2023九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形课件（人教版）

28.2.1解直角三角形九年级下册RJ初中数学 ACBcba(1)三边之间的关系：a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=___,cosA=___,tanA=___.如图，在Rt△ABC中，共有六个元素(三条边，三个角)，其中∠C=90°.c290°知识回顾 1.了解并掌握解直角三角形的概念.2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系.3.学会解直角三角形.学习目标 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m.你能求出∠A的度数吗？课堂导入 在图中的Rt△ABC中，(1)根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC知识点1：直角三角形中的边角关系新知探究 (2)根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC 解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少有一个是边.2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边. 直角三角形中的边角关系如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：1.三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；2.两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；ABCacb 3.边角之间的关系：sinA=，sinB=，cosA=，cosB=，tanA=，tanB=.ABCacb 1.根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=20，c=20；解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinA=，∴∠A=45°，∴∠B=90°-∠A=45°，∴b=a=20.知识点2：解直角三角形的基本类型及解法新知探究 根据下列条件，解直角三角形：(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=2.解：(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=2，∴c=.∵tanA=，∴∠A=60°.∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°. 1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角.2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角.已知两边解直角三角形的方法 2.根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=12；解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.∵tanA=，tanA=tan30°=，∴，∴a=4，∴c=2a=8. 根据下列条件，解直角三角形：(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，c=6.解：(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°.∵sinA=，sinA=sin60°=，∴，∴a=3.由勾股定理得b=. 1.已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边).已知一锐角和一边解直角三角形的方法 注意：已知两个角(除直角外)不能解直角三角形，因为只有角的条件时，符合条件的三角形有无数个，无法求边长.2.已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边.关于解直角三角形的类型及方法总结详见《教材帮》RJ九下28.2.1新知课. ABC1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=，，解这个直角三角形.跟踪训练新知探究 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).ABCb20ca35° 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求AB的长. 1.如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，则下列判断正确的是()A.∠A=30B.AC=C.AB=2D.AC=2D随堂练习tanA==BC=1∠A≠30°,AC=2AB= 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，解这个直角三角形.求AC时，还可以这样做：AC=解：∵sinA=，∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.∵tanB=，∴AC=BC·tanB=2tan60°=2. 3.如图所示,在△ABC中，AB=1，AC=，sinB=，求BC的长.解：如图所示，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.在Rt△ABE中，∵sinB=，AB=1，∴AE=，∴EB=在Rt△ACE中，AC=，∴CE==.∴BC=EB+CE=.E 先通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解.构造直角三角形解斜三角形问题的方法 解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结 1.（2021•荆州中考）如图1是一台手机支架,图2是其侧面示意图,AB,BC可分别绕点A,B转动,测量知BC＝8cm,AB＝16cm．当AB,BC转动到∠BAE＝60°,∠ABC＝50°时,点C到AE的距离为_____cm.（结果保留小数点后一位,参考数据：sin70°≈0.94,≈1.73）对接中考BM＝AB•sin60°≈13.84cm6.3∠DBC＝20°,∠BCD＝70°BD＝BC•sin70°≈7.52cmCN＝DM＝BM-BD≈6.3cm 2.（2021•海南中考）如图,△ABC的顶点B,C的坐标分别是（1,0）,（0,）,且∠ABC＝90°,∠A＝30°,则顶点A的坐标是________．D1AB＝＝230°AD＝BD＝cos30°＝3A（4，）（4，）△OBC∽△DAB＝A（4，）本题还可以这样做： 3.(2020·盐城中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,tanA=,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB的长.ABCD解：∵tanA=,∴∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABD=30°.又∵CD=，∴BC==3，∴AB==6．