八年级数学（第十九章 四边形）19.2 平行四边形（沪科版 学习、上课资料）

19.2平行四边形第十九章四边形第1课时平行四边形的性质 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平行四边形平行四边形的边、角性质两条平行线之间的距离平行四边形的对角线性质 知1－讲感悟新知知识点平行四边形11.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 感悟新知知1－讲特别提醒平行四边形的定义有两个要素：(1)是四边形；(2)两组对边分别平行.作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°，外角和为360°等.作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行. 感悟新知知1－讲2.平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法：∵四边形ABCD是平行四边形，∴反过来，∵∴四边形ABCD是平行四边形. 感悟新知2.表示方法 平行四边形用符号“▱”表示，如图19.2－1，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.知1－讲 感悟新知注意：(1)表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点，不能打乱顺序.(2)“▱”作为表示平行四边形的符号，不可单独使用它来代替“平行四边形”.知1－讲 感悟新知3.平行四边形的基本元素知1－讲基本元素主要内容图示边邻边AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对对边AB和DC，AD和BC，共有两对角邻角∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠DAB和∠ABC，共有四对对角∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两对对角线AC和BD，共有两条 知1－练感悟新知如图19.2－2，在ABCD内部有一点P，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有个平行四边形.例1解题秘方：紧扣平行四边形定义中的“两要素”进行识别. 知1－练感悟新知解：在ABCD中，∵EF∥AB，GH∥BC，∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC.∴单独一个四边形是平行四边形的有4个：▱DEPH，▱EAGP，▱HPFC，▱PGBF；由两个四边形组成的平行四边形有4个：▱DEFC，▱EABF，▱DAGH，▱HGBC；由四个四边形组成的平行四边形有1个：▱ABCD.∴图中共有9个平行四边形.答案：9 知1－练感悟新知方法点拨用分类法数几何图形的个数：数几何图形的个数时，往往不是多数了就是漏数了.若将几何图形分类(按顺序或大小)数，就能将问题简化，如例1，将平行四边形分为由一个、两个、四个四边形组成的平行四边形，这样就能做到不重不漏. 知1－练感悟新知如图19.2－3，在ABCD中，∠1=∠2.求证：四边形BEDF是平行四边形.例2 知1－练感悟新知证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即DE∥BF，∴∠1=∠DFA.∵∠1=∠2，∴∠2=∠DFA，∴DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形.解题秘方：紧扣平行四边形定义的“性质功能和判定功能”进行证明. 知1－练感悟新知解法提醒当题目的条件中有平行四边形时，应立即想到两组对边分别平行；当题目的结论要证平行四边形时，首先应想到证明它的两组对边分别平行.逆向利用及正向利用平行四边形的定义是后面学习平行四边形的性质及判定的主要依据. 感悟新知知2－讲知识点平行四边形的边、角性质21.性质1平行四边形的对边相等.数学语言：如图19.2－4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC. 感悟新知知2－讲2.性质2平行四边形的对角相等.数学语言：如图19.2－4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D. 知2－讲感悟新知特别提醒由于平行四边形的基本元素有边和角，因此讨论其性质也应从边和角这两个方面去看.1.从边看：平行四边形的对边平行且相等；2.从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补.注意：已知平行四边形，要根据推理证明的需要，合理选用性质. 感悟新知知2－练如图19.2－5，在平行四边形ABCD中，若AC=10，AD=6，∠ACB=30°，求平行四边形ABCD的面积.例3 知2－练感悟新知解题秘方：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质得出AG的长度，进而利用平行四边形的面积公式解答． 知2－练感悟新知解：如图19.2－5，过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC=10，∠ACB=30°，∴AG=5.∵平行四边形的对边相等，∴BC=AD=6，∴平行四边形ABCD的面积=BC·AG=5×6=30． 知2－练感悟新知解法提醒紧扣“平行四边形的边的性质”进行解答. 感悟新知知3－讲知识点两条平行线之间的距离31.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 知3－讲感悟新知特别提醒1.距离是指垂线段的长度，它是正值；2.当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值；3.平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置；4.任何两条平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度. 感悟新知知3－讲三种距离之间的区别与联系类别两点间的距离点到直线的距离两条平行线间的距离区别连接两点的线段的长度点到直线的垂线段的长度两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度联系都归结为两点间的一条线段的长度 感悟新知知3－讲2.性质如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.数学语言：如图19.2－6，A，C是l1上任意两点，∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB=CD. 感悟新知知3－讲3.拓展(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等.(2)等底等高的平行四边形的面积相等. 感悟新知知3－讲(3)平行四边形的面积=底×高=ah(其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是这条边与它的对边之间的距离).如图19.2－7所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，则S▱ABCD=BC·AE=AB·CF. 知3－练感悟新知如图19.2－8，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF.△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？例4 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣等底等高的三角形面积相等作三角形的高进行说明. 知3－练感悟新知解：△ABC与△DEF的面积相等.理由如下：如图19.2－8，过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2.设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，则S1=BC·AH1，S2=EF·DH2.∵直线a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，∴AH1=DH2.又∵BC=EF，∴S1=S2，即△ABC与△DEF的面积相等. 知3－练感悟新知解法提醒1.由平行线间的距离处处相等，可知顶点都在两平行线上的三角形的高相等.2.解顶点在两平行线上的三角形的面积问题常作高(两平行线间的垂线段)进行解答. 感悟新知知4－讲知识点平行四边形的对角线性质41.性质3平行四边形对角线互相平分.数学语言：如图19.2－9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD. 感悟新知知4－讲2.拓展性质(1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分.(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 知4－讲感悟新知图示如图19.2－10，∵直线EF过平行四边形ABCD两条对角线的交点O，∴AE+AB+BF=FC+CD+DE=(AB+BC+CD+DA)，S四边形ABFE=S四边形FCDE=S▱ABCD. 感悟新知知4－练[月考·扬州]如图19.2－11，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F．若OE=3，求EF的长；例5 知4－练感悟新知解题秘方：判定△DOF≌△BOE，即可得OE=OF=3，进而得出EF的长. 知4－练感悟新知解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，OD=OB，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO．∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴OE=OF，∵OE=3，∴EF=6. 知4－练感悟新知解法提醒本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 感悟新知知4－练如图19.2－12，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.判断四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积有何关系，并说明理由.例6 知4－练感悟新知解题秘方：紧扣平行四边形的对角线性质、全等三角形的性质进行解答. 知4－练感悟新知解：S四边形ABFE=S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC.∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4，∴△AOE≌△COF.∴S△AOE=S△COF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=DA，∠ABC=∠CDA. 知4－练感悟新知∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC=S△CDA.∵S四边形ABFE=S△ABC－S△COF+S△AOE=S△ABC，S四边形FCDE=S△CDA－S△AOE+S△COF=S△CDA，∴S四边形ABFE=S四边形FCDE. 知4－练感悟新知特别提醒这是平行四边形对角线性质的两个拓展结论，即1.平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形.2.过平行四边形的两条对角线交点的一条直线将平行四边形分成两个面积相等的梯形.本例的实质是知识点中的两条拓展性质的部分结论的证明过程. 平行四边形的性质平行四边形定义性质表示方法平行线间的距离 19.2平行四边形第十九章四边形第2课时平行四边形的判定 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平行四边形的判定三角形的中位线 知1－讲感悟新知知识点平行四边形的判定11.判定方法 判定平行四边形可以从对边、对角和对角线三个方面进行，如图19.2－27，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，具体方法如下表所示. 感悟新知知1－讲特别提醒1.平行四边形的判定定理和性质定理是互逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.(1)由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质；(2)由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定. 感悟新知知1－讲2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.3.两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形. 感悟新知知1－讲条件类型判定方法数学语言对边关系两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∵ADBC(或ABCD)，∴四边形ABCD是平行四边形定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形∵AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形 感悟新知知1－讲对角关系两组对角分别相等的四边形是平行四边形（补充）∵∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形对角线关系定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形 感悟新知2.灵活选择平行四边形判定定理的方法(1)已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行.(2)已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等.(3)已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分.(4)已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等.知1－讲 感悟新知知1－讲方法提醒判定平行四边形的方法选择已知条件证明思路一组对边相等1.另一组对边相等2.该组对边平行一组对边平行1.另一组对边平行2.该组对边相等对角线相交对角线互相平分角两组对角相等 知1－练感悟新知[中考·郴州]如图19.2－28，四边形ABCD中，AB=DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE=CF．连接BE，DF，若BE=DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．例1 知1－练感悟新知解题秘方：针对条件“AB=DC”，紧扣边的关系来判定平行四边形.证明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC(SSS)，∴∠EAB=∠FCD，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC，∵AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形． 知1－练感悟新知解题通法由边的关系判定平行四边形的方法1.若已知一组对边平行，则可采用证这组对边相等或另一组对边平行这两种方法判定平行四边形.2.若已知一组对边相等，则可采用证这组对边平行或另一组对边相等这两种方法判定平行四边形. 知1－练感悟新知如图19.2－29，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？例2 知1－练感悟新知解题秘方：针对条件中与角有关的条件居多这一特点，紧扣“两组对角相等”来判定平行四边形. 知1－练感悟新知解：四边形BFDE是平行四边形.理由：在▱ABCD中，∠ABC=∠ADC，∠A=∠C.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠CDF=∠ADF=∠ADC，∴∠CDF=∠ADF=∠ABE=∠CBE. 知1－练感悟新知∵∠DFB=∠C+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠A，∴∠DFB=∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形. 知1－练感悟新知解法提醒当已知条件中与角有关的条件居多时，应从角的角度考虑判定平行四边形的方法，因此可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形来判定. 知1－练感悟新知[中考·徐州]已知：如图19.2－30，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.例3 知1－练感悟新知解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线的关系判定平行四边形. 知1－练感悟新知证明：如图19.2－30，连接BD，对角线AC，BD交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵AE=CF，∴OA－AE=OC－CF，即OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形. 知1－练感悟新知解法提醒当已知条件都与对角线相关时，应从对角线的角度考虑判定平行四边形的方法，而从对角线的角度判定平行四边形，一般结合已知平行四边形的性质，利用已知平行四边形的对角线的性质去判定要说明的四边形是平行四边形. 感悟新知知2－讲知识点三角形的中位线21.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 感悟新知知2－讲2.推论 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.3.三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.数学语言：如图19.2－31，∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线. 知2－讲感悟新知特别提醒1.一个三角形有三条中位线；2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；3.三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段；4.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 感悟新知知2－讲4.三角形中位线定理 三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.数学语言：如图19.2－31，∵AD=BD，AE=EC，∴DE∥BC，且DE=BC. 感悟新知知2－练[月考·浦城县]已知：如图19.2－32，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．例4 知2－练感悟新知解题秘方：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定及三角形的中位线定理，综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线． 知2－练感悟新知解：AB=2OF，AB∥OF．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC．∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF．∵CE=DC，∴AB=CE．∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF=CF．∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF，AB∥OF． 知2－练感悟新知方法点拨证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常先证明较短线段是三角形的中位线，再用三角形的中位线定理证明. 感悟新知知2－练如图19.2－33，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于点E，点F是AB的中点，连接EF，求证：EF∥BC.例5 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的位置关系，将证明线段的位置关系转化为证明三角形的中位线. 知2－练感悟新知方法点拨由于三角形的中位线平行于第三边，因此当证明两线段平行且题中含中点条件时，常考虑用三角形中位线定理证明；而等腰三角形的“三线合一”、平行四边形的对角线“互相平分”是证明一点是线段中点的常用方法. 知2－练感悟新知证明：∵CE平分∠ACB，DC=AC，∴CE是△ACD的中线，∴点E是AD的中点.∵点F是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC. 平行四边形的判定角的关系三角形中位线对角线的关系平行四边形边的关系判定