2023九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例课时3课件（人教版）

28.2.2应用举例九年级下册RJ初中数学第3课时 西南东北东西北南西北东南四面八方是指哪四面？哪八方？四面指东、南、西、北，八方指东、东南、南、西南、西、西北、北、东北.知识回顾 1.正确理解方向角、坡度的概念.2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型，融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.学习目标 方向角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等都广泛使用.你知道怎样利用方向角测量两地的距离吗？课堂导入 方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角叫做方向角.如图所示,目标方向线OA,OB,OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西45°,其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向.知识点1：解与方向角有关的问题新知探究 例5如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远？(结果取整数) 解：如图,在Rt△APC中,PC=PA·sin65°≈72.505(nmile).在Rt△BPC中,∠B=34°,∴PB=≈130(nmile).因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130nmile． 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？北东ACB60°30°DE 北东ACB60°30°DE解：过A作AF⊥BC，交BC的延长线于点F，则AF是点A到BC的最短距离.∵BD//CE//AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF-∠CAF=60°-30°=30°.又∵∠ABC=∠DBF-∠DBA=90°-60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里，∴AF=AC·cos30°=6海里.∵6≈10.392＞8，∴没有触礁的危险．F 如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为海里(结果保留根号).跟踪训练新知探究 解析：由题意得，MN=15×2=30(海里).∵∠PMN=30°，∠PNT=60°，∴∠MPN=∠PMN=30°，∴PN=MN=30海里.∵该轮船继续向南航行至T处距灯塔P最近，∴PT⊥MT，∴PT=PN·sin∠PNT=15海里. 如图,从山脚到山顶有两条路AB与BD,哪条路比较陡？如何用数量来表示哪条路陡呢？知识点2：解与坡度有关的问题新知探究 坡面与水平面的夹角叫做坡角，一般用字母α，β，γ表示.坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，通常用i表示，即i=h:l.αlhi=h:l坡面水平面1.坡度不是角的度数，它是坡角的正切值，即i=tanα；2.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 1.如图,一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角约是多少度？小刚上升了约多少米？(角度精确到0.01°,长度精确到0.1m)i=1:2ABCα解：用α表示坡角的大小，由题意可得0.5,,因此α≈26.57°.∵,∴BC=240×≈107.3(m)．即这座山坡的坡角约为26.57°,小刚上升了约107.3m． 2.水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i1=1∶3,斜坡CD的坡度i2=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；ADBCi2=1:2.5236αi1=1:3解：斜坡CD的坡度i2=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α约为22°. 解：分别过点B,C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E,F，由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).ADBC236αFEi1=1:3i2=1:2.5∵i1=∴AE=3BE=3×23=69(m).同理可得,FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB==≈72.7(m).故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度约为72.7m.ADBC236αFEi1=1:3i2=1:2.5 3.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=6米,背水坡CD的坡度i=1:(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为米.12 解析：迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=6米，∴AE=AB·sinα=6×sin45°=6(米).∵背水坡CD的坡度i=1:，∴tanC=，∴∠C=30°，∴CD=2DF=2AE=12米. 1.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=6千米，则A，B两点间的距离为()千米．A.4B.4C.2D.6随堂练习D 解析：由题意知，∠PAB=30°，∠PBC=60°，∴∠APB=∠PBC-∠PAB=60°-30°=30°，∴∠PAB=∠APB，∴AB=PB.在Rt△PAC中，∵AP=6千米，∴PC=PA=3千米.在Rt△PBC中,∵sin∠PBC=，∴PB==6千米． 2.为满足广大滑板爱好者的需求,某广场修建了一个小型滑板场,如图,爱好者们从A处滑下,经缓冲区EF之后,滑向C处,已知AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,AB=2CD,BD=13m,缓冲区EF=3m,斜坡轨道AE的坡度i=1：2,斜坡轨道FC的坡角为37°,其中B,E,F,D在同一直线上,则AB的长度约为()(参考数据：tan37°≈0.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)A．3.55mB．3.75mC．3.95mD．4.15mADCBEFB 解析：∵AB=2CD，∴设CD=xm,则AB=2xm.∵tan37°=≈0.75，∴DF=x.∵AE的坡度i=1：2，∴BE=2AB=4x.故BD-EF=BE+FD=13-3=4x+x，解得x=，故AB=2×==3.75(m)．ADCBEF 3.为了维护海洋权益,国家海洋局加大了在南海的巡逻力度,一天,我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A,B两处巡逻,同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域.如图所示,AB=60(+)海里,在B处测得C在北偏东45°的方向上,A处测得C在北偏西30°的方向上,在海岸线AB上有一灯塔D,测得AD=120()海里．关于本题的思路引导详见《教材帮》RJ九下28.2.2方法帮. (1)分别求出AC,BC的长；(结果保留根号)解：(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E，可得∠ACE=30°，∠BCE=45°，设AE=x海里，则CE=x海里，AC=2x海里.在Rt△BCE中，BE=CE=x海里，BC=x海里.∵AB=AE+BE，∴x+x=60()，解得x=60.∴AC=120海里，BC=120海里.E (2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群,我国A处海监船沿AC前往C处盘查,途中有无触礁的危险？(参考数据：1.41，1.73，≈2.45)解：(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,则∠DAF=60°.在Rt△AFD中,DF=DA·sin60°=DA.∵DF=×120()≈106.8(海里)>100海里，∴无触礁危险.F 解直角三角形的应用方向角问题坡度问题坡角坡度(或坡比)：课堂小结 1.（2021•无锡中考）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山,每前进100米所上升的高度为______米．设上升的高度为x米,∵上山直道的坡度为1：7，∴水平距离为7x米，由勾股定理得，x2+（7x）2＝1002，10对接中考x＝10 2.（2021•重庆中考）如图,在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡,斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4,坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A,B,C,D,E在同一平面内）,在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°,则建筑物AB的高度约为（　　）（参考数据：sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米DE：CE＝1：2.4,DE=50米,CE=120米DFBE＝DF＝30米，AB＝tan50°×30+50≈85.7米