广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期阶段考试数学试卷

2023-2024学年度第一学期高一年级阶段考试数学试卷考试时间：120分钟命题人：栾欣审题人：卢丽卿注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息.2.请将答案正确填写在答题卡上.第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集U=−−{2,1,0,1,2}，集合AB={0,1,2,}=−{1,2}，则AB∩=(U)（）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{−1,1,2}D.{0,1,1,2−}2.若角330的终边上有一点(a,1−)，则a的值为（）3A.3B.−3C.±3D.33.函数yxx=cos(−≤≤πxπ)的图象可能是（）A.B.C.D.0.21.34.已知fx()=+=2xa1,log0.7,2b==3,c0.2，则fafbfc(),,()()的大小关系为（）A.fafcfb()<<()()B.fcfafb()<<()()C.fafbfc()<<()()D.fbfcfa()<<()()25.定义在R上的函数fx()满足fx(+=6)fx()，当−≤<−31x时，fx()=−+(x2)；当−≤<13x时，fxx()=，则ff(48)+=()（）A.-2B.-1C.0D.2学科网（北京）股份有限公司 26.对∀∈xR，不等式(axax−2)+2240(−)−<恒成立，则a的取值范围是（）A.−<≤22aB.−≤≤22aC.a<−2或a≥2D.a≤−2或a≥27.今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万t年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t（年）近似满足关系式ckaka=⋅(,为11大于0的常数且a≠1).若c=时，t=10；若c=时，t=20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性6121元素浓度c为时，大约需要（）（参考数据：log31.58,log522≈≈2.32）120A.43年B.53年C.73年D.120年4sinπxx,0≤≤128.已知函数fx()=1，若函数y=f(x)+22afx()+−a在[0,+∞)有6个不同零点，则fx(−>1,)x12实数a的取值范围是（）1818A.(−−∪−∞,3),2−B.−−∪+∞∞,(1,)7718C.(−−∪3,2)1,D.(−−∪+∞∞,2)(1,)7二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.495是第二象限角B.第三象限角大于第一象限角αC.若角α为第三象限角，那么为第二象限角2D.若角α与角β的终边在一条直线上，则αβ−=kkπ(∈Z)10.下列命题为真命题的是（）22A.“∀∈xxxR,++>10”的否定为“∃∈xxxR,++<10”2B.函数y=log1(−+−xx43)的单调递减区间为(1,2)2学科网（北京）股份有限公司 C.函数2yx=(−3)与函数yx=−3是同一个函数2D.已知函数fx(21+)的定义域为[−1,1]，则函数fx(+2)的定义域为[−1,1]11.下列说法正确的是（）3A.函数yx=−−1的最大值为123−x19B.函数y=+的最小值为1622sinxxcos1C.若21ab+=，则aab(+)最大值为4+D.若ab,∈R,ab+=1，则11+++ab的最大值为6x21+12.已知函数fx()=，下面命题正确的是（）x21−A.函数fx()的图象关于原点对称B.函数fx()的图象关于y轴对称C.函数fx()的值域为(−−∪+∞∞,1)(1,)D.函数fx()在(0,+∞)内单调递减第II卷（非选择题）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为__________.114.函数yx=lg(−+2)的定义域为__________.5−x15.“x−<12成立”是“xx(−<30)成立”的条件__________.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）.216.已知yfx=()是定义在(−1,1)上的函数，若fx()=3x+sinx，且fafa(1−+−<)(10)，则实数a的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）学科网（北京）股份有限公司 已知全集为R，集合A=(2,7)，集合B=−∪+(∞∞,3][5,).（1）求AB∩；（2）若Cxmxm=−<<{1∣2}，且CAA∪=，求实数m的取值范围.18.（12分）求值：0−0.513944（1）−++−(2):e21−541log2log⋅−−+log5log3log455.（2）254122335π46π37π55π（3）tan−sin−−costan.636619.（12分）已知函数fx()=−12sinx.（1）用“五点法”做出函数fx()在x∈[0,2π]上的简图；2π5π（2）若方程fxa()=在x∈−,上有两个实根，求a的取值范围.3620.（12分）2设fx()=+−+ax(21a)xa.（1）若不等式fx()≥−1对于任意xR∈恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式fxa()≤+<2(a0).21.（12分）第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产x（千件）装备，需另投入资金Rx()（万元）.经计算与市场评估得21x+ax,0≤<x402Rx()=，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金2601xx−+17303600,x≥402xR(20)=2800万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件.学科网（北京）股份有限公司 （1）写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）（2）求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？22.（12分）xx己知函数fx()=−+⋅−4m21,x∈−[2,1,]m为实数.（1）当m=1时，求fx()的值域；2（2）设gx()=2，若对任意的x1∈−[2,1]，总存在x2∈[0,1]，使得成立fx(12)≥gx()，求m的取x+1值范围.学科网（北京）股份有限公司 参考答案：1.A【分析】先求出UB，再根据交集的定义可求AB∩(U).【详解】UB=−{2,0,1}，故AB∩=(U){0,1}，故选：A.2.A【分析】利用任意角的三角函数的定义结合诱导公式求解.−1【详解】因为角330的终边上有一点(a,1−)，所以tan330=，a3−13又tan330=−=tan(30)−=tan30−，所以=−，所以a=3.3a3故选：A3.A【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用f(π)<0，进行排除即可.【详解】fxxxxxf(−=−)cos(−=−)cos=−(x)，则函数fx()是奇函数，图象关于原点对称，排除BD,，f(π)=πcosπ=−<π0，排除C，故选A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键.4.A【分析】根据指数函数和对数函数单调性结合中间值“0”和““”可得abc,,的大小关系，再结合fx()的单调性分析判断.【详解】因为yx=log2在(0,+∞)内单调递增，则a=log0.722<log1，即a<0；y=3x在R内单调递增，则0.20b=33>，即b>1；y=0.2x在R内单调递减，则1.300<<0.20.2，所以01<<c；学科网（北京）股份有限公司 综上所述：acb<<.又因为fx()=21x+在R内单调递增，所以fafcfb()<<()().故选：A.5.D【分析】根据题意，得到函数的一个周期为6，得到ffff(4822)+()=−+()()，结合题意，即可求解.【详解】由定义在R上的函数fx()满足fx(+=6)fx()，可得fx()是周期为6的周期函数，2又由−≤<−31x时，fx()=−+(x2);1−≤<x3时，fxx()=，则fff(484)+()=(−+68)f(−=−+622)ff()()=+=022.故选：D.6.A【分析】对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.2【详解】不等式(axax−2)+2240(−)−<对一切xR∈恒成立，当a−=20，即a=2时，−<40恒成立，满足题意；当a−≠20时，要使不等式恒成立，a−<20a<2需，即有2，Δ<04(aa−+2)16(−<2)0解得−<<22a.综上可得，a的取值范围为(−2,2].故选：A.7.B110=⋅ka61【分析】根据已知条件得，解方程组求出ak,的值，当c=时，在等式两边取对数即可求1=⋅ka2012012解.1110110=⋅kaa=【详解】由题意得：6，解得2，1=⋅ka20112k=3t1110所以c=×，32学科网（北京）股份有限公司 ttc=1111101110当时，得=×，即=，12012032240t1两边取对数得=log12=log40=+3log52≈+32.32=5.32，10402所以t=×=5.321053.2，1即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为时，大约需要53年.120故选：B.8.A【分析】画出函数图像，设2t++−=220ata，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论tfx=()的解的情况，计算得到答案.1【详解】当12<≤x时，fx()=fx(−=1)2sinπ(x−1)，211当23<≤x时，fx()=fx(−=1)fx(−=2)sinπ(x−2,)，24画出函数图像，如图所示：2函数y=f(x)+22afx()+−a在[0,+∞)有6个不同零点有以下四种可能：①方程2t++−=220ata有两个不同的实根t1和t2且方程tfx1=()有两个根，且方程tfx2=()有四个不同的实根，2由函数fx()的图像知，t1∈(2,4)且t2∈(1,2)，令ϕ(t)=++−t22ata，ϕ(1122)=++−>aa018则需ϕ(2442)=++−<aa0，解得−<<−a2;7ϕ(4)=++−>168aa20②方程2t++−=220ata有两个不同的实根t1和t2且方程tfx1=()有零个根，学科网（北京）股份有限公司 且方程tfx2=()有六个不同的实根，1函数fx()的图像知，t1∈−(∞∞,0)∪+(4,)且t2∈,1，211ϕ(1122)=++−<aa0由于ϕ=++−>aa20，则需，解得a<−3；24ϕ(4)=++−<168aa20③方程2t++−=220ata有两个不同的实根t1和t2且方程tfx1=()有1个根，ϕ(1122)=++−=aa0且方程tfx2=()有5个实根成立，则需，此时无解；ϕ(4)=++−=168aa20④方程2t++−=220ata有且只有1个根t0且方程tfx0=()有6个根，计算2Δ=4480aa+−=得a=−2或at=1,0=2或t0=−1，不合题意；18综上所述：−<<−a2或a<−3.7故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，根据图像分类讨论是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.9.AD【分析】根据象限角的范围可以判断ABC,根据终边相同的角的范围可判断D.【详解】对于A,495=+135360,90<<135180，是第二象限角，故A正确；对于B，210是第三象限角，390是第一象限角，但210<390，故B错误；对于C,600是第三象限角，300是第四象限角，故C错误；对于D，若角α与角β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差π的整数倍，故D正确；故选：AD10.BD【分析】对A，利用命题的否定即可判断；对B根据复合函数单调性的判断方法即可；对C，根据函数三要素即可判断；对D，根据抽象函数定义域的求解方法即可判断.22【详解】对A，“∀∈xxxR,++>10”的否定为“∃∈xxxR,++≤10”，故选项A错误；2对B，y=log1(−+−xx43)中−+−>xx2430，即(xx−−<130)()222yt=log解得13<<x，则定义域为(1,3)，又txx=−+−=−−+43(x2)1的增区间为(1,2)，而1为单2学科网（北京）股份有限公司 调减函数，2则由复合函数同增异减的原则可得函数y=log1(−+−xx43)的单调递减区间为(1,2)，故选项B正确；22对C，由于yx=−=−(3)x3，可知两者解析式不一致，2则函数yx=(−3)与函数yx=−3不是同一个函数，故选项C错误；对D，函数fx(21+)的定义域为[−1,1]，故−≤≤11x，则−≤+≤1213x，所以fx()的定义域为[−1,3]，所以2−≤+≤⇒−≤≤1xx2311，2即函数fx(+2)的定义域为[−1,1]，故D正确；故选：BD.11.BCD【分析】举反例可判断A项，运用“1”的代换及基本不等式可判断B项，由ba=−12代入aab(+)，转化为2求二次函数的最大值可判断C项，计算(1+++ab1)，再结合(a+1）++≥(b12)(ab++11)()即可判断D项.3【详解】对于A项，当x=−1时，y=−−−1(1)=>−5123，故A项不成立；−1对于B项，因为2222192219cosxx9sincosxx9siny=22+=(sinxx+cos)22+=+1022+≥+10222⋅=16sinxxcossinxxcossinxxcossinxxcos，22cosxx9sin2231当且仅当=，即cosxx=,sin=时取等号，22sinxxcos4419所以函数y=+的最小值为16，故B项正确；22sinxxcos对于C项，因为21ab+=，所以ba=−12，2所以aabaa(+=)(+−12aa)=(1−=−+a)aa，21111所以当a=时，aab(+)取得最大值为−+=，故C项正确；2224+对于D项，因为ab,∈R,ab+=1，所以(ab+++=1)(13)，学科网（北京）股份有限公司 1所以(ab+++≥1)(12)(ab+11)(+)，当且仅当ab==时取等号，21即2(ab++≤113)()，当且仅当ab==时取等号，221所以(1+++a1)2b=+++ab2(a+1)(b+≤++=12136)，当且仅当ab==时取等号，2所以11+++ab的最大值为6，故D项正确.故选：BCD.12.ACD【分析】分析函数fx()的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断fx()的值域即可判断C；根据复合函数的单调性判断fx()的单调性即可判断D.【详解】因为210x−≠，所以fx()的定义域为{xx∣≠0}，且定义域关于原点对称，−xx2112++又因为fx(−=)==−fx()，所以fx()为奇函数，故A正确，B错误；−xx2112−−xx21212+−+2x又因为fx()=xx==+1x,2(−∈−1)(1,0)∪+(0,∞)，2121−−21−2所以∈−−∪+(∞∞,2)(0,)，x21−所以fx()∈−−∪+(∞∞,1)(1,)，故C正确；2因为fx()=+1,x∈+(0,∞)时210xx−>，21−x2又y=21−在(0,+∞)上单调递增，y=在(0,+∞)上单调递减，x21−2所以fx()=+1在(0,+∞)上单调递减，故D正确；x21−故选：ACD.13.9【分析】先利用弧度制公式求得半径，再利用扇形面积公式求解.【详解】解：已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，学科网（北京）股份有限公司 l6则其半径为r===3，α211所以其面积为S=lr=××=639，22故答案为：914.(2,5)【分析】根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.x−>20【详解】由题意得，解得25<<x，所以定义域为(2,5)，50−>x故答案为：(2,5).15.必要不充分【分析】根据给定条件，结合充分条件､必要条件的意义判断即得.【详解】由x−<12，得−<<13x，由xx(−<30)，得03<<x，显然{0xxxx∣∣<<3}{−<<13}，所以“x−<12成立”是“xx(−<30)成立”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分16.(1,2)【分析】由函数奇偶性的定义得出fx()为奇函数，再由函数单调性的加减法得出fx()在(−1,1)上为增函2数，由奇函数性质将不等式化为f(11−<−a)fa()，即可根据单调性的性质结合定义域列出不等式组，解出答案.【详解】f(−=−+−=−−=−xxxxxf)3sin()3sin(x)，∴fx()为奇函数，yx=3与yx=sin在(−1,1)上都为增函数，∴=fx()3x+sinx在(−1,1)上为增函数，22fafa(1−+−<)(10)，则fafaf(111−)<−(−)=(a−)，学科网（北京）股份有限公司 2−<−<11a1则−<−<1a11，解得：12<<a，211−<−aa故答案为：(1,2).17.（1）(2,3]∪[5,7)1（2）−∞,3【分析】（1）先求出AB,集合内元素的不等式，再求出交集即可；（2）由CAA∪=得到CA⊆，然后分成C是否为空集对m分类讨论即可.【详解】（1）Ax={2∣∣<<x7},Bxx={≤3或x≥5}，所以ABxx∩={2∣<≤3或5x<7}，即AB∩=(2,3]∪[5,7)；（2）因为CAA∪=，所以CA⊆，1①若C=∅，此时12−≥⇒≤mmm；312−<mm②若C≠∅，此时需满足12−≥m，不等式无解，27m≤1综上可知m∈−∞,.3218.（1）+e33（2）4（3）0【分析】（1）根据分母有理化､根式与分数指数幂互化和指数运算性质即可解答.（2）根据换底公式和对数运算性质即可解答.（3）根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.学科网（北京）股份有限公司 121+42【详解】（1）原式=−+12+−(e)(2121−+)()92=211+−++−(e2)32=+e31ln2ln5ln32（2）原式=⋅−−log22+2ln25ln41ln3−ln2ln5ln31=⋅−−+22=−+−+1222ln52ln2−ln343=4π2πππ（3）原式=tan−6π+−sin16π+−+cos6πtan9π+6366π2πππ=tansin−costan63663333=×−×3223=019.（1）答案见解析（2）(−∪+1,0][13,3)【分析】（1）根据“五点法”作图法，列表､描点､作图，即可得到结果；1−a2π5π（2）将原问题转化为yx=sin与y=在x∈−,上有两个不同的交点，作出函数yx=sin在2362π5πx∈−,的图象，由数形结合即可得到结果.36【详解】（1）解：列表：学科网（北京）股份有限公司 π3πx0π2π22fx()1-1131作图：2π5π（2）解：若方程fxa()=在x∈−,上有两个实根，361−a2π5π则yx=sin与y=在x∈−,上有两个不同的交点，2362π5π因为x∈−,，所以sinx∈−[1,1]362π5π作出函数yx=sin在x∈−,的图象，如下图所示：362π3π5π1π又sin−=−,sin−=−1,sin=,sin=1，32262213−a11−a由图象可得，−<1≤−或≤<1，2222故a的取值范围是(−∪+1,0][13,3).学科网（北京）股份有限公司 120.（1）,+∞8（2）答案见详解【分析】（1）讨论a的范围，当a≠0时，列出条件，解出即可；（2）化简不等式，根据根的大小进行分类讨论，即可解出.2【详解】（1）因为fx()=+−+ax(21a)xa，2所以不等式fx()≥−1可化为ax+(21a−)xa++≥10，若对于任意xR∈，不等式恒成立，当a=0时，不等式化为−+≥x10，不满足题意，2当a≠0时，则必有a>0且Δ=−−(21a)4aa(+≤10)，1解得a≥，81所以实数a的取值范围为,+∞.82（2）不等式fxa()≤+<2(a0)化为ax+−−≤(2120a)x，2121即x+−2x−≥0,(xx+2)−≥0,aaa因为a<0，111所以当>−2，即a<−时，解得x≤−2或x≥，a2a1不等式的解集为{xx∣≤−2或x≥}；a11当=−2，即a=−时，不等式恒成立，解集为R；a2111当<−2，即−<<a0时，解得x≤或x≥−2，a2a1不等式的解集为{xx∣≤或x≥−2}.a学科网（北京）股份有限公司 2−+−xx6050,0≤<x4021.（1）W=−+xx21730−3600−50,40≤≤x1002x（2）该企业无最大年利润.【分析】（1）先由x=20求得a=240，再由利润=销售总额-总成本建立函数模型求解；（2）根据二次函数的性质及基本不等式分别求出分段函数的最值，比较大小即可得结论.2【详解】（1）由题意知，当x=20时，Ra(20)=+=20102800，所以a=240，22当0≤<x40时，W(xx)=300−+(xx120)−=−+50xx180−50；2601xx−+17303600当40≤≤x100时，Wx()=300x−−502x2−+xx1730−3600=−50，2x2−+xxx180−50,0≤<40所以Wx()=−+xx21730−3600;−50,40≤≤x1002x（2）当0≤<x40时，函数Wx()单调递增，且−≤50Wx()<5550.所以Wx()在[0,40)上无最大值，136003600当40≤≤x100时，由基本不等式得Wx()=−x+−1730−50≤−x⋅+815=755，2xx3600当且仅当x=时取等号，所以当x=60时，Wx()有最大值，最大值为755；x因为750<5550，所以该企业无最大年利润.322.（1）−−3,433（2）m≥.4【分析】（1）根据题意，令2x=t，转化为二次函数的值域问题，即可得到结果；mm11m（2）根据题意，将问题转化为fx()min≥=gx()min1，然后分<>,2以及≤≤2讨论，代入计24242算，即可得到结果.学科网（北京）股份有限公司 xx【详解】（1）当m=1时，fx()=−+−421,x∈−[2,1]，1令2x=t，因为x∈−[2,1]，则t∈,2，422131所以ytt=−+−=−−1t−，其中t∈,2，244133则t=时，ytmax=−=,2时，ymin=−3，即y∈−−3,，2443所以fx()的值域为−−3,42（2）因为gx()=，其中x∈[0,1]，2x+12令2y=在[1,2]上单调递减，ux=+1，则u∈[1,2]，且u当u=2时，ymin=1，所以gx()min=1，因为对任意的x1∈−[2,1]，总存在x2∈[0,1]，使得成立fx(12)≥gx()，则fx()≥=gx()1，所以−+⋅−≥4xxm211在x∈−[2,1]上恒成立，minmin1令2x=t，因为x∈−[2,1]，则t∈,2，42121即y=−+−≥tmt20在,2上恒成立，即mt≥+在,2上恒成立，4t421而yt=+在,2为减函数，在2,2为增函数，t43323333且yy1=,3=，故t+=，故m≥.tt==244tmax44【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是转化为fx()min≥gx()min，然后再转化为含参二次函数分类讨论问题.学科网（北京）股份有限公司