重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷 答案

重庆市高2024届高三第五次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知复数zaa=+∈i(R)，复数z的共轭复数为z若zz⋅=3，则a=（）A.2B.22C.2D.82.函数fx()=sinx−∈cosxx(R)的图象的一条对称轴方程是（）ππA.x=B.x=−44ππC.x=D.x=−22−xx22−3.已知函数fx()=，则不等式fx(23−+)fx()0的解集是（）2A.(−∞,1]B.[1,+∞)C.(−∞,3]D.[3,+∞)264.已知(xxax++)(2−1)展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为（）A.-10B.-11C.-13D.-155.已知集合A={0,1,2,3,4}，且abcA,,∈，用abc,,组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（）A.14B.17C.20D.236.已知正三棱台ABC−ABC111的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60，则此三棱台的体积为（）A.273B.453C.633D.813学科网（北京）股份有限公司 1−−+kxx20(x)7.已知函数fx()=恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）xe−>kxx(0)111A.[1,e)B.−∪+,1(e,∞)C.−,eD.−,1222238.已知抛物线y=2pxp(>0)的焦点为F，点Ap−,0，点M在抛物线上，且满足MA=3MF，2若MAF的面积为123，则p的值为（）A.3B.4C.22D.23二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.19.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=，若数列{aSnn−}既是等差数列，又是等比数列，则（）2lnanA.{an}是等差数列B.是等比数列nC.{Sn}为递增数列D.{nn(−1)an}最大项有两项2210.已知圆Oxy:4+=，过直线lyx:3=−上一点P向圆O作两切线，切点为AB､，则（）4432A.直线AB恒过定点,−B.AP最小值为3324C.AB的最小值为D.满足PA⊥PB的点P有且只有一个311.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分100分，分为初赛和附加赛，初赛不低于75的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在[95,100]直接获一等奖，初赛分数在[85,95)获二等11奖，但通过附加赛有的概率升为一等奖，初赛分数在[75,85)获三等奖，但通过附加赛有的概率升为二53等奖（最多只能升一级，不降级），已知A同学和B同学都参加了本次比赛，且A同学在初赛获得了二等111奖，根据B同学的实力评估可知他在初赛获一､二､三等奖的概率分别为,,，已知4，B获奖情况相互独642立.则下列说法正确的有（）1A.B同学最终获二等奖的概率为3B.B同学最终获一等奖的概率大于A同学获一等奖的概率学科网（北京）股份有限公司 21C.B同学初赛获得二等奖且B最终获奖等级不低于A同学的概率为1004D.在B同学最终获奖等级不低于A同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为1512.如图，在棱长为1的正方体ABCD−ABCD1111中，点P在侧面AADD11内运动（包括边界），Q为棱DC中点，则下列说法正确的有（）A.存在点P满足平面PBD∥平面BDC112B.当P为线段DA1中点时，三棱锥PABD−111的外接球体积为π33C.若DP=λλDA(01)，则PQ−PB最小值为122D.若∠∠QPD=BPA，则点P的轨迹长为π9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分π13.已知角α终边上有一点P(2,1)，则sin2α+=__________.2175014.已知数列{an}满足aan+11=,=，若Taaaann=⋅⋅123，则T2024=__________.1−a751n22xy15.已知椭圆+=>>1(ab0)的左右焦点分别为FcFc12(−,0,)(,0)，过椭圆外一点Pc(3,0)和上顶点22abM的直线交椭圆于另一点N，若MF1∥NF2，则椭圆的离心率为__________.16.平面向量abc,,满足||||2,(ab==cacb−⋅−=−)()1，则ac⋅最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形ABCD中，ACD为钝角三角形，AC⊥BCP,为AC与BD的交点，若π7∠ACD=,AD=4,AC=43，且tan∠BAD=69学科网（北京）股份有限公司 （1）求∠ADC的大小；（2）求PDC的面积.18.已知数列{an}前n项和为Sn，且满足__________.*①首项a1=∀∈1,mn,N，均有Smn+=Sn+2mn2*②∀∈nN，均有an>0且(aSnn−=14)请从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{an}的通项公式；a⋅an前n项和T的表达式（2）求数列{n2}n19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码x12345678910渗透率y%29323432333436363638（1）假设自2023年1月起的第x个月的新能源渗透率为y%，试求y关于x的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率.（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为X万元，求X的分布列和期望.附：一组数据(xyxy11,,,,)(22)(xynn,)的线性回归直线方程yˆ=bxaˆ+ˆ的系数公式为：n∑xyii−nxybˆ=i=1,aˆ=ybx−ˆn22∑xi−nxi=120.如图，斜三棱柱ABC−ABC111中，底面ABC是边长为a的正三角形，侧面ABBA11为菱形，且∠AAB=60.1学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：AB⊥AC1；1（2）若cos∠AAC1=，三棱柱ABC−ABC111的体积为24，求直线AC1与平面CBBC11所成角的正弦值.422xy21.已知双曲线−=>>1(ab0,0)的一条浙近线方程为yx=，且点P(6,2)在双曲线上.22ab（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为AB,，在直线x=1上取一点Ptt(1,)(≠0)，直线AP交双曲线右支于点C，直线BP交双曲线左支于点D，直线AD和直线BC的交点为Q，求证：点Q在定直线上.22.若函数fx()在定义域内存在两个不同的数xx12,同时满足fx(12)=fx()且fx()在点(xfx11,())，(xfx22,())处的切线斜率相同，则称fx()为“切合函数”.3（1）证明：fx()=26x−x为“切合函数”；12（2）若gx()=−+xxlnxax为“切合函数”（其中e为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为exx,.122e①求证：xx<；12423②求证：(a+−<1)xxxx.12124学科网（北京）股份有限公司 数学试题参考答案与评分细则题号123456789101112选项ABABCCDDBCDACBCDABD313.51π23【解析】sinαααα=,sin2+=cos2=−12sin=52514.7501111750【解析】aa23====751,−==,a41−−aa17501−a751123674所以{an}周期为3，且aaa123=−1,T2024=−⋅⋅=(1)aa12750315.3【解析】法一：因为F2为PF1中点，MF1∥NF2，所以N也是PM中点.3cbc3则N,，代入椭圆方程可得离心率e==22a313ac法二：因为F2为PF1中点，MF1∥NF2，所以NF21=MF=,xN=2223ac3用焦半径公式aec−⋅=，解得e==22a316.4【解析】设O(0,0,)OA=a=(2,0)，向量ab,夹角为θ，则b=OB=(2cos,2sinθθ)设c=(xy,)，由(cacb−⋅−=−)()1得：(xyx−−⋅−2,0)(2cos,θθy−2sin)=−1化简得：22xy−+(1cos)θθθ+−(sin)=−12cos，即(xy,)在一个圆上而ac⋅=2x，所以即求x的最大值，为c在a上投影长度最大时，即1cos+θθ+−12cos22令t=12cos−θ，则2x=+21cos(θθ+−12cos)=−+=−−+3ttt2(1)44π在t=1即θ=时取得2学科网（北京）股份有限公司 π43sin⋅17.解：（1）在ACD中，由正弦定理得：ADAC63，=⇒==sin∠ADCsin∠∠ACDsinADC42π2π∴=∠ADC或，33ππ当∠ADC=时，∠DAC=，与ACD为钝角三角形不符合，舍去.322π所以∠ADC=.3（2）由（1）知，ACD为等腰三角形，πtan∠BAD−tanπ63∠DAC==,DC4,tan∠BAC=tan(∠∠BAD−=DAC)=，64π1tan+⋅∠BADtan6AC⊥∴=⋅BC,BCACtan∠BAC=3，1π11ππ由SDCP+S∧PCB=SDCB⇒⋅⋅⋅DCPCsin+PCCB⋅=DCCB⋅⋅sin+，262262631π63可得PC=∴=,SDCPC⋅⋅=sinPDC5265π法二：作DH⊥AC于H，则DH=DCsin=2，6DPDH2由PDH∽PBC得==，PBBC3221ππ63则S=S=⋅⋅⋅CDCBsin+=.DCPDCB55262518.解：（1）若选条件①，则令m=1，可得：SSnnn+1−=+21，2故当n2时有：SSSSSSn=+−+−++−121()(32)(SSnn−1)=++++−=⇒135(21n)n22aSSnn=−=−−=−(1)2n1nnn−1又当a1=1也符合上式，所以ann=21−22若选条件②，则由(aS+=14)可得当n2时有：(aS+=14)，两式相减得；nnnn−−11(aaaann++−11)(nn−−=20)，因为an>0，故有aann−−=−120又由题可求得a1=1，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，从而有ann=21−an⋅=−2an21221n−，则（2）由（1）可知：n()学科网（北京）股份有限公司 13521n−Tnn=×+×+×++−123252(212)35721n+4Tnn=×+×+×++−123252(212)13521nn−+21两式相减得：−=×+×+++3Tnn12222(2)−(212−)n−1814(−)105=+×22−(212nn−)21nn++=−+−222114−33102n521n+所以Tn=+−⋅293919.（1）计算得xy=5.5,=34，所以：n∑xyii−nxyˆ1936105.534−⋅⋅66ˆi=10.8,ˆ340.85.529.6b====a=−=−⋅=ybxn222385105.5−⋅82.5∑xi−nxi=1则同归直线方程为yxˆ=0.8+29.6，代入x=13得y=40所以预测2024年1月新能源渗透率为40%；23（2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为55X所有可能取值为0,2,4,63212812336则PX(=0)==,2PX(=)=C=，351255512512322354327PX(=4)=C3=,6PX(=)==551255125所以X的分布列为X02468365427P12512512512536542745018所以EX()=⋅+246⋅+⋅==（万元）.125125125125520.解：（1）证明：取AB中点O，连接AOCO1,，由题知AAB1为正三角形，而ABC也是正三角形，∴⊥AOABCO,⊥AB，又AO∩=∴⊥COO,AB平面ACO，111AC⊂平面ACO,∴⊥ABAC111学科网（北京）股份有限公司 1（2）AA11=AB=AC=a,cos∠AAC=，422232由余弦定理得AC=+−⋅⋅AAAC2AAACcos∠AAC=a1111263∴=ACa，又AO=CO=a，1122222∴+=∴⊥AOCOAC,AOCO111又AO11⊥ABAB,,∩=∴⊥COOAO平面ABC,∴AOCOAB1､､两两垂直.以O为原点，以COOBOA,,的方向分别为xyz,,轴的正方向建立空间直角坐标系如图.332因为三棱柱ABC−ABC111的体积为V=SABC⋅=AO1a×a=⇒=24a4，42则A(0,2,0,−)B(0,2,0,)C(−23,0,0,)A11(0,0,23,)AC=(−−23,0,23)CC11=AA=(0,2,23,)CB=(23,2,0).设平面CBBC11的法向最为n=(xyz,,)，nCC⋅=102230yz+=由⇒，可取n=(1,−3,1)，设向量n与AC的夹角为θ，1nCB⋅=′02320xy+=10∴⋅nAC1=−(1,3,1)⋅−(23,0,23−)=−43=526cos⋅θθ⇒cos=−，510∴直线AC1与平面CBBC11所成角的正弦值为.522221.解：（1）因为渐近线方程为yx=，所以ab=，设双曲线为xya−=，222代入P(6,2)得a=4，双曲线的标准力程为xy−=433xy=−2（2）设直线APx:2=y−，联立双曲线t得：txy22−=429221212tt3182+yyyy−+−=44,=,xy=−=2；2ε22cctt99−−ttt学科网（北京）股份有限公司 11xy=−+2设直线BPx:2=−+y，联立双曲线t得：txy22−=4212244tt1−−22yyyy−+−=44,,=xy=−+=2;2D22DDtt11−−ttt4tt12y19−−tt2213yDC所以kkAD===22−===,BCx+−22−44tttxtDC2219−−tt13则ADy:=−+(x2,)BCy:=−(x2)tt1yx00=−+(2)x−21t0设Qxy(00,)，则，两式相除消t得=−=,1x0yx=3(−2)x0+2300t所以Q在直线x=1上另证：2yyx−−42xDDDD设直线ADy:2=(x+=)⋅(x+=22)(x+)，2x++22xyyDDDD2yyxx−+42CCCC直线BCy:2=(x−=)⋅(x−=22)(x−)，2x−−22xyyCCCCyD由于kkBP=BD，即=−t，x−2DytC由于kkAP=AC，即=x+23C13则ADy:=−+(x2,)BCy:=−(x2).后同前证tt222.解：（1）假设存在xx12,满足题意，易知fxx′()=66−，由题可得：3322fx(1)=fx(2)⇔−=−⇒++=2626x1x1x2x2xxxx1122322fxfx′(1)=′(2)⇔−6666x1=x2−⇒+=⇒=−xx120xx12代入上式可解得(xx12,)=−(3,3)或(3,−3)，故fx()为“切合函数”2x（2）由题可知gx′()=−++lnxa1，因为gx()“切合函数”，故存在不同的xx12,（不妨设0<<xx12）e学科网（北京）股份有限公司 xx22xxxxxxln−+ln112221xlnx−+=12axxlnx−+axa=+1gx()=gx()11ee1222xx−e1221使得：:⇔⇔gxgx′(12)=′()lnxaxa−++=22xx121ln−++1e=xx21−212ee2lnxx−ln21xx21−>xxxxx21−2x1x2①先证：12，即证：=−>−=lnxx21lnlnlnxx−lnxxxxx2112121x2令t=，则由0<<xx12可知t>1，要证上式，只需证：x12112−−(t1)t−>lnt=2lnt⇔mt()=2lntt−+<>0(t1)，易知mt′()=<0ll2txx−21故mt()在(1,+∞)单调递减，所以mtm()<=(10)，故有>xx12成立lnxx−ln212ee由上面的2式可得xx<⇒<xx12122411lnxx−ln21②由上面的2式可得：=xx21−，代入到1式中可得：e2xxxx1122ln−ln1(lnxxxx2−+ln121)()xxxxxxxxxxxxxx11222112ln−−+lnlnln11ln221−ln2a=+===xx21−−2xx2122(xx21−)(xx21−)2elnxx12−2aln−⇒=xxe且由（1）可得42122a>−=ln2exxxx−−lnln2121（另解：由上面的2式可得=，代入到1式的变形：e222xx21−lnxx12axx(21−=)xxxx1122ln−ln+，整理后也可得到a=−）e223故要证(a+−<1)xxxx，只需证：1212422−−aa332aa22(aee+1)−<⇔eea+−+>(1)0a>ln44e3222aa设ha()=e+−+e(a1)a>ln，则即证：ha()>04e322aaaaaahaeeahaee′()=+−+2(1,)′′()=+−32=(3e−+2)(e1)222aa22a>ln>ln,∴>⇒e3e−2>0⇒ha′′()>⇒0ha′()在ln,+∞单调递增e333学科网（北京）股份有限公司 2222hah′′()>>=lnh′ln2−−>ln10(xx−−ln10)e33322222⇒ha()在ln,+∞单调递增⇒hah()>>=−lnhlnlnln−2>03e333所以原不等式成立2a∈ln,0a另证：当时，可用ea+1放缩代入证明不等式成立ea12当a∈+(0,∞)时，可用eaa++1放缩代入证明不等式成立2综上，原不等式成立学科网（北京）股份有限公司