四川省成都市盐道街中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷（Word版附解析）

成都市盐道街中学2023～2024学年（上）半期考试高2023级数学科试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】直接求交集得到答案.【详解】集合，集合，则.故选：A2.设命题：，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，由命题：，，则：，.故选：B.3.“”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义得到答案.【详解】，则或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足，解得且.故答案为：D5.下列四个函数中，与表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的三要素逐一判断即可.【详解】解：因为，，对于A，因为的定义域，与的定义域不同，所以与表示的不是同一函数；对于B，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，所以不是同一函数；对于C，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，所以表示同一函数； 对于D，因为定义域，与的定义域不同，所以与表示的不是同一函数.故选：C.6.函数，的值域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接根据二次函数的性质计算最值得到答案.【详解】，，，故函数的值域为.故选：D.7.已知函数，（且）是上的减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性及指数函数的单调性求解即可.【详解】由题意，，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.8.定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由，得到为减函数，再结合偶函数即可得到结论．【详解】因为对任意，，当时都有,所以在上递减，又因为是偶函数，所以,所以,所以，故选:B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】ACD选项，作差法比较大小；B选项，举出反例.【详解】A选项，，因为，所以，故，，A错误；B选项，设，则，B错误； C选项，，因为，所以，故，所以，C正确；D选项，，因为，所以，故，，D错误.故选：C10.已知函数，则下列选项正确的是（）A.的值域是B.函数关于点成中心对称C.在定义域上单调递减D.【答案】AB【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性分析即可.【详解】由，则函数的定义域是，值域为，故A正确；因为，则函数关于点成中心对称，故B正确；函数在和上为减函数，故C错误；而，故D错误.故选：AB.11.设正实数x，y，满足，则（） A.B.的最大值为C.的最小值为D.的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.【详解】解：选项A，由，可得，所以，故选项A正确；选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，故选项B错误；选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.故选：ACD.12.根据已学函数的图象与性质来研究函数的图象与性质，则下列结论中正确的是（）A.若，在为增函数B.若，，方程一定有4个不同实根C.设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则8D.若，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是【答案】BCD【解析】 分析】由题意，类比，通过单调性，奇偶性，恒成立问题逐选项判断即可.【详解】解：，当，则，易知在为增函数，则在为减函数，故A错误．设，又为奇函数，则，即是偶函数，当时，的图象如图，所以，方程一定有4个不同实根，故B正确;易知在为奇函数，则，又，所以．故C正确．由，得，整理得：，即恒成立．当时，，因为在上无最大值，因此此时不合题意；当时，，因为在上的最小值为2，所以，即，解得或舍去．综合可得：．故D正确．故选：BCD. 第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数，则=_____________.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数定义先计算，再计算．【详解】由已知,.故答案为：4．14.幂函数在区间上单调递增，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得.故答案：.15.命题“，x2+2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】二次函数恒大于等于零，只需要，列出不等式，解出来即可求出其最大值.【详解】由题可知，解得，所以实数m的最大值为.故答案为：.16.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与相交.函数.下列关于函数的说法正确的有______. ①函数是偶函数；②函数在单调递减；③方程恰有两根；④函数的最大值为2.【答案】①②④【解析】【分析】首先根据函数性质确定函数的解析式，再画出函数的解析式，结合选项，即可判断.【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以，则，即，令，即，得，如图，画出函数的图象，  函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2，，无实数根，故①②④正确，③错误.故答案为：①②④.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设全集为，集合或，.（1）求，；（2）已知，若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）确定，计算得到答案. （2）考虑和两种情况，根据集合的包含关系解得答案.【小问1详解】或，，则，，，.【小问2详解】当时，，解得，满足；当时，，且，解得；综上所述：.18.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数在上的解析式，并在坐标系内作出函数的图象；（2）若方程恰有四个不同实数解，求实数的取值范围.【答案】（1），图象见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义求解函数的解析式即可，进而画出图象；（2）转化问题为函数和有4个交点，进而结合图象求解即可.【小问1详解】因为是定义在上的偶函数，则，当时，，则当时，，则，即，所以，函数的图象如图：【小问2详解】要使方程恰有四个不同实数解， 则函数和有4个交点，由函数的图象可得，，解得，即实数的取值范围为.19.已知是定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用定义法证明；（3）解不等式：.【答案】（1）（2）函数在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；（2）结合定义法证明即可；（3）结合奇函数的性质转化不等式为，进而结合函数的单调性和定义域求解即可.【小问1详解】由题意，，即，此时，则，所以函数为奇函数，即.【小问2详解】函数在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.【小问3详解】由，即，由（2）知，函数在上单调递增，则，解得，所以不等式的解集为.20.2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）60，280万元 【解析】【分析】（1）可得销售额为万元，分和即可求出；（2）当时，利用二次函数性质求出最大值，当，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x千件商品销售额万元当时，当时，（2）当时，此时，当时，即万元当时，此时，即，则万元由于所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元．【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.21.已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x不等式．【答案】（1）a＝﹣2（2）答案不唯一，见解析【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，可得方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，﹣，代入即可得答案.（2）分别讨论a＜﹣1、a＝﹣1、﹣1＜a＜0、a＝0和a＞0几种情况，结合一元二次不等式的解法，即可得答案.【小问1详解】∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，﹣；∴﹣a﹣1＝0，解得a＝﹣2；【小问2详解】当a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0；若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜；若a＝﹣1，则＝﹣1，解得不等式为；若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1；当a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0，∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；当a＝﹣1时，不等式的解集为；当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．22.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）是，理由见解析；（2）5；（3）.【解析】【分析】（1）根据新函数的定义判断；（2）利用函数上是单调函数，新定义说明，结合可求得；（3）由单调性及新定义求得值，然后有不等式都成立，求出的最大值，得关于的不等式恒成立，由判别式可得范围．【详解】解：对于函数的定义域R内任意的，取，则，且由是R上的严格增函数，可知的取值唯一，故是“依赖函数”  因为，在是严格增函数，故，即，由，得，又，所以，解得故 因，故在上单调递增，从而，即，进而，解得或舍，从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，故，即，整理，得对任意的恒成立. 由，得，即实数s的取值范围是.【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是在于理解新定义，利用新定义进行转化，结合函数的单调性易得关系式．不等式能恒成立问题求解时的转化要注意求函数的最大值还是最小值，如在上恒成立，则，而存在使得成立，则．