab∴b+=2aab，即aba−=+ba．abaab−+∴==1．abab++【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到aba−=+ba是解答本题的关键．216.抛物线y=−++x32mx的对称轴在y轴的右侧，点Amy(,1)和点Bm(+1,y2)在该抛物线上，若yy>>2，则m的取值范围是_______．21【答案】m>1【解析】【分析】本题考查二次函数图像及性质，一元一次不等式求解．根据题意先将对称轴求出，再将点Amy(,1)2和点Bm(+1,y2)代入y=−++x32mx中，并利用题干信息列出一元一次不等式即可得到本题答案．2【详解】解：抛物线y=−++x32mx的对称轴在y轴的右侧，33mm∴x=−=>0，即m>0，−22∵点Amy(,1)和点Bm(+1,y2)在该抛物线上，2∴把点Amy(,1)和点Bm(+1,y2)代入y=−++x32mx中得：222ymm=−+3+=22m+2，122y=−++(m1)3(mm++=1)22m++m1，2∵yy21>>2，22∴2mm++>12m+2，即m>1，∴m的取值范围是：m>1，第8页/共20页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：m>1．三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．017.计算：92−+−1．【答案】3【解析】【分析】根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式=−+311=3．【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．2x+<13,①18.解不等式组：xx13−+≤1.②24【答案】−≤<31x【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．2x+<13,①【详解】解：xx13−+≤1.②24解不等式①，得x<1．解不等式②，得x≥−3．所以原不等式组的解集为−≤<31x．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．19.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF=EC，AB=DE，∠=∠BE．求证：∠AD=∠．【答案】见解析第9页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】先根据BF=EC得出BC=EF，再根据SAS证明△ABC≌△DEF即可得出答案．【详解】证明：∵BF=EC，∴BF+=+FCFCEC，即BC=EF，AB=DE∵在ABC和DEF中∠=∠BE，BC=EF∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠AD=∠．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．2xx+−1120.先化简，再求值：1−÷，其中x=21−．2xxx−12【答案】−，−x+12【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将x=21−代入计算即可解答．2xx+−11【详解】解：1−÷2xxx−2x+−1xx=1−⋅2xx−1xx−+(11)xx(−)=⋅xxx(+−11)()1x=−⋅xx+11=−．x+1当x=21−时，12原式=−=−．211−+2【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．第10页/共20页学科网（北京）股份有限公司 21.如图，ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DFAB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AFCF,．（1）求证：AC=AF；（2）若⊙O的半径为3，∠=CAF30°，求AC的长（结果保留π）．【答案】（1）证明见解析；5π（2）2【解析】【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠=∠BD，等量代换可得∠=AFC∠ACF，即可得出答案；（2）连接AOCO,，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．【小问1详解】证明：∵AD∥BC，DFAB，∴四边形ABED为平行四边形，∴∠=∠BD，∵∠=AFC∠∠=B，ACF∠D，∴∠=AFC∠ACF，∴AC=AF．【小问2详解】解：连接AOCO,，如图，第11页/共20页学科网（北京）股份有限公司 由（1）得∠=AFC∠ACF，180°−30°∵∠=AFC=°75，2∴∠=AOC2∠=°AFC150，150××ππ35∴AC的长l==．1802【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．22.为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由1【答案】（1）4（2）应往袋中加入黄球，见解析【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．【小问1详解】解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，第12页/共20页学科网（北京）股份有限公司 11所以PA()=，所以顾客首次摸球中奖的概率为．44【小问2详解】他应往袋中加入黄球．理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：第二球红黄①黄②黄③新第一球红红，黄①红，黄②红，黄③红，新黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新新新，红新，黄①新，黄②新，黄③共有20种等可能结果．（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率82P==；1205（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率123P==；220523因为<，所以PP12<，所作他应往袋中加入黄球．55【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．23.综合实践活动中，小明想观测底部无法到达的目标P的仰角．他自制一种测角仪，将细线一端固定在图1的量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM（高度为1.5米）、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合，然后按图2所示，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A，B共线，小明通过量角器的刻度直接读取∠BOG的度数α，得到目标P的仰角∠POC的度数．第13页/共20页学科网（北京）股份有限公司 （1）直接用含α的代数式表示∠POC的度数；（2）如图3所示的皮尺，它的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．请你帮助小明利用解直角三角形的知识求某座山峰的高度，写出你的测量步骤及求解过程．要求：测量得到的线段用字母a，b，c…表示，角用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次．【答案】（1）∠POC=90°−α（2）见解析【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，恰当构建直角三角形是解题关键．（1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由；（2）分别用自制测角仪测出两次不同位置山峰的仰角，再测出两次位置的距离，利用解直角三角形的知识即可求出山高．【小问1详解】解：∠POC=90°−α∠=COG90°，∠=°AOB180，∴∠POC+∠GOB=90°，∴∠POC=90°−α；【小问2详解】解：如图所示，F，K，B在同一直线上，AB为山高，EM⊥AB于M，分别在F，K处测出山峰的仰角为α、β；测出EF=1.5、EG=b，AMAMtanα=，tanβ=，EMGM第14页/共20页学科网（北京）股份有限公司 AMAMEM=，GM=，tanαtanβAMAM所以EG=−，tanαβtanAMAM即b=−，tanαβtanb·tan?αβtanAM=，tanβα−tanb·tan?αβtanAB=+1.5．tanβα−tan24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+−x2bx3的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图像上，CD∥x轴，CD=2．（1）求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标：（2）在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与△BCD相似，求点F坐标；（3）点Q是二次函数图像上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若HE=3HQ，求点Q的坐标．2【答案】（1）yx=23−−x；顶点E的坐标为（1，−4）（2）点F的坐标为（1，0）或（−6，0）第15页/共20页学科网（北京）股份有限公司 （3）点Q的坐标为（−2，5），（4，5）【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，根据CD∥x轴，求出点D坐标，代入函数解析式求出b值即可；（2）先求出点A、B的坐标，再分别求出△BCD的三边长，设点F（x，0），再分别讨论当BC、BF、CF分别为△BCF的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于x的方程，解方程即可；22（3）设点Q（x，xx−−23），求出函数对称轴，结合已知以及顶点E的坐标得HE=−−+x234x，HQ=x−1，根据HE=3HQ列方程，解方程即可．【小问1详解】2由题意可知：y=+−xbx3，∴当x=0时，y=3−，即点C的坐标为（0，−3），CD∥x轴，CD=2∴点D的坐标为（2，−3），代入抛物线得：4233+−=−b∴=−b222∴抛物线的解析式为yxx=−−=−−23(x14)∴顶点E的坐标为（1，−4）【小问2详解】22由（1）得yx=23−−x，令y=0，即xx−−=230解得：x1=−1，x2=3∴A（−1，0），B（3，0）∴=BD10，CD=2，BC=32∴设点F（x，0），①当BC为△BCF的最长边时，得BCBFFC==BCCDBD3−x∴=12解得：x=1∴点F（1，0）②当BF为△BCF的最长边时，得第16页/共20页学科网（北京）股份有限公司 BFFCBC==BCBDCDBF32∴=，322∴=BF9∴点F（−6，0）③当CF为△BCF的最长边时，得CFBFBC==BCBDCD解得：x无解，所以这个点F不存在综上所述点F的坐标为（1，0）或（−6，0）【小问3详解】2点Q在函数图像上，则设点Q（x，xx−−23），二次函数对称轴为x=1∴HE=−−+x2234x，HQ=x−1，HE=3HQ2∴xx−−+=−23431x，22∴−+=xx540或xx+−=20解得：x1=1，x2=4或x1=1，x2=−2当x=1时不符合题意，故x=4或x=−2故点Q的坐标为（−2，5），（4，5）【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像的性质，相似三角形的判定，解题关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25.在ABC中，∠=°==ACB90，ACBC4．．将BC绕点B顺时针旋转αα(0°<<180)°得到BD，连接CD，将DC绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接CE．第17页/共20页学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：∠=ACD∠BDE；（2）连接BE，求BE的最小值；（3）当点E落在边AB上时，求α的值．【答案】（1）见解析（2）BE的最小值为424−（3）α=30°【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出BD=BC，∠=CBDα，∠=CDE90°，DC=DE，由等腰三角形的性质可得出答案；（2）连接AD，证明ACD≌BDE(SAS)，得出BE=AD，由勾股定理求出AB的长，则可得出答案；（3）延长ED至点F，使得DF=DE，连接AF，CF，AD，证明ACD≌BDE(SAS)，得出AF=BE，∠=FCA∠=°EBC45，通过证明△ADF是等边三角形，进而可求出∠DAC=∠DAF−∠CAF=15°，即可得出答案．【小问1详解】证明：BC绕点B顺时针旋转αα(0°<<180°)得到BD，∴=BDBC，∠=CBDα，1∴∠BCD=∠BDC=90°−α，20°<<α180°，1∴°0<°90−<°α90，2将DC绕点D逆时针旋转90°得到DE，CDE90，DC=DE，∠=°ACB90，∠=CDE90°，第18页/共20页学科网（北京）股份有限公司 11∴∠=ACD∠−ACB∠=BCDα，∠=BDE∠−CDE∠=BDCα，22∴∠ACD=∠BDE；【小问2详解】如图，连接AD，BC=BD，AC=BC=4，∴==BDAC4，在Rt△ABC中，∠=°ACB90，22∴=ABAC+=BC42，DE=CD，∠=ACD∠BDE，∴ACD≌BDE(SAS)，∴=BEAD，AD≥−=−ABBD424，∴当且仅当点D在线段AB上时，等号成立，此时BE的最小值为424−；【小问3详解】如图，延长ED至点F，使得DF=DE，连接AF，CF，AD，∠=CDE90°，∴CD垂直平分EF，∴=CECF，∠=CED45°，∴∠=CFD∠=CED45°，第19页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ∴∠FCE=90°，∴∠ACB=90°，∴∠FCA=∠ECB，CACB=，∴FCA≌ECB(SAS)，∴=AFBE，∠=FCA∠=°EBC45，∴∠FAB=∠FAC+∠CAB=90°，点D为EF的中点，1∴===ADEFDEDF，2由（2）得△ACD≌△BDE，∴=ADBEDC，=ED，∴===DCADAFDF，∴ADF是等边三角形，∠=DAC∠DCA，∴∠DAF=60°∴∠DAC=∠DAF−∠CAF=15°，∴∠DCA=∠DAC=15°1即α=15°2∴=°α30．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司