人教版八年级数学下册（第十八章 平行四边形）18.1 平行四边形（学习、上课资料）

18.1平行四边形第18章平行四边形18.1.1平行四边形的性质 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平行四边形平行四边形的边、角性质两条平行线之间的距离平行四边形的对角线性质 知识点平行四边形知1－讲感悟新知11.平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 知1－讲感悟新知特别提醒●平行四边形的定义有两个要素：1.是四边形；2.两组对边分别平行.作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°，外角和为360°等.作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行.●平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法：∵四边形ABCD是平行四边形，反过来，∴四边形ABCD是平行四边形. 知1－讲感悟新知2.平行四边形的表示方法平行四边形用“”表示，如图18.1-1，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 知1－讲感悟新知注意：(1)平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针方向依次写出各顶点的字母，不能打乱顺序；(2)“”作为表示平行四边形的符号，不可单独使用它来代替“平行四边形”. 知1－讲感悟新知3.平行四边形的基本元素基本元素主要内容图示边邻边AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对对边AB和DC，AD和BC，共有两对 知1－讲感悟新知角邻角∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠DAB和∠ABC，共有四对对角∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两对对角线AC和BD，共有两条 感悟新知知1－练如图18.1-2，在ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有________个平行四边形.例19解题秘方：紧扣平行四边形定义中的“两要素”进行识别. 感悟新知知1－练解：在ABCD中，∵EF∥AB，GH∥BC，∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC.∴单独一个四边形是平行四边形的有4个：DEPH，EAGP，HPFC，PGBF；由两个四边形组成的平行四边形有4个：DEFC，EABF，DAGH，HGBC；由四个四边形组成的平行四边形有1个：ABCD.∴图中共有9个平行四边形. 感悟新知知1－练1-1.如图，分别过△ABC的顶点A，B，C作对边BC，AC，AB的平行线，交点分别为E，F，D.请找出图中所有的平行四边形，并表示出来.解：平行四边形有▱ABCD，▱AEBC，▱ABFC. 知识点平行四边形的边、角性质知2－讲感悟新知21.边的性质平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等.数学表达式：如图18.1-3所示.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC. 知2－讲感悟新知2.角的性质平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补.数学表达式：如图18.1-3所示.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠A+∠D=180° 知2－讲感悟新知特别提醒由于平行四边形的基本元素有边和角，因此讨论其性质也应从边和角这两个方面去看.1.从边看：平行四边形的对边平行且相等；2.从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补. 感悟新知知2－练如图18.1-4，在ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，则ABCD的周长为_______cm.例2解题秘方：紧扣“平行四边形边的性质”进行解答.18 知2－讲感悟新知解：∵平行四边形的对边相等，∴CD=AB=5cm，AD=BC=4cm.∴ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=5+4+5+4=18(cm). 感悟新知知2－练2-1.[中考.内江]如图，在ABCD已知AB=12，AD=8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M的，则DM的长为()A.2B.4C.6D.8B 知识点两条平行线之间的距离知3－讲感悟新知31.定义两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.特别提醒●距离是指垂线段的长度，它是正值.●当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值.●平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.●任何两条平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度. 知3－讲感悟新知三种距离之间的区别与联系类别两点间的距离点到直线的距离两条平行线间的距离区别连接两点的线段的长度点到直线的垂线段的长度两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度联系都归结为两点间的一条线段的长度 知3－讲感悟新知2.性质如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.3.拓展(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等.(2)等底等高的平行四边形的面积相等. 知3－讲感悟新知(3)平行四边形的面积=底×高=ah(其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是这条边与它的对边之间的距离)，如图18.1-5所示，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，则S▱ABCD=BC·AE=AB·CF. 感悟新知知3－练如图18.1-6，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF.△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？例3解题秘方：紧扣等底等高的三角形面积相等作三角形的高进行说明. 感悟新知知3－练解：△ABC与△DEF的面积相等.理由如下：如图18.1-6，过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2.设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，∴S1=BC·AH1，S2=EF·DH2. 感悟新知知3－练∵直线a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，∴AH1=DH2.又∵BC=EF，∴S1=S2，即△ABC与△DEF的面积相等. 感悟新知知3－练3-1.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为()B 知识点平行四边形的对角线性质知4－讲感悟新知41.对角线的性质平行四边形的对角线互相平分.数学表达式：如图18.1-7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD. 知4－讲感悟新知2.拓展性质(1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分. 知4－讲感悟新知(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.图示如图18.1-8，直线EF过平行四边形ABCD两条对角线的交点O，则△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF. 感悟新知知4－练如图18.1-9，已知ABCD的周长是60，对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长.解题秘方：紧扣平行四边形对角线、边的性质进行解答.例4周长之差转化为邻边之差. 感悟新知知4－练解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC.∵AB+BC+CD+DA=60，OA+AB+OB－(OB+BC+OC)=8，∴AB+BC=30，AB－BC=8.∴AB=CD=19，BC=AD=11.即这个平行四边形各边的长分别为19，11，19，11. 感悟新知知4－练4-1.如图，ABCD的对角线交于点O，且AC⊥AB，OC=3cm，OB=6cm.求AB的长及ABCD的面积. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练如图18.1-10，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.判断四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积有何关系？试说明理由.解题秘方：紧扣平行四边形的对角线性质、全等三角形的性质进行解答.例5 感悟新知知4－练解：S四边形ABFE=S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC.∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4，∴△AOE≌△COF(ASA).∴S△AOE=S△COF. 感悟新知知4－练又由ABCD得AB=CD，BC=DA，∠ABC=∠CDA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴S△ABC=S△CDA.∵S四边形ABFE=S△ABC－S△COF+S△AOE=S△ABC，S四边形FCDE=S△CDA－S△AOE+S△COF=S△CDA，∴S四边形ABFE=S四边形FCDE. 感悟新知知4－练5-1.[中考.乐山]如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BE⊥AC，垂足为F，若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为()A.4B.3C.D.2B 课堂小结平行四边形的性质平行四边形性质平行线间的距离定义表示方法 18.1平行四边形第18章平行四边形18.1.2平行四边形的判定 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平行四边形的判定三角形的中位线 知识点平行四边形的判定知1－讲感悟新知11.判定定理判定平行四边形可以从对边、对角和对角线三个方面进行.如图18.1-24，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，具体方法如下表所示. 知1－讲感悟新知特别提醒●平行四边形的判定定理和性质定理是互逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.●一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.●两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形. 知1－讲感悟新知条件类型判定定理数学表达式对边关系两组对边分别平行的四边形是平行四边形∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形∵AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∵ADBC(或ABCD)，∴四边形ABCD是平行四边形 知1－讲感悟新知对角关系两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形对角线关系对角线互相平分的四边形是平行四边形∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形 知1－讲感悟新知2.灵活选择平行四边形判定定理的方法(1)已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行.(2)已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等.(3)已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分.(4)已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等. 感悟新知知1－练如图18.1-25，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.求证：四边形DEBF是平行四边形.例1解题秘方：紧扣“条件BE∥DF”需证明“BE=DF”或“DE∥BF”即可得到四边形DEBF是平行四边形. 感悟新知知1－练证明：∵BE∥DF，∴∠AFD=∠CEB.又∵∠ADF=∠CBE，AF=CE，∴△ADF≌△CBE(AAS).∴DF=BE.又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形. 感悟新知知1－练1-1.如图，已知△ABC，分别以△ABC的三边为边，在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE，△BCD，△ACF.求证：四边形DEAF是平行四边形. 感悟新知知1－练证明：∵△ABE，△BDC都是等边三角形，∴BE＝AB＝AE，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠DBA，∠ABC＝60°－∠DBA.∴∠DBE＝∠ABC. 感悟新知知1－练∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF.∴DE＝AF.同理可得△ABC≌△FDC，∴DF＝AB＝AE.∵DE＝AF，EA＝DF，∴四边形DEAF为平行四边形． 感悟新知知1－练如图18.1-26，在ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F.四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？解题秘方：针对条件中与角有关的条件居多这一特点，紧扣“两组对角相等”来证明平行四边形.例2 感悟新知知1－练解：四边形BFDE是平行四边形.理由如下：在ABCD中，∠ABC=∠ADC，∠A=∠C.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠CDF=∠ADF=∠ADC.∴∠CDF=∠ADF=∠ABE=∠CBE.∵∠DFB=∠C+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠A，∴∠DFB=∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形. 感悟新知知1－练2-1.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，BF=DE.四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？(请用三种不同的方法说明) 感悟新知知1－练解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：方法一：两组对边平行法(定义法)．∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴∠ABE＝∠CDF.∴AB∥CD. 感悟新知知1－练 感悟新知知1－练方法二：两组对边相等法．由方法一知△ABE≌△CDF，∴AB＝CD.由方法一知△AED≌△CFB，∴AD＝CB.∴四边形ABCD是平行四边形． 感悟新知知1－练方法三：两组对角相等法．由方法一知△ABE≌△CDF，∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF.由方法一知△AED≌△CFB，∴∠CBF＝∠ADE，∠DAE＝∠BCF.∴∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB.∴四边形ABCD是平行四边形．(方法不唯一) 感悟新知知1－练[中考·徐州]已知：如图18.1-27，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.例3解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线关系判定平行四边形. 感悟新知知1－练证明：如图18.1-27，连接BD，设对角线AC，BD交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵AE=CF，∴OA－AE=OC－CF，即OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形. 感悟新知知1－练3-1.如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点.求证：四边形AFCE是平行四边形. 感悟新知知1－练 知识点三角形的中位线知2－讲感悟新知21.三角形的中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.数学语言：如图18.1-28所示.∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线. 知2－讲感悟新知2.三角形的中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.数学表达式：如图18.1-28所示.∵AD=BD，AE=EC，∴DE∥BC，且DE=BC. 知2－讲感悟新知3.三角形的中位线的应用(1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系. 知2－讲感悟新知(2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到. 知2－讲感悟新知特别解读●一个三角形有三条中位线.●三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.●三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段.●三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 感悟新知知2－练如图18.1-29，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证AB=2OF.例4解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的数量关系，将证明线段的倍数关系转化为证明OF是△ABC的中位线. 知2－讲感悟新知证明：如图18.1-29，连接BE.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，点O是AC的中点.∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，∴AB∥CE，AB=CE.∴四边形ABEC是平行四边形.∴点F是BC的中点.∴OF是△ABC的中位线.∴AB=2OF. 感悟新知知2－练4-1.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，连接MN.已知AB=10，BC=15，MN=3. 感悟新知知2－练(1)求证BN=DN；证明：∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°.又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. 感悟新知知2－练(2)求△ABC的周长.解：∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10.∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线．∴CD＝2MN＝6.∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41. 感悟新知知2－练如图18.1-30，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于点E，点F是AB的中点，连接EF.求证EF∥BC.解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的位置关系，将证明线段的位置关系转化为证明三角形的中位线.例5 知2－讲感悟新知证明：∵CE平分∠ACB，DC=AC，∴CE是△ACD的中线.∴点E是AD的中点.∵点F是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线.∴EF∥BD，即EF∥BC. 感悟新知知2－练5-1.如图，在▱ABCD中，AE=BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点H.求证：GH∥BC且GH=BC. 知2－讲感悟新知 课堂小结平行四边形的判定平行四边形边的关系判定角的关系对角线的关系三角形的中位线定义性质