2024.2福州延安中学初三（下）数学开学考试卷（解析版）

福州延安中学2023－2024学年第二学期初三二月质量检测数学（满分150分，完卷时间120分钟）一、选择题．（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）1.实数−5的相反数是（）11A.5B.−5C.D.−55【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．【详解】−5的相反数是5．故选：A．2.下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义直接判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选不项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）第1页/共27页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，根据立体图形，从左面看可得到该几何体的左视图，运用空间想象能力准确得到左视图是解题的关键．【详解】解：左视图即从左面看该立体图形，当从左面看时，最下面一层有两个小正方体，上面有一个小正方体，而且上面的小正方体是靠左侧，只有选项B符合题意，故选：B．4.中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（）A.41313810.610×B.1.0610×C.10.610×D.1.0610×【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：10.6万亿=10600000000000=1.06×1013．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.下列事件中，不是随机事件的是（）A.射击运动员射击一次，命中靶心B.打开电视机，它正在播广告C.购买一张彩票，中奖D.从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球【答案】D【解析】【分析】本题考查了随机事件的定义，随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义可以作出判断，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事第2页/共27页学科网（北京）股份有限公司 件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件:随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故不符合题意；B、打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故不符合题意；C、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故不符合题意；D、从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球，是不可能事件，故符合题意；故选：D．6.下列运算正确的是（）3A.4312632−=3xx26−27D.235xxx⋅=B.xxx÷=C.()xxx+=【答案】C【解析】【分析】本题考查幂的运算，熟记同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘法则判断选项A；根据同底数幂相除法则判断选项B；根据积的乘方法则判断选项C；根据合并同类项法则判断选项D．437【详解】解：A.xxx⋅=，错误，该选项不符合题意；B.633xxx÷=，错误，该选项不符合题意；326C.(−=3xx)−27，正确，该选项符合题意；D.23x和x不是同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意；故选：C．7.某校九年级有11名同学参加“庆祝二十大”党知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（）A.中位数B.众数C.平均数D.方差【答案】A【解析】【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于总共有11个人，且他们的成绩互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道自己的成绩和中位数．故选：A．第3页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了中位数的意义，理解中位数反映了数据的中间水平是解答本题的关键．a−28.已知反比例函数y=，当x<0时，y随x增大而增大，则a的值可能是（）xA.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】a−2【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数y=，当x<0时，y随x增大而增大，得x出a−<20，进而得出a的取值范围，即可得出答案，解题时注意，当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x增大而增大．a−2【详解】解：反比例函数y=，当x<0时，y随x增大而增大，x∴−<a20，解得：a<2，∴a的值可能是1，故选：A．9.如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作扇形，使点E刚好落到半圆上，且ADE,,三点共线，若AB=+842，则阴影部分的面积为（）A.11πB.10πC.9πD.8π【答案】B【解析】【分析】如图，连接AE，OE，则∠ACD=90°，AC=CD=DE，可得∠=DAC∠=ADC45°，1∠=°CDE135，由圆周角定理可得∠=BOE2∠=°BAE90，则OE=OA=AB，由勾股定理得，2AE=2OA，设AC=CD=DE=x，由勾股定理得，AD=2x，则AD+=DE2x+=x424+，可得x=4，根据SS阴影=扇形ACD+S扇形CDE，计算求解即可．【详解】解：如图，连接AE，OE，第4页/共27页学科网（北京）股份有限公司 由题意知，∠ACD=90°，AC=CD=DE，∴∠=DAC∠=ADC45°，∴∠=°CDE180−∠=°ADC135，∵BE=BE，∴∠=BOE2∠=°BAE90，1∴OE=OA=AB=+422，2由勾股定理得，AE=2OA=424+，设AC=CD=DE=x，由勾股定理得，AD=2x，∴AD+=DE2x+=x424+，解得，x=4，2290××ππ4135××4∴SS=+=S+=10π，阴影扇形ACD扇形CDE360360故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，扇形面积．熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，扇形面积是解题的关键．210.点Px(1，3)和点Qx(2，3)在二次函数yxx=+−24的图象上，且xx12<，PQ=2a，则2axx−−8的值为（）122A.6B.4C.3D.2【答案】C【解析】2【分析】本题考查了二次函数的性质，令y=3，则xx+−=243，求出x1=−−221，x=221−，从而得出PQ=42，进而得出a=4，代入进行计算即可得出答案，熟练掌握二次函数2的性质是解此题的关键．第5页/共27页学科网（北京）股份有限公司 2【详解】解：令y=3，则xx+−=243，解得：x=−−221，x=221−，12∴PQ=221−−−(22142−=)，PQ=2a，∴=a4，2a24∴−xx12−=−8(221−−×)(221894242283−+=+)−+−=，22故选：C．二、填空题．（本题共6小题，每小题4分，共24分）11.二次根式x−3中，x的取值范围是___．【答案】x≥3【解析】【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，即可．【详解】解：根据题意得∶x−≥30，∴x≥3．故答案为：x≥3．12.分解因式：2xx−=2024_______．【答案】xx(−2024)【解析】【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据式子的特点将公因数提取出来即可得到结果，用适当的方法分解因式是解题的关键．2【详解】解：xx−2024式子中含有公因数x，2∴x−=−2024xxx(2024)，故答案为：xx(−2024)．13.有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是_______．1【答案】18【解析】第6页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了列举法求概率．正确的列表格是解题的关键．根据题意列表格，然后求概率即可．【详解】解：由题意列表格如下：1234561(11，)(12，)(13，)(14，)(15，)(16，)2(21，)(22，)(23，)(24，)(25，)(26，)3(31，)(32，)(33，)(34，)(35，)(36，)4(41，)(42，)(43，)(44，)(45，)(46，)5(51，)(52，)(53，)(54，)(55，)(56，)6(61，)(62，)(63，)(64，)(65，)(66，)由表格可知，共有36种等可能的结果，其中两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3共有2种等可能的结果，21∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率为=，36181故答案为：．1814.如图，菱形ABCD的对角线ACBD，相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则菱形ABCD的周长是_______．【答案】48【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，中位线．熟练掌握菱形的性质，中位线是解题的关键．由题意可得OE是ABC的中位线，则BC=2OE=12，根据菱形ABCD的周长为4BC，计算求解即第7页/共27页学科网（北京）股份有限公司 可．【详解】解：∵菱形ABCD，点O为对角线AC的中点，又∵点E是边AB的中点，∴OE是ABC的中位线，∴BC=2OE=12，∴菱形ABCD的周长为4BC=48，故答案为：48．xxy−15.已知非零实数x，y满足y=，则的值是_______．x+1xy【答案】1【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．x由y=，可得x−=yxy，然后整体代入，计算求解即可．x+1x【详解】解：∵y=，x+1∴xy+=yx，即x−=yxy，x−yxy∴==1，xyxy故答案为：1．16.如图，在Rt△ABC中，∠=°ACB90，BC=1，AC=3，将线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，连接BD交AC于点E．过点C作CF⊥AD于点F，CF交AB于点G．给出下列四个结论：3AD5①CF=，②CE=CG，③=，④DE=3BE．2AF2其中正确的结论是_______．（请写出所有正确结论的序号）第8页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【答案】①②④【解析】【分析】先由∠=°ACB90，BC=1，AC=3，得出∠BAC=30°=，∠ABC60°，结合线段AB绕点3A顺时针旋转150°得到AD，得∠=°FAB30，即在RtACF中，∠=°FAC60，得出CF=；由于旋2转，得AD=∠=AB，ABD15°，则∠EBC=45°=∠CEB，得CE=BC，因为∠=BGC∠=°ABC60，13AD5证明BCG是等边三角形，则CE=CG；易得AF=AC=，AD=AB=2，所以≠；通过等22AF211面积法ABBH×=×BDAM求出AM的值，再通过等角对等边，得ME=AM，即可作答．22【详解】解：∵∠=°ACB90，BC=1，AC=3，BC13∴tan∠===BACAC33∴∠BAC=30°=，∠ABC60°∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，∴∠FAB=180°−150°=30°则∠=°FAC60∵CF⊥ADCFAF3∴sin∠===FACAC323则CF=，2故①是正确；∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，180°−150°∴AD=∠=AB，ABD=15°，2则∠EBC=60°−°=1545°∵∠=°ACB90∴∠CEB=45°=∠EBC，则CE=BC，∵∠FAB=180°−150°=30°∴∠=BGC∠=°ABC60，∴BCG是等边三角形，第9页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴CG=BC则CE=CG故②是正确的；∵∠=°FAC60∴∠=ACF30°13∴AF=AC=，22∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，∴AD=AB=+=312，AD24435===≠∴AF3332；2故③是错误的；过点B作BH垂直于直线DF，过点A作AM⊥BD，如图：∵∠=CAF30°=，AB21∴在Rt△ABH中，BH=AB=1，2∵∠=°=CBE45，CB1第10页/共27页学科网（北京）股份有限公司 BC12∴cos∠===CBEBEBE2解得BE=2；∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，∴AD=AB=+=312∵AM⊥BD1∴DM=MB=BD211∵S=×=×ADBHBDAMABD22∴ADBH×=×BDAM即212×=×=BMAM2(AM+×=BE)AM2(AM+×2)AM则2AM+2AM−=10−+26解得AM=（负值已舍去）2−+26则ME=AM=2−+2626+∴DM==BM+=2222626+−+则DE=+=622∴DE=3BE故④是正确的．故答案为：①②④【点睛】本题考查了直角三角形的性质、解直角三角形、旋转性质、等边对等角：综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）x−3217.先化简，再求值：−，其中x=31+．2xx−+1113【答案】−，−x−13第11页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分式的化简求值，分母有理化是解题的关键．通分可得化简结果，最后代值求解即可．x−32【详解】解：−2xx−+11(xx−−−321)()=(xx−+11)()−−x1=(xx+−11)()1=−，x−113当x=31+时，原式=−=−．311+−318.如图，▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF；求证：AE＝CF．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件利用AAS来判定△CDF≌△ABE，从而得出AE=CF．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵BE∥DF，∴∠CFD=∠AEB，在△CDF和△ABE中，∠=ACD∠CAB∠=CFD∠AEBAB=CD∴△CDF≌△ABE（AAS），∴AE=CF．第12页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】此题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．19.在Rt△ABC中，∠=°ACB90，AC>BC．（1）在AC上求作点D，使得∠=DBA∠A．AD（2）在（1）的条件下，若∠=BDC∠ABC，求的值．CD【答案】（1）作图见解析（2）2【解析】【分析】本题考查作一个角等于已知角，解直角三角形，三角形外角的性质等：（1）根据“作一个角等于已知角”的方法作图即可；（2）令∠DBA=∠=Aα，则AD=BD，∠=BDC∠=ABC2α，结合∠ABC+∠=A90°可得α=30°，CD1∠=BDC60°，根据cos∠==BDC，可得BD=2CD，进而可得AD=2CD，即可求解．BD2【小问1详解】解：如图所示：点D即为所求．【小问2详解】解：设∠=Aα，∵∠DBA=∠=Aα，第13页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴AD=BD，∠BDC=∠DBA+∠=A2α，∵∠=BDC∠ABC，∴∠=ABC2α，∵∠=°ACB90，∴∠ABC+∠=A90°，即2αα+=°90，解得α=30°，∴∠=BDC60°，CD1∴cos∠==BDC，BD2∴BD=2CD，∴AD=2CD，AD∴=2．CD20.某校开展了“文明城市”活动周，活动周设置了A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，D主题对应扇形的圆心角为______度；（3）若该校共有3600名学生，试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数．【答案】（1）见解析（2）54（3）1080人【解析】【分析】本题考查了画条形统计图，求扇形的圆心角度数，用样本所占百分比估计总体数量，根据样本的频数估计总体的频数，熟练掌握知识点是解题的关键．第14页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （1）先求出总人数，再求出C的人数，即可补全条形统计图；（2）用D的人数除以总人数，再乘以360度求解即可；（3）用B的人数除以总人数，再乘以3600求解即可．【小问1详解】总人数为1525%÷=60人，C的人数为601518918−−−=人，补全条形统计图如下：【小问2详解】9×360°=54°，60故答案为：54；【小问3详解】183600×=1080（人），60答：该校参与“生态环境”主题的学生人数1080人．21.某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：线下线上规格单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）A300026020B360030030（1）如果在线下购买A，B两种书架共20个，花费6540元，求A，B两种书架各购买了多少个；（2）如果在线上购买A，B两种书架共20个，且购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍，请设计出第15页/共27页学科网（北京）股份有限公司 花费最少的购买方案．【答案】（1）购买A种书架11个，B种书架9个．（2）花费最少的购买方案是A种规格书架5个，B种规格书架15个，花费为6350元．【解析】【分析】（1）本题考查一元一次方程解决实际应用题，设购买A种书架x个，则购买B种书架(20−x)个，根据费用列式求解即可得到答案；（2）本题考查一次函数的实际应用，根据题意表示出费用与x的函数关系式，再根据函数的性质求解即可得到答案；【小问1详解】解：设购买A种书架x个，则购买B种书架(20−x)个，由题意可得，300xx+36020(−=)6540，解得：x=11，20119−=（个），答：购买A种书架11个，B种书架9个；【小问2详解】解：设购买A种书架m个，所需总费用为w元，由题意可得，w=+(26020)m++(3003020)(−=mm)−+506600，又由20−≥mm3，得m≤5，∵−<500，∴w的值随着m值的增大而减小，又∵m为整数，∴当m=5时w最小，∴wmin=−×+5056600=6350，此时：20515−=（个），答：花费最少的购买方案是A种规格书架5个，B种规格书架15个，花费为6350元．22.如图，已知AB是O的直径，C为O上一点，∠OCB的角平分线交O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接ADBD，．第16页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：DF是O的切线；1（2）若sinA=，O的半径为4，求BF的长．2【答案】（1）证明详见解析（2）BF=4【解析】【分析】本题考查了证明直线是圆的切线、等腰三角形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）连接OD，由等边对等角得出∠=OCD∠ODC，由角平分线的定义得出∠=OCD∠BCD，进而得出∠=ODC∠BCD，推出OD∥BC，由平行线的性质可得∠=ODF∠=CEF90°，即可得证；（2）证明OBD为等边三角形，得出∠=°F30，由含30°角的直角三角形的性质得出OF的长，即可得解．【小问1详解】证明：如图所示，连接OD，，∵DF⊥BC，∴∠CEF=90°，∵OD=OC，∴∠=OCD∠ODC，CD平分∠OCB，∴∠=OCD∠BCD，∴∠=ODC∠BCD，∴OD∥BC，∴∠=ODF∠=CEF90°，第17页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴OD⊥DF，OD是半径，∴DF是O的切线；【小问2详解】解：AB是O的直径，∴∠=°ADB90，O的半径为4，∴=AB8，1∵sinA=，2∴∠=°A30，∴∠=°ABD60，∵OB=OD=4，∴OBD为等边三角形，∴∠=DOF60°，∴∠=°F30，∴OF=28OD=，∴BF=−=−=OFOB844．23.根据以下素材，探索解决问题．测量旗杆的高度可以利用影子测量旗杆的高度．如右图，说明：小陈同学光线CN∥AM，素材1AB、旗杆CD与DN，BM分别是旗标杆PQ均垂直于杆和小陈同学在同一地面，小陈同学的时刻的影子．眼睛G离地面的可以利用镜子测量旗距离杆的高度．如右图，GB=1.6m．素材2小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的第18页/共27页学科网（北京）股份有限公司 顶端C，测得BE=2.5m．可以利用标杆测量旗杆的高度．如右图，点G，P，C在同一直线上，标杆素材3PQ=3m，测得BQ=3.5m，QD=14m．问题解决任务1分析测量原理利用素材1说明ABM∽CDN的理由．在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把任务2完善测量数据该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度．任务3推理计算高度利用素材3求出旗杆的高度．16【答案】任务1：见解析；任务2：还需要测出DE的长，CD=a；任务3：8.6m．25【解析】【分析】任务1，根据两角相等的两个三角形相似可证明；CDDECDa任务2，还需要测出DE的长，令DE=a，证明BEG∽DEC，得=即=，从而即BGBE1.62.5可得解；任务3，过G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，进而得GN==+=BD3.51417.5m，DN=MQ=BG=1.6m，GM=BQ=3.5m，证PGM∽CGN，第19页/共27页学科网（北京）股份有限公司 CNGNCN17.5得=即=，求解即可得解．PMGM1.43.5【详解】任务1：证明：∵AB⊥MD，CD⊥MD，∴∠=ABM∠=CDN90°，∵AM∥CN，∴∠=AMB∠CND，∴ABM∽CDN任务2：还需要测出DE的长，令DE=a，∵BG⊥BD，CD⊥BD，∴∠∠GBE=CDE=90°，∵∠=BEG∠DEC，∴BEG∽DEC，CDDECDa∴=即=，BGBE1.62.516∴CD=a；25任务3：过G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，∴GN==+=BD3.51417.5m，DN=MQ=BG=1.6m，GM=BQ=3.5m∴PM=−=−=PQMQ31.61.4m，∵PQ⊥BD，CD⊥BD，∴PQ∥CD，∴∠∠PMG=CNG，∵∠∠PGM=CGN，∴PGM∽CGN，第20页/共27页学科网（北京）股份有限公司 CNGNCN17.5∴=即=，PMGM1.43.5解得CN=7m，∴CD=+CNDN=+=1.678.6m．【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．1224.抛物线y=−++xbx2与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，且OB=2OC．2（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限的抛物线上，且∠=PAB∠CBO，求点P的坐标；1（3）若点D在x轴正半轴上且OD=AB，经过点D的直线MN交抛物线于点M，N（M在第一象限，5N在第三象限），且满足BN∥AM，求MN的解析式．132【答案】（1）yxx=−++2；22（2）(5,3−)（3）yx=−1【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；132（2）连接BCAP,，过点P作PE⊥AB于点E，先求出点A的坐标，设Pt,2−++tt，根据221tan∠=∠=PABtanCBO建立方程，求解即可；2（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，通过证明△MAD∽△NBD，利用相似三角形的MDAD2DSMD2性质得出==，进而证明△MDS∽△NDT，得出==，设直线AM的表达式为NDBD3DTND3第21页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ykx=(+1)，可得点M(3,2)，设直线MN的表达式为y=mxn+，求解即可．【小问1详解】12∵抛物线y=−++xbx2与y轴交于点C，2∴当x=0时，y=2．即点C(0,2)，12∵抛物线y=−++xbx2与x轴交于点A，B（A在B左边），且OB=2OC，2∴OB=24OC=，即B(4,0)，123∴0=−×++442b，解得b=，22132∴yxx=−++2；22【小问2详解】连接BCAP,，过点P作PE⊥AB于点E．132∵抛物线yxx=−++2与x轴交于点A，B（A在B左边）22132∴当y=0时，−xx++=20．22解得xx12=−=1,4，即点A(−1,0)，OC1在RtBOC中，tan∠==CBO，OB2∵∠=PAB∠CBO，1∴tan∠=∠=PABtanCBO，2第22页/共27页学科网（北京）股份有限公司 132设Pt,2−++tt，22132∴PE=−−tt2，AE=+t1，22132tt−−2∴221，解得tt12=5,=−1，=t+12132∴当t1=5时，−×+×+=−5523，即点P(5,3−)．22【小问3详解】过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，∵A(−1,0)，B(4,0)，∴AB=5，1∵OD=AB，5∴OD=1，∴点D(1,0)，∴AD=2,BD=3，∵AM∥BN，∴∠=MAD∠NBD，∠=AMD∠BND，∴△MAD∽△NBD，MDAD2∴==，NDBD3∵点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，∴∠=MSD∠=°NTD90，∵∠=MDS∠NDT，∴△MDS∽△NDT，第23页/共27页学科网（北京）股份有限公司 DSMD2xxMD−2∴==，=，DTND3xxDN−3∵A(−1,0)，∴可设直线AM的表达式为ykx=(+1)．132yxx=−++2132∴联立22得xk+−xk+−=20，ykx=(+1)22∴xxAM+=−+23k，∴xkM=−+24，同理可得：xkN=−−21，−+−2412k1∴=，解得k=，1213−−−(k)211∴x=−×+=243，∴y=×−=(312)，MM22∴点M(3,2)，∵D(1,0)，可设直线MN的表达式为y=mxn+，23=mn+m=1∴，解得，0=mn+n=−1∴直线MN表达式为yx=−1．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．25.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=°∠=°90，C30，AB=2，点D是线段BC上一动点，连接DA，将DA绕点D逆时针旋转90°，得到DE．第24页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （1）如图1，若B，E，C三点共线时，求CE的长；SADF（2）如图2，若∠=°ADB45，DE交AC于点F，求；SAEF（3）如图3，连接CE，请直接写出CE的最小值．【答案】（1）CE=−33S31−△ADF（2）=S2△AEF32−6（3）CE的最小值是2【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知，∠=ADE90°=，DEDA，由题意知，∠=ADC∠=°ADB90，则BC=2AB=∠=°4，B60，AD=⋅°ABsin60，BD=⋅°ABcos60，AE=2DE，根据CE=−−BCDEBD，计算求解即可；（2）同理（1）可得CD=3−=3,AD6，ADE为等腰直角三角形，∠E=45°，AE=2AD=23，1⋅⋅DFADDFCD31−SADF2DF证明△CFD∽△AFE，可得==，根据==，求解作答即可；EFAE2SAEF1⋅⋅EFADEF2（3）如图（3），作AD′⊥BC于D，在BC上取点E′使DE′′=AD′，连接EE′，过C作CM⊥EE′于M，证明EAE′′∽DAD，则∠=AEE′∠=ADD′90°，∠=EEB′′∠−AEE∠=AED′′45°，点E在过点E′与BC夹角为45°的直线上运动，CE的最小值为CM，然后计算求解即可．【小问1详解】解：由旋转的性质可知，∠=ADE90°=，DEDA，∵B，E，C三点共线，第25页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴∠=ADC∠=°ADB90，∵∠BAC=°∠=°90，C30，AB=2，∴BC=2AB=∠=°4，B60，31∴AD=⋅°×ABsin60=2=3，BD=AB⋅cos60°=×=21，22∴DE=326，AE=DE=，∴CE=BC−DE−BD=−−=−43133，∴CE的长为33−．【小问2详解】解：同理（1）可得：CD=3−=3,AD6，∵∠=ADE90°=，DEDA，∴ADE为等腰直角三角形，∠E=45°，AE=2AD=23，∵∠ADE=°∠90，ADB=°45，∴∠=CDF45°，∴∠=CDF∠E，又∵∠=CFD∠AFE，∴△CFD∽△AFE，DFCD33−−31∴===，EFAE2321⋅⋅DFADS2DF31−△ADF∴===，S1EF2△AEF⋅⋅EFAD2S31−△ADF∴=．S2△AEF【小问3详解】解：如图（3），作AD′⊥BC于D，在BC上取点E′使DE′′=AD′，连接EE′，过C作CM⊥EE′于M，第26页/共27页学科网（北京）股份有限公司 由（1）可知，CE′=−33，由题意知，ADEADE，′′均为等腰直角三角形，∴∠=EAD∠=EAD′′∠=AED′′45°，AE=2AD，AE′=2AD′，∴∠=EAE′′∠DAD，AE′AE∵=2=，∠=EAE′′∠DAD，AD′AD∴EAE′′∽DAD，∴∠=AEE′∠=ADD′90°，∴∠=EEB′′∠−AEE∠=AED′′45°，∴点E在过点E′与BC夹角为45°的直线上运动，∴CE的最小值为CM，∠=CEM′45°，32−6∴CM=⋅∠CE′′sinCEM=，232−6∴CE的最小值为．2【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正弦，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握旋转的性质，含30°的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正弦，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．第27页/共27页学科网（北京）股份有限公司