上海市杨浦高级中学2022-2023学年高一数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

杨浦高级中学2023学年第二学期高一年级数学开学考2023.3一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1已知成等比数列，则等比中项__________.【答案】【解析】【分析】根据等比中项得到，解得答案.【详解】已知成等比数列，则，.故答案为：2.函数的值域为__________.（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】，则，得到的值域.【详解】，则，故值域为.故答案为：3.已知等差数列的前项和为，如果，则公差__________.【答案】【解析】【分析】由等差数列的求和公式可得出关于公差的等式，解之即可.【详解】根据题意，由等差数列的求和公式，可得， 所以，解得.故答案为：.4.已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长表示为底边长的函数，则该函数为__________.（要求：写出解析式和自变量的取值范围）【答案】【解析】【分析】根据题意，，得到函数关系式.【详解】根据题意：，，故，则函数为.故答案为：5.已知等比数列的前项和为，若，则__________.【答案】1【解析】【分析】由等比数列求和公式得出，再求极限.【详解】由题意可知，，.故答案为：16.利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间__________内有零点.【答案】【解析】 【分析】利用二分法的定义即可求解.【详解】由题意可知，取区间中点，，，所以，所以第二次操作后确认在区间内有零点.故答案为：.7.已知函数是在定义域上严格增的奇函数，若，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据定义域、奇偶性和单调性得到，解不等式组即可得到a的取值范围.【详解】函数是在定义域上严格增奇函数，，即，所以，解得.故答案为：8.等差数列的前项和为，若，则当取到最大值时__________.【答案】【解析】【分析】由得出，再由求和公式结合二次函数的性质求解即可.【详解】由，解得. 即.因为函数的对称轴为.故当时，取到最大值.故答案为：9.已知函数,若,则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】分，和三种情况进行讨论，在计算过程中可通过去掉绝对值进行运算，即可得到答案【详解】当时，由，得，即，因为当时，，所以，则在上恒成立，当，由于指数函数的增长速率远远比一次函数要快，所以易得在上不恒成立，舍去，当，，故在上恒成立；当时，恒成立；当时，由，得，即，化简得，即，而，故，综上可得，故答案为：.10.已知数列满足：，，若，则__________. 【答案】【解析】【分析】根据数列的递推公式，分析可知，当为偶数时，，当为奇数时，，则为偶数，由往回推，然后根据以及的递推公式逐项递推可得出的值.【详解】由题设知，，又因为，且当为偶数时，，当为奇数时，，因为，所以，为偶数，由往回推可得，即.因此，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据数列的递推公式进行逆向推导，确定数列的值取目标值时的推导过程，然后逐项推导可得的值.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号后填写或填涂代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.若表示不大于的最大整数，则函数的零点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.无数个【答案】D【解析】【分析】取，，，此时，得到答案.详解】取，，则，此时， 即函数的零点是，，有无数个.故选：D12.用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取和带入左式相减得到答案.【详解】等式左边需增加的代数式是：.故选：A13.已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（）A.定义在上的严格增函数B.定义在上的严格减函数C.定义在上的严格增函数D.定义在上的严格减函数【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，利用函数与其反函数单调性相同可得出结论.【详解】因为是定义在上的严格减函数，若，，则当时，，因为函数在定义域上的单调性与其反函数在定义域上的单调性相同，故函数是定义在上的严格减函数.故选：B. 14.定义在正整数集上的函数，其最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算出的解析式中绝对值的个数，利用倒序相加法可知在中，最中间的两项为和，利用绝对值三角不等式可知，当时，取最小值，然后计算出即可.【详解】因为函数的解析式中绝对值的个数为，设，则，当且仅当时，等号成立，，①，②①②可得，因为，，所以，在中，最中间的两项为和，所以，由绝对值三角不等式可得当且仅当时，等号成立，所以，.故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将绝对值两两配对，确定最中间两项，结合绝对值三角不等式求解. 三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数，.（1）请用分段表示法把该函数写为的形式；（2）画出的大致图象并写出的单调区间.【答案】（1）（2）作图见解析，函数的增区间为，减区间为【解析】【分析】（1）分、两种情况化简函数的解析式即可；（2）根据（1）中函数的解析式可作出函数的图象，利用函数的图象可写出函数的增区间和减区间.【小问1详解】解：当时，，当时，，所以，.【小问2详解】解：作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数的增区间为，减区间为.16.已知数列满足：. （1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式及其前项和的表达式.【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；（2）由（1）得出数列的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算.【小问1详解】由题意可知，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）可知，，即前项和.17.已知，函数，.（1）判断的奇偶性，并证明你的判断；（2）当时，判断在区间上的单调性并证明你的判定.【答案】（1）当时为奇函数；当时为非奇非偶函数；证明见解析；（2）严格增函数，证明见解析；【解析】【分析】（1）判断出当时为奇函数；当时 为非奇非偶函数，然后利用函数奇偶性的定义可证得结论成立；（2）判断出当时，在区间上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解并判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论.【小问1详解】解：当时为奇函数；当时为非奇非偶函数，证明如下：当时，，，，此时函数为奇函数；当时，，，对任意的，，则，，此时函数为非奇非偶函数.综上所述，当时为奇函数；当时为非奇非偶函数，【小问2详解】解：当时，在区间上为增函数，证明如下：任取、且，，因为，，则，，所以，，所以，，则，即，所以，当时，函数在上为增函数.18.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作． （1）令，，求的取值范围；（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【答案】（1）；（2）答案见解析，【解析】【分析】（1）当时，得到；当时，，利用对勾函数性质可求得，取并集得到结果；（2）由（1）可将化为，得到的单调性后，可知最大值在或处取得；分别在和两种情况下确定的最大值，即，由得到不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）当时，当时，（当且仅当，即时取等号），又时，综上所述：（2）由（1）知：令，则，当时， 当时，单调递减；时，单调递增又，①当时，由得：②当时，由得：综上所述：当时，综合污染指数不超标【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为.（1）若，求数列的通项公式；（2）若，求的值；（3）是否存在实数和，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有实数和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）-2021；（3）存在，或；【解析】【分析】（1）确定是等差数列，得到，，再求出通项公式；（2）求出，确定，，计算得到答案；（3）根据条件，可得，考虑，， 分别为等差中项三种情况，计算得到答案.【小问1详解】，即，所以是等差数列，又，公差，所以；【小问2详解】当时，，即，所以，所以，又，所以，所以.【小问3详解】数列是等比数列，则公比，若为等差中项，则，，即，解得（舍去）；若为等差中项，则，，即，解得（舍去），此时；若为等差中项，则，，即，解得（舍去），此时，综上所述，或.