2023年人教版八年级数学下册第十八章平行四边形期末复习资料

第十八章平行四边形——2022-2023学年人教版数学八年级下学期期末复习资料重难点攻略1.平行四边形的性质性质数学语言图示边平行四边形的对边相等四边形是平行四边形，角平行四边形的对角相等四边形是平行四边形，对角线平行四边形的对角线互相平分四边形是平行四边形，【拓展延伸】（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.【规律方法】（1）平行四边形的邻角互补；（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.2.平行四边形的判定方法判定方法数学语言图形边两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义）四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（或），四边形是平行四边形.角两组对角分别相等的四边形是平行四边形.，四边形是平行四边形.对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形.四边形是平行四边形.3.三角形的中位线中位线且中位线所截得的三角形与原三角形相似，其相似比为1:2，面积比为1:44.两条平行线之间的距离1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.5.矩形的定义及其性质1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可.（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）.性质数学语言图形角矩形的四个角都是直角四边形是矩形，对角线矩形的对角线相等四边形是矩形，对称性矩形是轴对称图形，它有两条对称轴【注意】（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.6.直角三角形斜边上中线的性质性质数学语言主要应用图示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图所示，在中，(或)证明线段倍分、相等关系【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.7.矩形的判定 判定方法数学语言图形角有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）在中，，是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形在四边形中，，四边形是矩形.对角线对角线相等的平行四边形是矩形在中，，是矩形8.菱形的定义及其性质1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.【注意】（1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可.（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表.性质数学语言图形边菱形的四条边都相等四边形是菱形，.对角线菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角四边形是菱形，, 对称性菱形是轴对称图形，有两条对称轴【注意】（1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.（2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.（3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.3.菱形的面积公式由来文字语言数学语言图示菱形的面积公式菱形是平行四边形.菱形的面积=底×高.菱形的对角线互相垂直菱形的面积=对角线长的乘积的一半【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.9.菱形的判定判定方法数学语言图示边有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）.在中，是菱形.四条边相等的四边形是菱形.在四边形中，四边形是菱形. 对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形在中，是菱形.10.正方形的定义及其性质1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.【注意】（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可.（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.2.正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.元素性质边对边平行，四条边都相等角四个角都是直角对角线两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角对称性是轴对称图形，有四条对称轴【注意】（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质.11.正方形的判定1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.【注意】（1）由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.（2）四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系如图所示.备考满分练1.如图，在中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点.若，，则BD的长为()A.B.3C.D.42.如图，中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，，则() A.3B.4C.5D.73.如图,AD是的中线,,添加下列条件,能使四边形ADCE成为菱形的是()A.,B.,C.,D.,4.锐角为的两个平行四边形的位置如图所示，若，则()A.B.C.D.5.下列各命题是真命题的是()A.平行四边形既是轴对称图形及是中心对称图形B.有一个角是直角的平行四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是菱形6.如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB为边在AB同侧作正方形APCD,正方形PBEF,设,则为() A.B.C.D.7.如图,在菱形ABCD中,,CE是AB边上的高,交对角线BD于点F,连接AF,则的度数为()A.B.C.D.8.如图，在中，，，D为斜边AB上一动点，，，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为()A.B.C.D.9.如图，在正方形ABCD中，，线段PQ在对角线AC上运动，且.连接BP，BQ，则周长的最小值是()A.B.4C.D. 10.如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①，；②；③四边形EBFD是菱形；④.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.411.如图，在中，，D是BC上的点，交AC于点E，交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是___________.12.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在、点处，若得，则的度数为_____.13.如图,在边长为6的菱形ABCD中,,点E是BC的中点,连接ED交AC于点G,若点F是AG的中点,则EF的长为__________. 14.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为___________.15.如图，在中，，，，点P为斜边AB上的一个动点(点P不与点A，B重合)，过点P作，，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当为直角三角形时，AP的长是________.16.如图,P为正方形ABCD的对角线上任一点,于E,于F.（1）证明:（2）若正方形ABCD的边长为6,,求PE的长. 答案以及解析1.答案：D解析：D为斜边AC的中点，F为CE中点，，，，，在中，D为斜边AC的中点，.故选：D.2.答案：B解析：由题意可知：，O，E分别为AC，BC的中点，.故选：B.3.答案：C解析：添加,可得;添加,可得四边形ADCE是平行四边形;添加,可得.故添加,,可得四边形ADCE是菱形.4.答案：A解析：解：如图，延长，，，，，，，选A. 5.答案：C解析：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，原命题是假命题；B、有一个角是直角的菱形是正方形，原命题是假命题；C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；D、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；故选：C.6.答案：B解析:四边形APCD和四边形PBEF是正方形,,,,,,又,,故选:B.7.答案：C解析：四边形ABCD为菱形,，BD平分,.在和中,,,,,又,,,8.答案：D解析：如图，连接CD， ，，，四边形CEDF是矩形，，由垂线段最短可得时线段EF的长最小，，，，四边形CEDF是矩形，.故选D.9.答案：C解析：如图，过点D作，且点E在AD上方，，连接BE交AC于点P，取，连接BE，DQ，BD.，，四边形PQDE为平行四边形，.B，P，E三点共线，此时的周长最小.又，，即， ，周长的最小值为，故选C.10.答案：C解析：连接BD，四边形ABCD是矩形，，AC、BD互相平分，O为AC中点，BD也过O点，，，，是等边三角形，，，在与中，，，与关于直线BF对称，，；①正确，，，，，，， ，，易证，，，四边形EBFD是菱形，③正确，，错误.②错误，，，，，，，④正确；故选C.11.答案：10解析：，，四边形AEDF是平行四边形，，.，，，，，，，，的周长.12.答案：55°或55度解析：，，由折叠的性质，可得，，四边形ABCD为长方形，， ，故答案为：55°.13.答案：解析：如图,连接BD.四边形ABCD是菱形,.又，是等边三角形.又点E是BC的中点,.又,，，，.连接DF,点F是斜边上的中点,.连接BF,易知，，.14.答案：解析：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H.过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点，四边形OEFG是正方形，，，，，在与中，，，，，， ，点F与点O关于点对称，点F的坐标为，故答案是：.15.答案：3或解析：在中，，，，.易知四边形PDCE是矩形，则.分两种情况讨论.①当，即时，如图(1)，此时，.②当时，如图(2)，，是CP的垂直平分线，.综上所述，AP的长为3或.16.答案：（1）见解析（2）解析:（1）证明:如图1所示,连接PB, 四边形ABCD是正方形,,,又,,,,,,四边形BFPE是矩形,,;（2）在中,,,,,,,,,,,,,是等腰直角三角形,,,,解得.