上海市延安中学2022-2023学年高三数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

延安中学高三开学考数学试卷一．填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则________．【答案】【解析】【分析】根据交集的定义求解即可．【详解】因为，，所以．故答案为：．2.设复数满足（虚数单位），则__________．【答案】【解析】详解】,,故答案为：i3.已知抛物线的准线方程为，则其标准方程为________．【答案】【解析】【分析】根据准线方程可得焦点，即可得标准方程.【详解】由准线方程为可知焦点坐标为，所以抛物线标准方程为，故答案为：4.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是________．【答案】90.5【解析】 【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.【详解】因为，故这15人成绩的第80百分位数为，故答案为：90.55.不等式的解集是________．【答案】或}【解析】【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可【详解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.故答案为：或}6.将4名教师分到3所学校支教，每所学校至少1名教师，则有________种不同分派方法．【答案】36【解析】【分析】先将4名教师分成三组，然后再将三组人分配到三所学校即可.【详解】先将4名教师分成1,1,2的三组，则有种方法，然后将三组人分配到3所学校，则有种方法，所以总的有种方法.故答案为：36.7.已知，其中、、、…、是常数，则的值为________．【答案】1【解析】【分析】利用赋值法得到，，从而利用平方差公式即可得解. 【详解】因为，令，得，令，得，所以.故答案为：1.8.假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是0.92、0.95、0.94．则该部件的总体良品率是________．【答案】【解析】【分析】利用全概率公式求解.【详解】根据全概率公式任取一个部件它是良品的概率.故答案为：9.函数在区间上的极大值是________．【答案】或【解析】【分析】分别在和的情况下，化简函数解析式，根据正弦函数单调性可确定函数的单调性，由极大值定义可得结果.【详解】当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，函数的极大值为； 当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，函数的极大值为；综上所述：在上的极大值为或.故答案为：或.10.如图，在中，，．若为的外心，则的值为______．【答案】8【解析】【详解】设为边的中点，联结、．则．于是故答案为811.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调 可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12，ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立，ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.故答案为：912.若数列满足，则称该数列为“切线-零点数列”，已知函数有两个零点1、2，数列为“切线-零点数列”，设数列满足，，，数列的前项和为，则________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的零点可求得的值，求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得.【详解】因为有两个零点1、2，由韦达定理可得，解得，所以，，由题意可得， 所以，又因为，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，故答案为：【点睛】本题的关键点在于由得到，再证明数列是首项为2，公比为2的等比数列.二．选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）A.是对立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件【答案】D【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可判断.【详解】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选：D.14.已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（）A.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B.当曲线表示双曲线时，的取值范围是C.当时，曲线表示一条直线D.存在，使得曲线为等轴双曲线【答案】A【解析】 【分析】根据二元二次方程表示椭圆、双曲线的基本要求依次判断ABD选项即可；由时，曲线的方程可知C错误.【详解】对于A，当时，，，，表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确；对于B，若曲线表示双曲线，则，解得：或，即实数的取值范围为，B错误；对于C，当时，曲线，即，即曲线表示两条直线，C错误；对于D，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，D错误.故选：A.15.在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，，可得，利用线线角的向量求法可求得结果.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，，，，，设，，即，，；对于A，不是定值，A错误；对于B，不是定值，B错误；对于C，，直线与所成角为定值，C正确；对于D，不是定值，D错误.故选：C.16.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（）A.B.1C.eD.【答案】B 【解析】【分析】设出切点，求出，，根据斜率列出方程，得到，，构造，利用函数单调性和图象特征，求出，从而求出答案.【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则，且，所以，，且，所以，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，所以当时，，因为，，即，所以，所以，故故选：B【点睛】对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.三．解答题（本大题共5题，满分76分）17.在直四棱柱中，，，，． （1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出；（2）利用等体积法，由图可知：，根据三棱锥体积公式即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，该几何体为直四棱柱，平面ABCD，，，，，∴四边形ABCD为正方形，，，，，，，平面 平面【小问2详解】（2）等体积法由图可得：由（1）中证明知：平面，，又18.△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．【答案】(1)；(2).【解析】【详解】（Ⅰ）由已知，·由余弦定理得，∴，∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，.．∵，∴，∴当，取最大值，解得．19.某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额． （1）若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；（2）公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．【答案】（1）员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等（2）应选择第二种方案；理由见解析【解析】【分析】(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.【小问1详解】用X表示员工所获得的奖励额．因为，，所以，故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．【小问2详解】第一种方案为，设员工所获得的奖励额为，则的分布列为40120200P所以的数学期望为，的方差为；第二种方案为，设员工所获得的奖励额为，则的分布列为 80120160P所以数学期望为，的方差为，又因（元），所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应选择第二种方案．20.在以为圆心，6为半径的圆A内有一点，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP交于点M．（1）判断点M轨迹是什么曲线，并求其方程；（2）记点M的轨迹为曲线，过点B的直线与曲线交于C、D两点，求的最大值；（3）在圆上的任取一点Q，作曲线的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程．【答案】（1）（2）（3）与垂直,证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件及线段的垂直平分线定理，利用圆的半径及椭圆的定义，结合椭圆中三者的关系即可求解；（2）根据已知条件及直线的点斜式方程设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及点在直线上，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；（3）根据已知条件及直线的点斜式方程设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用直线与椭圆相切的条件，结合两直线垂直的条件即可求解；【小问1详解】由题意可知,因为线段的垂直平分线和半径交于点， 所以,所以,由椭圆的定义知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，由，得，又，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，则，,所以，此时，当直线斜率存在时，设直线的方程为，则，消去，得，所以，设，,则，所以，综上，的最大值为.【小问3详解】与垂直,证明如下：设，则，①当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与轴垂直时，切线方程为， 即，得，所以另一条切线方程为，即与轴平行，所以两切线垂直.当斜率存在时，，设切线方程为，则，消，得，由于直线与椭圆相切，得，化简得，因为，所以，即两条切线相互垂直，综上，过点作的两条切线与垂直.21.已知函数，函数是区间上的减函数.(1)求的最大值；(2)若在上恒成立，求的取值范围；(3)讨论关于的方程的根的个数.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【详解】【试题分析】（1）运用导数与函数的单调性之间的关系，将问题单调性问题进行等价转化为不等式恒成立问题进行求解；（2）先求函数再构造函数进行求解；（3）先构造函数，再将问题　转化为求函数的最大值与函数的最小值，借助题设条件建立不等式进行分析求解：解：(1)又在上单调递减在恒成立故的最大值为(2) 只需在上恒成立，令，则需又恒成立所以(3)令，所以当时，，单调递增；当时，，即单调递减.所以又当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解.