深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

深大实验2023—2024学年第一学期高一期末考试（数学）试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．“sinx=1”是“cosx=0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2x2．函数fx()=的图象大致是（）2x+1A．B．C．D．3．已知lg2=a，lg3=b，则log18=（）30ab+2ab+2ab−2ab−2A．B．C．D．b−1b+1b−1b+1x−124．已知集合A=xy=，B={xy=lg(x−2x)}，则AB=（）x−3A．(1,2)B．(0,3)C．(−∞,1)(2,+∞)D．(−∞,0)(3,+∞)13π5．已知sinα=−，且<<απ2，则tan(πα−=)（）723342A．B．−C．−43D．−121270.766．三个数6，0.7，log6的大小顺序是（）0.760.760.7A．log6<<0.76B．0.7<<6log60.70.760.70.76C．0.7<<log66D．log6<<60.70.70.7学科网（北京）股份有限公司 1xx+>,0,7．已知函数fx()=4x则方程fxa()−=0有四个实根的充要条件为（）−−−≤xxx241,0,A．a≥1B．a≤3C．13≤≤aD．13<<aS8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式CW=log1+，它表示在受2N噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声S功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，NS由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（）N（附：lg2≈0.3010）A．23%B．37%C．48%D．55%二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知a>0，b>0，若ab+=21，则（）122A．ab的最大值为B．ab+的最小值为1821abC．+的最小值为8D．24+的最小值为22ab10．下列化简正确的是（）22ππ3A．sin45cos45°°=1B．cos−=sin1212213tan22.5°1C．sin40°+cos40°=sin80°D．=2221tan22.5−°2π11．函数fxA()=sin(ωϕx+)（A>0，ω>0，||ϕ<）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）2学科网（北京）股份有限公司 πA．ϕ=3πB．函数fx()的图象关于点−,0对称65ππC．函数fx()在−,上单调递增1212ππD．将函数fx()的图象向右平移个单位得到函数gx()=sin2x+的图象124212．已知函数fx()=ln(1+−+xx)1，则（）A．fx()的定义域为RB．当x>0时，fx()∈(0,1]1C．ff(ln2)+=ln22fxfx(12)−()D．对定义域内的任意两个不相等的实数x，x，<0恒成立12xx−12三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）213．若命题px:∀∈[1,+∞)，xm+≥1，则命题p的否定是__________．214．已知奇函数yfx=()在区间[0,+∞)上的解析式为fx()=−+2xx，则yfx=()在区间(−∞,0)上的解析式fx()=__________．(axx−−≤3)3,115．已知函数fx()=在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________．logxx,>1a16．设函数fx()是定义域为R的奇函数，且∀∈xR，都有fxf()−−=(2x)0．当x∈(0,1]时，19fx()=+−lnxx21，则函数fx()在区间,上有__________个零点．22四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）化简求值1−0318322636（1）−+−(2)+×(23)；649学科网（北京）股份有限公司 21log3（2）log5log9(lg5)⋅++⋅+lg5lg20lg162−2．35218．（12分）已知集合Axx={(∣+−≤2)(5x)0}，Bxa={2∣+<<+1xa35}．（1）若a=−2，求AB；（2）若“xA∈”是“xB∈”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．219．（12分）已知函数fx()=−+xax4．（1）若关于x的不等式fx()0≥解集为R，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式fx()0≤．20．（12分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台．某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需投入流动成本Cx()（万元），且210x+2000,0xx<<28,Cx()=3600，其中100xZ∈．由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内2504xx+−≥6400,28,x生产的车辆当年能全部销售完．（1）写出年利润Sx()（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．（总利润＝总销售收入-固定成本-流动成本）ππ221．（12分）已知函数fx()=sin2x++sin2x−+2cosx−1，x∈R．33（1）求函数fx()的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；（2）解关于x的不等式fx()1≥；3ππ（3）将函数fx()的图象向右平移个单位长度后得到gx()的图象，求函数ygx=()2cos+x在0,上82的值域．a22．（12分）若函数fx()1=−为定义在R上的奇函数．x21+（1）求实数a的值，并证明函数fx()的单调性；xx+1（2）若存在实数x∈−[1,1]使得不等式fk(⋅+−≥4)f(12)0能成立，求实数k的取值范围．学科网（北京）股份有限公司 参考答案：1．A【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可．2【详解】充分性：若sinx=1，则cosxx=±−1sin=0，故充分性成立；2必要性：若cosx=0，则sinxx=±−1cos=±1，故必要性不成立；故“sinx=1”是“cosx=0”的充分不必要条件．故选：A．2．A【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可．−2x【详解】解：由fx()−==−fx()，得函数fx()为奇函数，排除B项，2x+1224×由f(2)==，得0<<f(2)1，则排除C、D两项．故选：A．2215+3．B【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解．lg18lg2lg9++ab2【详解】log18===，故选：B．30lg30lg31++b14．D【分析】利用函数定义域求法解不等式可求得集合A，B，再利用交集运算法则可得结果．x−1(xx−−≥1)(3)0【详解】根据题意可知≥0，即，解得x>3或x≤1，即A=>≤{xx31或x}；x−3x−≠302易知xx−>20，解得x>2或x<0，即B=><{xx20或x}；可得AB=><{xx30或x}，因此AB=−∞(,0)(3,+∞)．故选：D．5．A【分析】结合同角三角函数及诱导公式即可求解．13π243【详解】由sinα=−，<<απ2，得cosαα=1sin−=，727sinα133则tanα==−=−，故tan(πα−=)−tanα=．故选：A．cosα4312126．A0.76【分析】根据题意，由61>，0<<0.71，log6<0，即可得到结果．0.7学科网（北京）股份有限公司 0.7060【详解】由三个数661>=，0<<=0.70.71，log6<=log10，0.70.760.7可知其大小关系为log6<<0.76．故选：A．0.77．D【分析】由题意求分段函数的极值，作出函数简图，进而求解．【详解】1111当x>0时，fxx()=+≥⋅=2x1，当且仅当x=，即x=时，等号成立；44xx4x22当x≤0时，fx()=−++≤(x2)33，则fx()的图象如图所示，要使方程fxa()−=0有四个实根，a需满足13<<a．故选：D．8．C【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时C的比值即可求解．S【详解】解：依题意得，当=1000时，CW=log1000，12NS当=5000时，CW=1.2log5000，22NCW1.2log50006log50006lg5000222∴===CWlog10005log10005lg10001226(lg1000lg5)+2(31lg2)+−82lg2−820.3010−×===≈≈1.48，15555∴C的增长率约为48%．故选：C．9．ACD22221【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为ab+=−+5b，求出最小值；55C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．2ab+211【详解】对于A，由22ab=⋅≤ab=，即ab≤，248学科网（北京）股份有限公司 11当且仅当ab=2，且ab+=21，即a=，b=时，取等号，所以A正确；2422222221对于B，因为ab+=−+=−+=−+(12)bbbb5415b，552221当且仅当b=时，ab+取到最小值，所以B错误；5521214ba对于C，因为a>0，b>0，所以+=+(2)ab+=++≥+44248=，ababab4ba11当且仅当=，且ab+=21，即a=，b=时，取等号，所以C正确；ab24ababab+2对于D，2422422+≥⋅==22，当且仅当ab=2，且ab+=21，11即a=，b=时，取等号，所以D正确．故选：ACD．2410．BCD【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可．111【详解】A：因为sin45cos45°°=sin245(×°=)sin90°=，所以本选项不正确；22222ππππ3B：因为cos−sin=×==cos2cos，所以本选项正确；1212126213C：因为sin40°+cos40°=cos60sin40°°+sin60cos40°°22=sin60(°+40°=)sin180(°−80°=)sin80°，所以本选项正确；tan22.5°111D：因为=tan222.5(×°=)tan45°=，所以本选项正确，故选：BCD．21tan22.5−°22211．ABC【分析】借助图象周期求出ω、再由定点结合范围求出ϕ，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．T7πππ【详解】由题意可得=−=，故T=π，412342π77ππ则ω==2，f=sin2×+=ϕ−1，π1212学科网（北京）股份有限公司 7ππ5π即+=−+ϕπ2(kk∈Z)，解得ϕπ=−+2k，623π5ππ又||ϕ<，即ϕπ=−+=2，故A正确；233ππππ即fx()=sin2x+，当x=−时，有20x+=，故fx()的图象关于点−,0对称，故B正确；36365πππππ当x∈−,时，2,x+∈−，故C正确；1212322ππππ将函数fx()的图象向由右平移个单位得到sin2xx−×+=2sin2+，故D错误．121236故选：ABC．12．ACD2【分析】根据10+−>xx可判断选项A；2根据gx()=+−1xx的单调性，判断fx()的单调性可判断选项B；2根据hx()=ln(1+−xx)的奇偶性可判断选项C；由复合函数单调性和奇偶性可判断选项D．222【详解】对于A，由10+−>xx，得1+>xx，即10>恒成立，故A正确；21对于B，令gx()=+−=1xx，21++xx易知gx()在(0,+∞)单调递减，且gx()∈(0,1)，2则fx()=ln(1+−+xx)1在(0,+∞)单调递减，且fx()1<，故B错误；2对于C，令hx()=ln(1+−∈xxx)(R)，则fxhx()=()1+，2222hxhx()+−=()ln(1+−+xx)ln(1++=+−=xx)ln1(xx)0，∴hx()为R上的奇函数，∴fx()+−=fxhx()()1()12++−+=hx，1∴ffff(ln2)+ln=(ln2)+−=(ln2)2，故C正确；22对于D，由B选项知，gx()=+−1xx在(0,+∞)单调递减，且gx()∈(0,1)，学科网（北京）股份有限公司 2∴=hx()ln(1+−xx)在(0,+∞)单调递减，且hx()0<，2hx()为R上的奇函数，∴=hx()ln(1+−xx)在(−∞,0)单调递减，且hx()0>，又h(0)=0，∴hx()在R上单调递减，∴=+fxhx()()1在R上单调递减，fxfx(12)−()∴对定义域内的任意两个不相等的实数x，x，<0恒成立，故D正确．故选：ACD．12xx−12213．∃∈x[1,+∞)，xm+<1【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可．2【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题p的否定是：∃∈x[1,+∞)，xm+<1．2故答案为：∃∈x[1,+∞)，xm+<1．214．−−2xx【分析】根据奇函数满足fx()=−−fx()求解即可．【详解】依题意，当x<0时，−>x0，22故yfx=()在区间(−∞,0)上的解析式fx()=−−=−−−+−fx()2()()xx=−−2xx．2故答案为：−−2xx．15．{3aa∣<≤6}【分析】利用一次函数和对数函数及分段函数单调性解决即可．(axx−−≤3)3,1【详解】因为函数fx()=在R上单调递增，logxx,>1a所以当x≤1时，一次函数yax=−−(3)3是增函数，得出a−>30，即a>3；当x>1时，对数函数yx=log是增函数，得出a>1；a又因为(a−×−≤3)13log1，解得a≤6；a又因为(a−×−≤3)13log1，解得a≤6；取交集得{3aa∣<≤6}；a故答案为：{3aa∣<≤6}．16．6【分析】由函数fx()是定义域为R的奇函数，学科网（北京）股份有限公司 结合fxf()−−=(2x)0的条件可得函数fx()的一个周期为4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数．【详解】如图，因为函数fx()是定义域为R的奇函数，所以fx()−=−fx()，且f(0)=0．又fxf()−−=(2x)0，即fxf()=(2−x)，所以函数fx()的图象关于直线x=1对称，且f(2+=−=−xfx)()fx()，所以fxfxf(4+=)−+=(2)()x，所以4是函数fx()的一个周期，所以fff(0)=(2)=(4)=0．易知函数fx()=+−lnxx21在(0,1]上单调递增，11且f=ln+−=−11ln2<0，f(1)ln12110=+−=>，221所以函数fx()在区间(0,1)上仅有1个零点，且零点在区间,1上．2由对称性，知函数fx()在区间(1,2)上有且仅有1个零点．因为fx()是定义域为R的奇函数且是4是它的一个周期，所以f(4−+xfx)()=0，所以函数fx()的图象关于点(2,0)中心对称，所以函数fx()在区间(2,4)上有且仅有2个零点．19因为函数fx()在区间0,上没有零点，所以函数fx()在区间4,上没有零点．2219结合ff(2)=(4)=0，得函数fx()在区间,上有6个零点．故答案为：6．2217．（1）29（2）1【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；（2）利用对数的运算法则计算即可．1−−3332【详解】（1）原式=(4)−++×=−++=12234181829；学科网（北京）股份有限公司 lg5lg9（2）原式=⋅+⋅++−=+⋅+−lg5(lg5lg20)2lg232lg5lg1002lg23lg3lg5=+22(lg5lg2)3+−=+−=2231．18．（1）AB={xx<−15或x≥}7（2）a≤−或a≥23【分析】（1）解不等式得出A，代入a=−2得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；（2）根据已知可推得BA⊂，B=∅以及B≠∅，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案．【详解】（1）解(xx+−≤2)(5)0可得，x≤−2或x≥5，所以，A={xx≤−25或x≥}．当a=−2时，Bxx={−<<−31}，所以AB={xx<−15或x≥}．（2）由“xA∈”是“xB∈”的必要不充分条件，所以，BA⊂．又A={xx≤−25或x≥}，Bxa={2∣+<<+1xa35}．当B=∅，有2135aa+≥+，即a≤−4，显然满足；当B≠∅时，有2135aa+<+，即a>−4．a>−4a>−47要使BA⊂，则有或，解得−<≤−4a或a≥2．352a+≤−215a+≥37综上所述，a≤−或a≥2．319．（1）−≤≤44a（2）答案见解析【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令∆≤0解出即可；（2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可．2【详解】（1）由题意∆≤0，可得a−≤160，∴−≤≤44a；（2）①当∆<0时，即−<<44a时，∴原不等式的解集为∅；2②当∆=0时，即a=−4或a=4时，当a=4时，(x−≤2)0，∴原不等式的解集为{2}，2当a=−4时，(x+≤2)0，∴原不等式的解集为{2}−；222aa+−16aa−−16③∆>0时，即a<−4或a>4时，x−+=ax40，解得x=或x=，2222aa−−16a+−a16∴原不等式的解集为x≤x≤．22学科网（北京）股份有限公司 2−10xx+500−3000,0<<x28,20．（1）Sx()=3600−−4xx+3400,≥28x（2）当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元【分析】（1）根据总利润＝总销售收入-固定成本-流动成本，代入相关数据运算化简即可．（2）当0<<x28时，利用一元二次函数知识，在对称轴处取得最值；36003600当x≥28时，利用基本不等式知识，通过变形得Sx()=−−4x+3400=−+4x+3400，xx再求最值即可．然后通过比较得到利润最大值．22【详解】（1）当0<<x28时，Sx()=−+2500x(10x2000x)−=3000−+−10x500x3000．36003600当x≥28时，Sx()=2500x−2504x+−6400−3000=−−4x+3400．xx2−10xx+500−3000,0<<x28,综上，Sx()=3600−−4xx+3400,≥28.x2（2）当0<<x28时，Sx()=−+−10x500x3000，当x=25时，Sx()=S(25)=3250万元．max36003600当x≥28时，Sx()=−4x−+≤−×=3400340024x3160，xx当且仅当x=30时，等号成立．3160<3250，所以当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元．3ππππk21．（1）π，单调递增区间为−+kkππ,+，k∈Z；对称轴x=+，k∈Z8882π（2）xk∈+ππ,k，k∈Z452（3）2−2,4π【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得fx()=2sin2x+，应用整体代入法即可求4解单调区间与对称轴；（2）结合函数图像解不等式；学科网（北京）股份有限公司 （3）应用换元法求值域；ππ2【详解】（1）fx()=sin2x++sin2x−+2cosx−133ππππ=++−+sin2cosxxxxxcos2sinsin2coscos2sincos23333π=+=sin2xxcos22sin2x+，42π函数fx()的最小正周期T==π．ωπππ3ππ令−+≤+≤+22kxππ2k，k∈Z，解得−+≤≤+kxππk，k∈Z，242883ππ所以函数fx()的单调递增区间为−+kkππ,+，k∈Z．88ππππk令2xk+=+π，k∈Z，解得x=+，k∈Z，4282ππk所以fx()的对称轴方程为x=+，k∈Z．82ππ2（2）fx()1≥即2sin2x+≥1，sin2x+≥，442πππ3π所以+≤+≤+22kxππ2k，k∈Z，解得xk∈+ππ,k，k∈Z．44443πππ（3）由题知gx()=2sin2x−+=2sin2x−=−2cos2x，84222则y=−2cos2xx+2cos=−22cos(x−+1)2cosx=−22cosxx++2cos2，22252令tx=cos∈[0,1]，则y=−22tt++=−2222t−+，44252当t=时，y=；当t=1时，y=−22．maxmin4452综上可知所求值域为2−2,．422．（1）a=2，证明见解析（2）k≥0【分析】（1）由f(0)=0求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可．学科网（北京）股份有限公司 xx+1（2）由fx()在R上的奇函数可得fk(⋅≥4)f(21−)，xx+1由fx()在[1,1]−上单调递增可得∃∈−x[1,1]，k⋅≥−421成立，11进而可得∃∈−x[1,1]，k≥⋅−2成立，xx24112令t=，运用换元法将问题转化为∃∈t,2，kt≥−−(1)+1，x2221进而求yt=−−+(1)1在t∈,2上的最小值即可．2aa【详解】（1）因为函数fx()1=−为定义在R上的奇函数，所以f(0)1=−=0，解得a=2，x21+22经检验a=2符合题意，所以fx()1=−，x21+证明：任取x，x∈R，且xx<，1212222222(xx12−2)则fxfx()−()=−11−−=−=，1221x1+212121x2+++xx21(2121xx12++)()因为xx<，所以022<<xx12，所以220xx12−<，210x1+>，210x2+>，12所以fxfx()−<()0，即fx()<fx()，所以函数fx()在R上单调递增．1212xx+1（2）因为fk(⋅+−≥4)f(12)0，fx()在R上的奇函数，xxx++11所以fk(⋅4)≥−f(12−)=f(2−1)，xx+1由（1）知函数fx()在[1,1]−上单调递增，所以∃∈−x[1,1]，k⋅≥−421成立，11即∃∈−x[1,1]，k≥⋅−2成立，xx2411122设t=，则t∈,2，所以∃∈t,2，ktt≥−=−−+2(t1)1，x22221所以kt≥−−+(1)1，t∈,2，min2211设gt()=−−+(t1)1，t∈,2，则gt()在,1上单调递增，在[1,2]上单调递减，2213又g=，g(2)=0，所以gt()=0，所以k≥0．min24学科网（北京）股份有限公司