人教版九年级数学下册（第二十八章 锐角三角函数）28.2 解直角三角形及其应用（学习、上课课件）

28.2解直角三角形及其应用第二十八章锐角三角函数第1课时解直角三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2解直角三角形的定义直角三角形中的边角关系 知1－讲感悟新知知识点解直角三角形的定义1定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 感悟新知特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).(2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知1－讲 感悟新知知1－讲深度理解●已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.●已知一角一边时，角必须为锐角，因为若已知直角，则不能求解. 知1－练感悟新知根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③B.②④C.只有②D.②④⑤例1 知1－练感悟新知解：①③④⑤能够求解；②不能求解.解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.答案：C 知1－练感悟新知特别提醒：解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：1.尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；2.尽量选择便于计算的关系式；3.能用乘法计算的要避免使用除法计算. 知1－练感悟新知1-1.如图，△ABC中，AB=AC，BC=10，∠B=36°，D为BC的中点，则AD的长是()A.5sin36°B.5cos36°C.5tan36°D.10tan36°C 感悟新知知2－讲知识点直角三角形中的边角关系21.直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 感悟新知(3)边角之间的关系：sinA==，sinB==；cosA==，cosB==；tanA==，tanB==.知2－讲 感悟新知知2－讲活学巧记口诀记忆法有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他的意思可类推. 感悟新知知2－讲2.运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：(1)两锐角之间的关系：∠A=90°－∠B，∠B=90°－∠A；(2)三边之间的关系：a=，b=，c=；(3)边角之间的关系：a=csinA，a=ccosB，a=btanA，b=csinB，b=ccosA，b=atanB. 感悟新知知2－练例2根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.a=20，c=20； 知2－练感悟新知解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinA===，∴∠A=45°，∴∠B=90°－∠A=45°，∴b=a=20.解题秘方：紧扣直角三角形的边角关系求解. 感悟新知知2－练(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.a=2，b=2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵a=2，b=2，∴c===4.∵tanA===，∴∠A=60°，∴∠B=30°. 知2－练感悟新知2-1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，解这个直角三角形. 知2－练感悟新知 知2－练感悟新知根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.∠A=30°，b=12；例3 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣以下两种思路去求解：(1)求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数.(2)求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数. 知2－练感悟新知解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=90°－∠A=60°.∵tanA=，∴=，∴a=4.∵∠A=30°，∴c=2a=8. 知2－练感悟新知(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.∠A=60°，c=6.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°.∵sinA=，∴=，∴a=3.由勾股定理得b===3. 知2－练感悟新知3-1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解直角三角形：(1)c=30，b=20； 知2－练感悟新知 知2－练感悟新知(2)∠B=72°，c=14； 知2－练感悟新知(3)∠B=30°，a=. 知2－练感悟新知如图28.2-1，在△ABC中，AB=1，AC=，sinB=，求BC的长.例4 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解. 知2－练感悟新知解：如图28.2-1所示，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.在Rt△ABE中，∵sinB==，AB=1，∴AE=∴EB==.在Rt△ACE中，AC=，∴CE==.∴BC=BE+CE=. 知2－练感悟新知教你一招：构造直角三角形解非直角三角形问题的方法通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解. 知2－练感悟新知4-1.在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC边上的高AD=3，则BC的长为()A.3+3B.3+C.2+D.+B 知2－练感悟新知4-2.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=6，则△ABC的周长为______________. 解直角三角形条件定义解直角三角形三边关系边角关系两锐角关系依据 28.2解直角三角形及其应用第二十八章锐角三角函数第2课时应用举例 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2解直角三角形在实际中的应用解直角三角形在解仰角和俯角中的应用解直角三角形在解方向角中的应用解直角三角形在解坡角、坡度中的应用 知识点解直角三角形在实际中的应用知1－讲感悟新知11.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案. 知1－讲感悟新知2.解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：图形关系式图形关系式AC=BC·tanα，AG=AC+BEBC=DC－BD=AD·(tanα－tanβ) 知1－讲感悟新知AB=DE=AE·tanβ，CD=CE+DE=AE·(tanα+tanβ)BD=BC－DC=AC·(－)，AG=AC+CG=AC+BE 知1－讲感悟新知BC=BD+DC=AD·(＋)BC=BE+EF+CF=BE+AD+CF=AD+h·(＋) 知1－讲感悟新知特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.2.在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解. 知1－练感悟新知例1如图28.2-12所示，某居民楼Ⅰ高20m，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面的距离CM为2m，窗户CD高1.8m.现计划在楼Ⅰ的正南方距楼Ⅰ30m处新建一居民楼Ⅱ.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使楼Ⅱ的影子不影响楼Ⅰ所有住户的采光，新建楼Ⅱ最高只能建多少米？ 知1－练感悟新知解题秘方：将实际应用问题建模成解直角三角形问题. 知1－练感悟新知解：设正午时刻，太阳光线正好照在楼Ⅰ一楼的窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高EG=xm，如图28.2-12所示，过点C作CF⊥EG于点F，则FG=CM=2m.在Rt△ECF中，EF=(x－2)m，FC=30m，∠ECF=30°，∴tan30°===，∴x=10+2.答：新建楼Ⅱ最高只能建(10+2)m. 知1－练感悟新知1-1.[中考·十堰]如图，小明利用一个锐角是30°的三角尺测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是()A.(15+)mB.5mC.15mD.(5+)mD 感悟新知例2知1－练某工程队承包了一段铁路的施工，该铁路要经过某一隧道，如图28.2-13，已知隧道口分别为D，E.为了如期完工，需测量出DE的长度，为此，该工程队在山的一侧选取适当的点C，测得BC=200m，∠ABC=105°，∠C=45°，AD=18m，BE=32m，且A，D，E，B在同一条直线上，已知该工程限定时间为10天，该工程队每天至少需要施工多少米？ 感悟新知知1－练解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形问题. 感悟新知知1－练解：如图28.2-13所示，过点B作BF⊥AC于点F.∵∠ABC=105°，∠C=45°，∴∠A=30°，△BFC为等腰直角三角形.在Rt△BFC中，∵cosC=，∴BF=FC=BC·cosC=200×=100(m). 感悟新知知1－练在Rt△AFB中，∵∠A=30°，∴AB=2BF=200(m).又∵AD=18m，BE=32m，∴DE=AB－AD－BE=200－18－32=150(m).∵150÷10=15(m)，∴该工程队每天至少需要施工15m. 知2－练感悟新知2-1.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于()A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C 感悟新知知识点解直角三角形在解仰角和俯角中的应用2知2－讲1.仰角和俯角的定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 知2－讲感悟新知特别提醒●仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”.●当实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线. 感悟新知知2－讲2.示图(如图28.2-14)： 感悟新知知2－练例3如图28.2-15，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4m. 感悟新知知2－练解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解. 感悟新知知2－练(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)解：∵在教学楼上的B处观测旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB=30°.在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4米，∴AD===4(米).答：教学楼与旗杆的水平距离AD是4米. 感悟新知知2－练(2)求旗杆CD的高度.解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4米，∴CD=AD·tan60°=4×=12(米).答：旗杆CD的高度是12米. 知3－练感悟新知3-1.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB约为_____m．(sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数).16 感悟新知知识点解直角三角形在解方向角中的应用3知3－讲方向角的定义：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角. 感悟新知知3－讲特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90°. 知3－讲感悟新知特别提醒1.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.2.观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助此性质进行角度转换. 感悟新知知3－讲2.示图：如图28.2-16所示，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向. 感悟新知例4知3－练我国两艘海警船刚好在我国某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域，如图28.2-17所示，AB=60(+)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，在A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120(－)海里. 感悟新知知3－练解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解. 感悟新知知3－练解：如图28.2-17，过点C作CE⊥AB于点E，可得∠ACE=30°，∠BCE=45°.设AE=x海里，在Rt△ACE中，CE=x海里，AC=2x海里.(1)分别求出A与C及B与C的距离；(结果保留根号) 知3－练感悟新知在Rt△BCE中，BE=CE=x海里，BC=x海里.∵AB=AE+BE，∴x+x=60(+)，解得x=60.∴AC=120海里，BC=120海里. 感悟新知知3－练解：如图28.2-17，过点D作DF⊥AC于点F.由题可知，∠DAF=60°.在Rt△AFD中，∵DF=DA·sin60°=DA，(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，在A处的海警船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 知3－练感悟新知∴DF=×120(－)=60(3－)≈106.8(海里)＞100海里.∴途中无触礁的危险. 知3－练感悟新知4-1.[中考·眉山]如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是_________海里.(6+6) 感悟新知知识点解直角三角形在解坡角、坡度中的应用4知4－讲1.坡角与坡度(坡比)的定义：(1)坡角：坡面与水平面所成的夹角，如图28.2-18中的α. 感悟新知知4－讲(2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡度(坡比)(如图28.2-18所示)，坡度(坡比)也可写成i=h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶x的形式. 感悟新知知4－讲2.坡度与坡角的关系：i==tanα，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大. 知4－讲感悟新知特别提醒1.坡度是两条线段的比值，不是度数.2.表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数. 感悟新知知4－练例5如图28.2-19，李明在大楼30m高(即PH=30m)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°.已知该山坡的坡度i为1∶，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC. 感悟新知知4－练解题秘方：将分散的条件集中到△ABP中求解. 感悟新知知4－练(1)山坡坡角的度数等于________°；(2)求A，B两点间的距离(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732).30∵山坡坡角为∠ABC，坡度i=1∶，∴tan∠ABC==,∴∠ABC=30°. 感悟新知知4－练解：由题意，得∠PBH=60°，∠APB=60°－15°=45°.∵∠ABC=30°，∴∠ABP=180°－∠PBH－∠ABC=90°.∴∠BAP=45°=∠APB.∴PB=AB.在Rt△PHB中，PB===20(m).∴AB=PB=20≈34.6(m).∴A，B两点间的距离约为34.6m. 知4－练感悟新知5-1.[中考·天门]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20m，∠C=18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1m)(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32) 感悟新知知4－练解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E.易知AFBC，DE=AF.∵斜面AB的坡度i=3:4，∴=，∴设AF=3xm，则BF=4xm.在Rt△ABF中，AB===5x(m). 感悟新知知4－练在Rt△DEC中，∵∠C=18°，CD=20m，∴DE=CD•sin18°≈20×0.31=6.2(m).∴AF=DE≈6.2m.∴3x=6.2，解得x≈.∴AB≈10.3m.∴斜坡AB的长约为10.3m. 课堂小结应用举例解直角三角形的应用类型仰角和俯角问题坡角和坡度问题方向角问题一般步骤一般测量问题