人教版八年级数学上册（第十一章 三角形）11.1 与三角形有关的线段（学习、上课资料）

11.1与三角形有关的线段第十一章三角形11.1.1三角形的边 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形的相关元素三角形的分类三角形的三边关系 知识点三角形的相关元素知1－讲11.三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.特别解读●构成三角形的“条件”：1.三条线段；2.不在同一条直线上；3.首尾顺次相接. 知1－讲三角形的表示法：用符号“△”表示三角形.如图11.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排 知1－讲2.三角形的“三元素”(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边.(3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.●三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如顶点A所对的边BC可用a表示. 知1－练例1如图11.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F. 知1－练解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答. 知1－练(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来.(2)请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角.解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△BDF，△ABE，△ABD，△ACD，△BCE，△ABC.△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD,∠FDB，∠BFD. (3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？知1－练解：以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知1－练1-1.如图所示，图中共有_____个三角形.△ABE中，AE所对的角是______，∠BAE所对的边是______，AD在△ADE中是______所对的边，在△ADC中是_____所对的边.6∠BBE∠AED∠C 知2－讲知识点三角形的分类21.等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.(如图11.1-3)特别地：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形. 知2－讲2.三角形的分类等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.按边的相等关系分类：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形分类示意图如图11.1-4所示. 知2－讲特别提醒●三角形按内角的大小分类和按边的相等关系分类是两种不同的分类方法，各自独立，但无论按哪种标准分类，原则都是不重不漏.●对于等腰直角三角形，按边的相等关系分类属于等腰三角形，按内角的大小分类属于直角三角形. 知2－练根据下列所给条件，判断△ABC的形状(若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断)：(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.例2解题秘方：根据三角形的分类标准进行判断. 知2－练(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；解：∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，∴∠A＜∠B＜∠C＜90°，∴△ABC是锐角三角形.通过最大内角的度数去判断∵∠C＝120°＞90°，∴△ABC是钝角三角形. 知2－练(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.解：∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形.∵AB＝BC＝4，AC＝5，∴△ABC是等腰三角形. 知2－练2-1.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC是()A.等腰三角形B.等边三角形C.三边都不相等的三角形D.底边和腰不相等的等腰三角形A 知3－讲知识点三角形的三边关系31.三角形的三边关系文字语言数学语言理论依据图形三角形两边的和大于第三边a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b两点之间线段最短三角形两边的差小于第三边a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b(a＞b＞c) 2.三角形三边关系的应用(1)判断三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值范围；(3)三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围；(4)证明线段的不等关系.知3－讲 知3－讲特别提醒●三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较.●已知三角形的两边长a，b(a＞b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b＜c＜a＋b. 知3－练下列长度的四组线段能组成三角形的是()A.1cm，2cm，3.5cmB.4cm，5cm，9cmC.5cm，8cm，15cmD.6cm，8cm，9cm例3 知3－练解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”进行判断.解：∵1cm＋2cm＜3.5cm，∴不能组成三角形.∵4cm＋5cm＝9cm，∴不能组成三角形.∵5cm＋8cm＜15cm，∴不能组成三角形.∵6cm＋8cm＞9cm，∴能组成三角形.答案：D用较短的两条线段的和与最长的线段作比较 知3－练3-1.分别以下列长度的三条线段为边，哪些能构成三角形？哪些不能构成三角形？(1)6cm，8cm，10cm；解：因为6cm＋8cm>10cm，所以6cm，8cm，10cm能构成三角形． 知3－练(2)3cm，8cm，11cm；(3)3cm，4cm，10cm；解：因为3cm＋8cm＝11cm，所以3cm，8cm，11cm不能构成三角形．因为3cm＋4cm<10cm，所以3cm，4cm，10cm不能构成三角形． 知3－练(4)三条线段的长度之比为4∶6∶7.解：因为三条线段的长度之比为4∶6∶7，所以设这三条线段的长度分别为4x，6x，7x(x>0)．因为4x＋6x>7x，所以三条线段的长度之比为4∶6∶7，能构成三角形． 知3－练用一根长18cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm且有两边相等.求x，y的值.例4解题秘方：紧扣两边相等进行分类讨论，利用三角形三边关系进行检验是解题关键. 知3－练解：当x＝4时，y＝18－4－4=10，4＋4＜10，不能构成三角形，不符合题意；当y＝4时，x＝18－4－4=10，4＋4＜10，不能构成三角形，不符合题意；当x＝y时，x＝y＝＝7，4＋7＞7，能构成三角形，符合题意；综上可知，x＝y＝7. 知3－练4-1.如果一个三角形的两边长分别是6cm和8cm，周长是偶数，那么这样的三角形有()A.3个B.4个C.5个D.6个C 知3－练4-2.三角形的两边长分别为3和5，则此三角形的周长l的取值范围是()A.2<l<8B.10<l<18C.10<l<16D.无法确定C 三角形的边三角形三边关系分类按边分类组成元素边顶点角 11.1与三角形有关的线段第十一章三角形11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形的高三角形的中线三角形的角平分线三角形的稳定性 知识点三角形的高知1－讲11.三角形的高的定义和性质定义从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高图形 知1－讲续表性质∵AD是△ABC的边BC上的高(已知)，∴AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°)判定∵AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°)(已知)，∴线段AD是△ABC的边BC上的高(三角形的高的定义) 知1－讲2.三角形三条高的位置高的位置交点位置交点名称锐角三角形三条高都在三角形内部三角形内一点垂心直角三角形其中两条高恰好是直角边直角顶点钝角三角形其中两条高在三角形外部三角形外一点 知1－讲示图图11.1-6 知1－练例1如图11.1-7，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B. 知1－练(1)△ABC的边BC上的高为______，边AB上的高为______；解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断；解：△ABC是钝角三角形，由三角形高的定义和钝角三角形高的位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.AECD 知1－练(2)若AB＝5，BC＝2，CD＝，则AE＝_______.解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.解：∵S△ABC＝BC·AE＝AB·CD，∴×2×AE＝×5×，∴AE＝.同一个三角形面积的两种表示 知1－练1-1.如图，在△ABC中，∠C＝90°.(1)指出图中BC，AC边上的高.(2)画出AB边上的高CD.解：BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.略． 知1－练(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来.(4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上的高CD的长.解：图中有3个直角三角形，分别是直角三角形ABC，直角三角形ACD，直角三角形BCD. 知2－讲知识点三角形的中线21.定义连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线.几何语言：如图11.1-8，(1)AD是△ABC中BC边上的中线；(2)D是BC边的中点；(3)BD＝DC，BD＝BC，DC＝BC. 知2－讲2.三角形的重心三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如图11.1-9中的点O)，重心在三角形内部. 知2－讲特别解读三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系：1.两个三角形的面积相等；2.两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的差. 知2－练如图11.1-10，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.例2解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 知2－练(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长；解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△ABD与△ADC的周长之差为(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.∵△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，∴8－AC＝3，解得AC＝5. 知2－练(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝8，∴S△ABD＝S△ABC＝4.∵BE是△ABD的中线，∴S△ABE＝S△ABD＝2. 知2－练2-1.如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为()A.19cmB.22cmC.25cmD.31cmA 知3－讲知识点三角形的角平分线31.定义三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线.几何语言：如图11.1-11，(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC交BC于点D；(3)∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. 知3－讲特别提醒●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. 知3－讲2.三角形三种重要线段的区别三角形的高三角形的中线三角形的角平分线用途举例(1)证线段垂直；(2)证角相等(1)证线段相等；(2)证面积相等证角相等 知3－讲续表三角形的高三角形的中线三角形的角平分线在图中的位置锐角三角形三条高全在三角形内三条中线全在三角形内三条角平分线全在三角形内直角三角形一条高位于三角形内，另两条高与两直角边重合钝角三角形一条高位于三角形内，另两条高位于三角形外 知3－讲续表三角形的高三角形的中线三角形的角平分线条数三条三条三条交点位置锐角三角形在三角形内在三角形内在三角形内直角三角形在直角顶点处钝角三角形在三角形外 知3－讲视野拓展三角形中三个重要的点：三条高所在直线的交点叫垂心,三条中线的交点叫重心,三条角平分线的交点叫内心. 知3－练如图11.1-12，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，EF交AD于点O.试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由.例3 知3－练解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.解：DO是△DEF的角平分线.理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠3＝∠2，∠4＝∠1.∴∠3＝∠4.∴DO是△DEF的角平分线. 知3－练3-1.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是()A.20°B.30°C.45°D.60°A 知4－讲知识点三角形的稳定性41.三角形的稳定性(1)如果三角形的三边长确定，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性. 知4－讲2.三角形稳定性的应用(1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等.(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等. 知4－讲示图 知4－练李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图11.1-16，为了使这个钢架稳固，他计划用三根钢管来连接使它不变形.请帮李明解决这个问题.例4 知4－练解题秘方：根据三角形的稳定性，将钢架分割成三角形，紧扣“三角形的稳定性”进行解答.解：答案不唯一，只要将图形分割成三角形即可.供参考的两种方法如图11.1-17①②所示. 知4－练解法提醒：为了保证四边形及四边以上的图形稳定，最简单的方法是连接对角线(不相邻两个顶点的连线). 知4－练4-1.下列图形中有稳定性的是()A.三角形B.平行四边形C.长方形D.正方形A 知4－练4-2.如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动木条，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是在()两点上钉木条.A.A，FB.C，EC.C，AD.E，FD 三角形的高、中线与角平分线三角形的稳定性三角形的重要线段高中线角平分线都是线段都有三条所在直线都相交于一点三角形的稳定性实际应用