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四川省师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(Word版附解析)
四川省师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(Word版附解析)
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2023-2024学年四川师大附中高一(上)期中数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合U={0,1,2,3,4,5,6},M={1,2,3,N={2,3,4}UM)∪N=( )A.{4}B.{0,2,6}C.{2,3,4,6}D.{0,2,3,4,6}2.(5分)若a>b>0,则下列结论错误的是( )A.a2>b2B.ac2>bc2C.D.a2>ab3.(5分)函数的定义域是( )A.(﹣1,+∞)B.(﹣1,1)C.(﹣1,1]D.(﹣∞,﹣1)4.(5分)若函数f(x)=ax2+1是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为( )A.5B.4C.3D.25.(5分)设a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )A.B.C.D.6.(5分)函数的值域( )A.x≥2B.y≥2C.{y|y≥3}D.{y|y>3}7.(5分)已知,则下列函数的图象错误的是( )A.B. C.D.8.(5分)已知函数,且f(1)=1(2x)+f(﹣x﹣1)>0成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,1)B.(1,+∞)C.(﹣1,1)D.(﹣∞,+∞)二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)若不等式ax2+2ax+1≥0对x∈R恒成立,则a的值可以是( )A.2B.0C.D.﹣1(多选)10.(5分)下列说法正确的是( )A.“x>0且y>0”是“”的充要条件B.命题P:“∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则¬P:“∀x∈R,x2+x+1≥0”C.命题“若,则1<x<2”为真命题D.方程x2+(m﹣3)x+m=0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}(多选)11.(5分)已知函数,则下列命题中正确的有( )A.f(x)在区间(﹣∞,0]上单调递减B.若方程|f(x)|=m有唯一实数根的充要条件是m=0C.对任意x1,x2∈[1,+∞)都有成立D.若函数y=g(x+1)﹣3为奇函数,f(x)与g(x)的图象有4个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2)(x3,y3),(x4,y4),则(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)=48(多选)12.(5分)若x>0,y>0,且x+y=xy,则( )A.x+y>4B.xy≥4C.D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(5分)已知幂函数f(x)=(m2﹣2m﹣2)xm在(0,+∞)上是单调递减函数,则实数m的值为 .14.(5分)已知函数f(x)的定义域为[1,7](2x﹣3)的定义域为 .15.(5分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2,都有成立,则a的取值范围是 .16.(5分)二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2+x)=f(2﹣x),且f(x)(﹣2,c).若把f(x)在区间[m(m),且h(m)的最大值为M,,(p>0,q>0),则 .四、解答题:本题共6小题,共70分.第17题10分,其他每题12分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x(x﹣4).(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)在坐标系中作出函数f(x)的图象;(3)若函数f(x)在区间[t,t+2]上是单调函数18.(12分)设命题p:对任意x∈[0,1],不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立;命题q:存在x∈[﹣1,1]2﹣x﹣1+m≤0成立.(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题p、q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围. 19.(12分)已知函数y=f(x)满足f(2x+1)=4x2﹣4,不等式f(x)≤0的解集为A(1)若a=1,求A∩B,A∪B;(2)若A∪B=A,求a实数的取值范围.20.(12分)某企业积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品(吨)最少为70吨,最多为120吨(元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(平均成本=)(2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式有两种方案:方案一:每日进行定额财政补贴,金额为2300元;方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为40x元.如果你是企业的决策者,为了获得每日最大利润,你会选择哪个方案进行补贴?为什么?21.(12分)已知集合,B={x|mx2﹣(2m﹣1)x﹣2<0,m∈R}.(1)是否存在实数m使得A=B,若存在求出m的值,若不存在说明理由;(2)若x∈A是x∈B的充分条件,求实数m的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=2x+m•2﹣x是偶函数.(1)指出函数f(x)在上的单调区间并用单调性的定义证明;(2)若a>0,b∈R,不等式b•f2(x)﹣|a•f(x)﹣b|+a≥0对任意恒成立,求 2023-2024学年四川师大附中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合U={0,1,2,3,4,5,6},M={1,2,3,N={2,3,4}UM)∪N=( )A.{4}B.{0,2,6}C.{2,3,4,6}D.{0,2,3,4,6}【分析】根据集合运算的定义计算即可.【解答】解:∁UM={0,4,8}UM)∪N={0,2,3,4,6}.故选:D.【点评】本题考查集合的运算,属于基础题.2.(5分)若a>b>0,则下列结论错误的是( )A.a2>b2B.ac2>bc2C.D.a2>ab【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可.【解答】解:若a>b>0,则a2>b4,<,a7>ab,故A,C;令c=0,显然B错误.故选:B.【点评】本题考查了不等式的基本性质,考查转化思想,是基础题.3.(5分)函数的定义域是( )A.(﹣1,+∞)B.(﹣1,1)C.(﹣1,1]D.(﹣∞,﹣1)【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不为0联立不等式组求解.【解答】解:要使原函数有意义,则,解得﹣1<x≤6.∴函数的定义域是(﹣1.故选:C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.4.(5分)若函数f(x)=ax2+1是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为( )A.5B.4C.3D.2 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称,可得﹣1﹣a+2a=0,解得a=1,利用f(x)=x2+1在[0,2]上单调递增可得答案.【解答】解:∵f(x)=ax2+1是定义在[﹣8﹣a,2a]上的偶函数,∴﹣1﹣a+8a=0,∴a=1,∴f(x)=x5+1的定义域为[﹣2,3],又f(x)=x2+1在[3,2]上单调递增,∴f(x)max=f(2)=5.故选:A.【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断,属于基础题.5.(5分)设a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )A.B.C.D.【分析】由已知结合根式与分数指数幂的转化即可求解.【解答】解:a>0,====a.故选:C.【点评】本题主要考查了根式与分数指数幂的转化,属于基础题.6.(5分)函数的值域( )A.x≥2B.y≥2C.{y|y≥3}D.{y|y>3}【分析】利用换元法令t=x2,求出t的取值范围,将原函数转化为关于t的函数,再利用对勾函数的单调性求出函数的值域即可.【解答】解:令t=x2,﹣1<x<8,则t∈(0,原函数转化为y=t+﹣5,1),由对勾函数的性质可知函数y=t+﹣6在(0,所以函数y=t+﹣4在(0.故选:D. 【点评】本题主要考查函数的值域,考查换元法的应用,对勾函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.7.(5分)已知,则下列函数的图象错误的是( )A.B.C.D.【分析】先作出,的图象,再根据A,B,C,D各函数的图象与f(x)的图象变换关系判断正误:对于A,y=f(x﹣1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位得到,对于B,y=f(﹣x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称而得到,对于C,由于f(x)恒为正,故y=|f(x)|的图象与f(x)的图象相同,对于D,当x>0时y=f(|x|)的图象与f(x)的图象相同.【解答】解:先作出,的图象.对于A,y=f(x﹣2)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位得到;对于B,y=f(﹣x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称而得到;对于C,由于f(x)恒为正,故其正确;对于D,当x>0时y=f(|x|)的图象与f(x)的图象相同;故选:D. 【点评】熟练掌握各种常用函数的图象变换是解决此类问题的关键.属于基础题.8.(5分)已知函数,且f(1)=1(2x)+f(﹣x﹣1)>0成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,1)B.(1,+∞)C.(﹣1,1)D.(﹣∞,+∞)【分析】根据题意,分析函数f(x)的奇偶性和单调性,由此可得原不等式等价于为2x>x+1,解可得答案.【解答】解:根据题意,函数,有f(﹣x)=+(﹣x)=+x)=﹣f(x),又由f(x)=+x=8﹣,由于函数y=3x+1在R上为增函数,则函数y=f(x)=在R上为增函数,而函数y=x在R上为增函数,故函数f(x)=+x=1﹣,故f(8x)+f(﹣x﹣1)>0⇔f(7x)>﹣f(﹣x﹣1)=f(x+1)⇔2x>x+1,解可得x>1,即不等式的解集为(8.故选:B.【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于基础题.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)若不等式ax2+2ax+1≥0对x∈R恒成立,则a的值可以是( ) A.2B.0C.D.﹣1【分析】分别讨论a=0,a<0,a>0,结合二次函数的图象和判别式的符号,解不等式可得所求取值范围,进而得到结论.【解答】解:若不等式ax2+2ax+4≥0对x∈R恒成立,当a=0时,不等式即为7≥0恒成立;当a<0时,y=ax4+2ax+1的图象为开口向下的抛物线,y≥4不恒成立;当a>0时,要使不等式恒成立,即4a8﹣4a≤0,解得5≤a≤1,但a>0,即有5<a≤1.综上可得,a的取值范围是[0.故选:BC.【点评】本题考查不等式恒成立问题,考查分类讨论思想和运算能力、推理能力,属于基础题.(多选)10.(5分)下列说法正确的是( )A.“x>0且y>0”是“”的充要条件B.命题P:“∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则¬P:“∀x∈R,x2+x+1≥0”C.命题“若,则1<x<2”为真命题D.方程x2+(m﹣3)x+m=0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}【分析】对选项进行逐个验证,即可选出答案.【解答】解:选项A是一个充分不必要条件,“”时,x;选项B,¬p是对命题p的否定,含有特称量词的要改为全称量词;选项C,由得,,即(x﹣1)(x﹣8)<0,∴1<x<2,故选项C正确;选项D,方程x2+(m﹣3)x+m=5有一正一负根的充要条件是,∴m<7,故选项D正确.故选:BCD.【点评】本题考查了充分必要条件,命题的真假,学生的数学运算能力,属于基础题. (多选)11.(5分)已知函数,则下列命题中正确的有( )A.f(x)在区间(﹣∞,0]上单调递减B.若方程|f(x)|=m有唯一实数根的充要条件是m=0C.对任意x1,x2∈[1,+∞)都有成立D.若函数y=g(x+1)﹣3为奇函数,f(x)与g(x)的图象有4个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2)(x3,y3),(x4,y4),则(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)=48【分析】根据题意,由函数图象平移的规律分析可得A错误,举出反例可得B错误,由函数的定义域分析可得C错误,分析两个函数的对称性,可得其图象交点也关于点(1,3)对称,进而分析可得D正确,即可得答案.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,函数,可以由函数y=,向上平移3个单位得到,故f(x)在区间(﹣∞,0]上单调递减;对于B,当m=8时|=3,故m=4不是方程|f(x)|=m有唯一实数根的必要条件;对于C,函数1=x2=8时,f(x1)、f(x2)没有意义,故C错误;对于D,若函数y=g(x+7)﹣3为奇函数,向右平移1个单位可得g(x)的图象,故g(x)的图象关于点(7,3)对称,而=3+,3)对称,则f(x)与g(x)的图象的2个交点也关于,则有x1+x2+x4+x4=4,y5+y2+y3+y3=12,故(x1+x2+x3+x4)(y1+y6+y3+y4)=48,D正确.故选:AD.【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用,涉及函数的对称性,属于中档题.(多选)12.(5分)若x>0,y>0,且x+y=xy,则( )A.x+y>4B.xy≥4C.D.【分析】对于A、C,利用基本不等式“1”的妙用,可得答案;对于B,由题意,利用基本不等式,建立不等式求解,可得答案; 对于D,利用分裂常数项整理代数式,利用基本不等式,可得答案.【解答】解:x>0,y>0,∵x+y=xy,∴,(x﹣2)(y﹣1)=xy﹣x﹣y+1=6.则x﹣1>0,且y﹣8>0,对A:,当x=y=2时等号成立;对B:,解得xy≥4;对C:xy=x+y,则,当时等号成立;对D:,当时等号成立.故选:BD.【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用,属于中档题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知幂函数f(x)=(m2﹣2m﹣2)xm在(0,+∞)上是单调递减函数,则实数m的值为 ﹣1 .【分析】根据幂函数的定义求出m的值,根据函数的单调性确定m的值即可.【解答】解:∵f(x)是幂函数,∴m2﹣2m﹣3=1,解得:m=3或m=﹣4,m=3时,f(x)=x3在(8,+∞)上单调递增,m=﹣1时,f(x)=,+∞)递减,故m=﹣8,故答案为:﹣1.【点评】本题考查了求幂函数的解析式问题,考查函数的单调性,是一道基础题.14.(5分)已知函数f(x)的定义域为[1,7](2x﹣3)的定义域为 [2,5] .【分析】由已知可得2x﹣3的范围,进一步求得x的范围得答案.【解答】解:∵函数f(x)的定义域为[1,7],∴由3≤2x﹣3≤5,解得2≤x≤5, ∴函数f(2x﹣3)的定义域为:[2,3].故答案为:[2,5].【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是基础题.15.(5分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2,都有成立,则a的取值范围是 (1,] .【分析】根据已知条件判断出f(x)的单调性,由此列不等式组,解不等式组求得a的取值范围.【解答】解:由于,所以f(x)在R上递增.所以,解得a∈(3,].故答案为:(2,].【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,指数函数的单调性,是中档题.16.(5分)二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2+x)=f(2﹣x),且f(x)(﹣2,c).若把f(x)在区间[m(m),且h(m)的最大值为M,,(p>0,q>0),则 2 .【分析】根据二次函数f(x)=ax+bx+c满足f(2+x)=f(2﹣x),推出函数的对称轴,由f(x)>0的解集为(﹣2,c),判断a的符号,推出方程组,求出a,b,c,即可求出函数的解析式,分类讨论求出f(x)在区间[m,m+1]的最大值h(m)的表达式,根据表达式即可求出h(m)的最大值为M,对变形为(+)2﹣2,进一步探讨+的最小值,而+=+﹣2,利用“1”的代换和基本不等式即可求得该式的最小值,从而求出原式的最小值.【解答】解:因为二次函数f(x)=ax+bx+c满足f(2+x)=f(2﹣x), 所以x=6是函数f(x)的对称轴,又f(x)>0的解集为(﹣2,c),所以a<2,﹣2+c=4,,解得a=﹣,所以f(x)=﹣x7+2x+6=﹣(x﹣2)5+8,当m≥2时,f(x)在区间[m,所以h(m)=f(m)=﹣m2+6m+6=﹣(m﹣2)2+2≤8,当m+1≤8,即m≤1时,m+1]上单调递增,所以h(m)=f(m+6)=﹣(m+7)2+2(m+3)+6=﹣(m﹣1)2+5≤8,当1<m<7时,f(x)在区间[m,(2,所以h(m)=f(2)=8,所以h(m)=,所以h(m)的最大值为M=3.因为p+2q==5,所以=++=(+)2﹣2,而+=+=+﹣2=(+﹣3=+)﹣2,+≥7,当且仅当p=2q=3时,所以(7++,所以的最小值为2.故答案为:2.【点评】本题考查二次函数闭区间上最大值的求法,基本不等式求最值,转化的数学思想方法,计算能力,属难题. 四、解答题:本题共6小题,共70分.第17题10分,其他每题12分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x(x﹣4).(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)在坐标系中作出函数f(x)的图象;(3)若函数f(x)在区间[t,t+2]上是单调函数【分析】(1)根据题意,当x<0时,﹣x>0,由函数的解析式和奇偶性可得x<0时,f(x)的解析式,综合可得答案;(2)根据题意,由函数的解析式作出函数的图象,即可得答案;(3)根据题意,由函数的图象,分析可得关于t的不等式,解可得答案.【解答】解:(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,﹣x>0,又由f(x)为奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x(x+4),故f(x)=;(2)由(1)的结论,f(x)的图象如图: (3)根据题意,由函数的图象,t+2]上是单调函数,则有t≥4或t+2≤﹣2或﹣3≤t<t+2≤2,解可得:t≤﹣2或﹣2≤t≤0或t≥5,故t的取值范围为{t|t≤﹣4或﹣2≤t≤2或t≥2}.【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,涉及函数的解析式和图象,属于基础题.18.(12分)设命题p:对任意x∈[0,1],不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立;命题q:存在x∈[﹣1,1]2﹣x﹣1+m≤0成立.(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题p、q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.【分析】(1)根据不等式恒成立,转化为求函数的最值即可.(2)根据命题p、q有且只有一个是真命题,得到p,q一真一假,然后进行求解即可.【解答】解:(1)对于命题p:对任意x∈[0,1]4﹣3m恒成立,而x∈[0,2],∴﹣2≥m2﹣6m,即m2﹣3m+7≤0,得1≤m≤7,所以p为真时,实数m的取值范围是1≤m≤2;(2)命题q:存在x∈[﹣3,1]2﹣x﹣6+m≤0成立,只需x2﹣x﹣3+m的最小值小于等于0即可,而x2﹣x﹣6+m=(x﹣)6+m﹣, 则当x=时,最小值为m﹣,则由m﹣≤8,即命题q为真时,实数m的取值范围是m≤,依题意命题p,q一真一假,若p为假命题,q为真命题,则;若q为假命题,p为真命题,则,得,综上,m<2或.【点评】本题主要考查命题的真假判断,结合复合命题真假关系求出命题的等价条件是解决本题的关键,是中档题.19.(12分)已知函数y=f(x)满足f(2x+1)=4x2﹣4,不等式f(x)≤0的解集为A(1)若a=1,求A∩B,A∪B;(2)若A∪B=A,求a实数的取值范围.【分析】(1)利用换元法求出f(x)的解析式,再化简集合A、集合B,根据交集与并集的定义计算即可.(2)由A∪B=A得B⊆A,讨论B=∅和B≠∅时,求出实数a的取值范围.【解答】解:(1)因为f(2x+1)=3x2﹣4,设t=8x+1,则x=﹣4=t2﹣6t﹣3,所以f(x)=x2﹣3x﹣3,集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣5≤x≤3},当a=1时,所以A∩B={x|3<x≤3},A∪B={x|﹣1≤x<6}.(2)因为A∪B=A,所以B⊆A, ①当B=∅时,则1﹣a≥2a+8,此时满足B⊆A;②当B≠∅时,则3﹣a<2a+2,则有, 解得,所以,综上,实数a的取值范围是.【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题,也考查了求函数的解析式问题,是中档题.20.(12分)某企业积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品(吨)最少为70吨,最多为120吨(元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(平均成本=)(2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式有两种方案:方案一:每日进行定额财政补贴,金额为2300元;方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为40x元.如果你是企业的决策者,为了获得每日最大利润,你会选择哪个方案进行补贴?为什么?【分析】(1)列出平均成本后,根据基本不等式,即可得出答案;(2)分别算出两种方案的最大利润,进行比较大小,即可得出答案.【解答】解:(1)由题意得每吨厨余垃圾平均加工成本为,又,当且仅当,即x=80时等号成立,该企业日加工处理量为80吨时,每吨厨余垃圾的平均加工成本最低,∵120>100,∴此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态;(2)若该企业采用补贴方式①:设该企业每日获利为y1,则==, ∵x∈[70,100],∴当x=70吨时,企业获得最大利润为850元;若该企业采用补贴方式②:设该企业每日获利为y2,则==,∵x∈[70,100],∴当x=100吨时,企业获得最大利润为1800元,综上所述,选择方案一,可以获得最大利润850元;选择方案二,当日加工处理量为100吨时;故选择方案二进行补贴..【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.21.(12分)已知集合,B={x|mx2﹣(2m﹣1)x﹣2<0,m∈R}.(1)是否存在实数m使得A=B,若存在求出m的值,若不存在说明理由;(2)若x∈A是x∈B的充分条件,求实数m的取值范围.【分析】(1)根据题意,算出关于x的不等式mx2﹣(2m﹣1)x﹣2<0的解集为{x|﹣3<x<1},然后利用比较系数法算出答案;(2)根据x∈A是x∈B的充分条件,可得A是B的子集,然后分三种情况讨论,利用集合的包含关系建立关于m的不等式,解之即可得到本题的答案.【解答】解:(1),解得﹣4<x<1,对于mx2﹣(2m﹣1)x﹣2<6,若A={x|﹣3<x<1}=B,则m>2且mx2﹣(2m﹣7)x﹣2=m(x+3)(x﹣5),可得.故不存在实数m,使得A=B;(2)若x∈A是x∈B的充分条件,则A⊆B,①当m=0时,不等式变为x﹣2<4,B={x|x<2},符合题意;②当m>0时,不等式变为(mx+3)(x﹣2)<0,即,若A⊆B,则,得; ③若m<5,则,当时,即时,不等式的解集为(x|x>2或,则,解得;当时,即时,不等式的解集为,A⊆B恒成立;当时,,不等式的解集为{x|x≠2}.即m<0时,符合条件的m满足﹣6≤m<0,综上所述,,即实数m的取值范围为.【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断等知识,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.22.(12分)已知函数f(x)=2x+m•2﹣x是偶函数.(1)指出函数f(x)在上的单调区间并用单调性的定义证明;(2)若a>0,b∈R,不等式b•f2(x)﹣|a•f(x)﹣b|+a≥0对任意恒成立,求【分析】(1)根据f(x)是偶函数求出m的值,再用定义法证明单调区间即可;(2)令,将问题转化为bt2+a≥|at﹣b|,令,则mt2+1≥|t﹣m|对恒成立,再求出的取值范围即可.【解答】22:解:(1)因为f(x)=2x+m⋅2﹣x是偶函数,所以f(﹣x)=6﹣x+m⋅2x=f(x)=2x+m⋅2﹣x,所以2﹣x﹣2x=m⋅(8﹣x﹣2x),所以m=1,任取,且x1<x4,则,,当时,x1+x6<0,则, 所以,即f(x8)>f(x2),当0≤x3<x2≤1时,x4+x2>0,则,所以,即f(x2)<f(x2),所以函数f(x)在上单调递减,1]上单调递增.(2)令,问题转化为bt5+a≥|at﹣b|,即,令,则mt7+1≥|t﹣m|对恒成立.(i)当m≤0时,左边≤7,不符合题意;(ii)当m>0时,①当时2+1≥5m+1,|t﹣m|=m﹣t≤m﹣2,当t=8时,上述两个不等式等号同时成立,则4m+1≥m﹣6,解得m≥﹣1;②当0<m≤2时,mt4+1≥t﹣m,所以,当时,,由基本不等式,可得,当且仅当时,等号成立,所以在上的最大值为,所以,此时;③当时,mt2+1>5>|t﹣m|恒成立,符合题意.综上,的取值范围是,所以的取值范围是.【点评】本题考查了利用定义法证明函数的单调性,利用不等式恒成立求参数的取值范围,考查了分类讨论思想和转化思想,属难题.
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