第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角课件（人教版八上）

11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角R·八年级上册 前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角.三角形内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础．它从“角”的角度刻画了三角形的特征．三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性．新课导入 学习目标：1．通过经历探究活动的过程，得出三角形的内角和定理.2．能运用平行线的性质证明内角和定理.3．能应用三角形内角和定理推导并归纳直角三角形的性质与判定. 推进新课探索并证明三角形内角和定理在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．知识点1 方法：度量、剪拼、折叠BBCCAAABBC AABBCABBCC方法：度量、剪拼、折叠 ABC方法：度量、剪拼、折叠 追问1运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？不一定，测量可能会有误差． 追问2通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？需要通过推理去证明． 你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？ 追问1在下图中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？直线l与边BC平行．BBCCAl BBCCAl追问2在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明该结论． 证明：过点A作直线l，使l∥BC．∵l∥BC，∴　∠2=∠4，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）．追问3结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．ABC24153l ABC24153l追问3结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：∵　∠1+∠4+∠5=180°（平角定义），∴　∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）． 追问4通过前面的操作和证明过程，你受到了什么启发？你还能用其他方法证明此定理吗？ CAB12345lP6m追问4通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ CAB12345lP6mn追问4通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ CAB12345lP6mn追问4通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ 运用三角形内角和定理知识点2例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数． 北北CABDE例2　如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 过C点作正南方向线，则有∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠ACB=∠1+∠2=∠3+∠4=50°+40°=90°（等量代换）．北北CABDE南3412 练习1如图，说出各图中∠1的度数．30°105°1（2）80°50°1（1）22°1（3）50°45°68° 练习2如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°．从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少？ABDC∠ACB=∠ACD–∠BCD=60°–45°=15°.【课本P13练习第1题】 问题在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∠C等于多少度？你是用什么知识解决的？ABC∠C=90°，三角形的三个内角和等于180°。 ABC探索直角三角形的性质知识点3在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A+∠B的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？直角三角形的两个锐角互余． ABC直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC． ABC在Rt△ABC中，∵　∠C=90°，∴　∠A+∠B=90°．此性质的几何推理格式该怎样表示？ 例3如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？CDEAB 例3如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？CDEAB解：在Rt△AEC中，∵　∠C=90°，∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形两锐角互余）．在Rt△BDE中，∵　∠D=90°， 例3如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？CDEAB解：∴∠DBE+∠BED=90°（直角三角形两锐角互余）．∵　∠AEC=∠BED（对顶角相等），∴　∠CAE=∠DBE（等角的余角相等）． 探索直角三角形的判定知识点4我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？利用三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形． 类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？推理格式：在Rt△ABC中，∵　∠A+∠B=90°，∴　△ABC是直角三角形．ABC 相等．同角的余角相等．练习　如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？DABC【课本P14练习第1题】 DABC变式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？是．有两个角互余的三角形是直角三角形． DABC变式2若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ACB为直角三角形吗？为什么？是．有两个角互余的三角形是直角三角形． 变式3如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？是．有两个角互余的三角形是直角三角形．（证明过程略）．DEABC 随堂演练1.△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠A=______，∠B=______，∠C=______.90°30°60°基础巩固 2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有________________________________，互余的角有：____________________________________________________.∠A=∠BCD，∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD∠B=∠ACD 3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.2314解：∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠D=180°，∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D=360°.即∠BCD+∠BAD+40°+40°=360°.则∠BCD=360°－150°－80°=130°.【课本P13练习第2题】 4.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？【课本P14练习第2题】解:△ADE是直角三角形.理由如下:∵∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.又∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°.∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形. 5.如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数.解：∵∠ABC=70°，∠C=65°，∴∠A=180°–∠ABC–∠C=45°.∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°，∴∠ABD=90°–∠A=∠45°，∠CBD=90°–∠C=25°.综合应用 有两个角互余的三角形是直角三角形．三角形内角和等于180°.ABC直角三角形的两个锐角互余．BBCCAl课堂小结