人教版八年级数学上册（第十一章 三角形）11.2 与三角形有关的角（学习、上课资料）

11.2与三角形有关的角第十一章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形内角和定理直角三角形的性质与判定三角形的外角 知识点三角形内角和定理知1－讲11.定理三角形三个内角的和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 知1－讲2.三角形内角和定理的证明思路思路一：利用“两直线平行，内错角或同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角，如图11.2-1①②所示. 知1－讲思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角，如图11.2-2①②所示. 知1－讲特别解读1.三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.2.三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 知1－练例1∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B的度数；(3)已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解. 知1－练解：设∠B＝∠C＝m°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴40＋m＋m＝180，解得m＝70.∴∠B＝∠C＝70°.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数； 知1－练解：设∠A＝x°，∠B＝y°.∵∠A－∠B＝16°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝54°，∴解得∴∠A＝71°，∠B＝55°.(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B的度数； 知1－练解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A.设∠A＝n°，则∠B＝2n°，∠C＝3n°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴n＋2n＋3n＝180，解得n＝30.∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.(3)已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解.当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组)求解. 知1－练1-1.在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠B等于()A.10°B.30°C.50°D.80°C 知1－练1-2.如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC，则∠AED的度数是()A.40°B.60°C.80°D.120°B 知1－练1-3.在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°. 知1－练一个零件的形状如图11.2-3，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.解题秘方：建立三角形的模型利用三角形内角和定理求出角度，再用三角形内角和定理进行验证.例2 知1－练解：这个零件不合格.理由如下：如图11.2-3，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.∵∠A＝90°，∠ACD＝18°，∠ABD＝34°，∴∠DCB＋∠DBC＝38°.在△DCB中，∠BDC＋∠DCB＋∠DBC＝146°＋38°＝184°≠180°，∴这个零件不合格. 知1－练2-1.某地有A，B，C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向，那么，在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？ 解：由题意知∠ABC＝90°－∠PBA＝70°，∠ACB＝90°－∠ACQ＝45°.由三角形内角和定理得∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，即在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为65°.知1－练 知2－讲知识点直角三角形的性质与判定21.直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. 知2－讲2.直角三角形的表示直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.3.直角三角形的判定有两个角互余的三角形是直角三角形. 知2－讲特别解读在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解. 知2－练如图11.2-4，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.例355° 知2－练解：∵∠BOD＝35°，∴∠AOC＝35°.又∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°.∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－35°＝55°. 知2－练3-1.把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为()A.65°B.60°C.45°D.30°C 知2－练如图11.2-5，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：△EFP是直角三角形.例4 知2－练解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形. 知2－练证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.又∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.∴△EFP是直角三角形. 知2－练4-1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都不对C 知2－练如图11.2-6，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.例5 知2－练解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB的夹角为直角.证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.∴∠CDA＝90°.∴CD⊥AB. 知2－练5-1.如图，点E是△ABC的边AC上的一点，ED⊥AB于点D，∠AED＝∠B.求证：△ACB是直角三角形.证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.∴∠A＋∠AED＝90°.∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠B＝90°.∴△ABC是直角三角形． 知3－讲知识点三角形的外角31.定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角． 知3－讲2.外角性质(三角形内角和定理的推论)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间关系式证明两个角相等. 知3－讲3.拓展性质(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；(2)三角形的外角和等于360°. 知3－练如图11.2-7，△ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC的延长线于D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度数.例6 知3－练解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ACD转化为∠B＋∠BAC进行求解.解：∵AD是∠CAE的平分线，∠DAE＝60°，∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°. 知3－练6-1.如图，已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°. 知3－练(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数.解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFE＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°. 与三角形有关的角三角形的角内角内角和定理直角三角形的性质与判定外角外角等于与它不相邻两内角的和外角大于与它不相邻的任何一个内角