2023八年级数学上册第十一章三角形11.2与三角形有关的角第2课时课件（人教版）

11.2.2　三角形的外角与三角形有关的角八年级上册RJ初中数学 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.2.直角三角形的两个锐角互余.3.有两个角互余的三角形是直角三角形.练习：1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则∠B=_____.2.在Rt△ABC中，锐角∠B=45°，则另一个锐角∠C=____.75°45°知识回顾 1.了解三角形外角的概念.2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.学习目标 邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角互为邻补角.邻补角的性质：∠1+∠2=180°.CABO12如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢？BCAD课堂导入 概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠CBD是△ABC的一个外角.问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？问题2：三角形的外角具备什么特征？问题3：三角形共有几个外角？每个顶点处有几个外角？三角形的外角BCAD知识点1三角形的外角新知探究 答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180°.答案2：三角形的外角具备3个特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一条边；③另外一条边是三角形某条边的延长线.答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角.ABEFC三角形的外角 例1如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD与∠2，∠3之间的大小关系？ABEFCD123解：∵∠CAD是△ABC的外角，∠CAD+∠1=180°，则∠1=180°-∠CAD.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠1=180°-（∠2+∠3）.∴∠CAD=∠2+∠3.知识点2三角形外角的性质新知探究 解：∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE+∠2=180°，则∠2=180°-∠CBE.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠2=180°-（∠1+∠3）.∴∠CBE=∠1+∠3.例2如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CBE与∠1，∠3之间的大小关系？ABEFCD123 解：∵∠BCF是△ABC的外角，∴∠BCF+∠3=180°，则∠3=180°-∠BCF.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠3=180°-（∠1+∠2）.∴∠BCF=∠1+∠2.例3如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠BCF与∠1，∠2之间的大小关系？ABEFCD123你能总结三角形外角的性质吗？ 例4如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2.知识点3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123 例4如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）=2（∠1+∠2+∠3）.∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.有其他解法吗？知识点3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123 例4如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？知识点3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123方法二解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，∴∠CAD+∠1=180°，则∠CAD=180°-∠1，∠CBE+∠2=180°，则∠CBE=180°-∠2，∠BCF+∠3=180°，则∠BCF=180°-∠3. 例4如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？知识点3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°.∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（180°-∠1）+（180°-∠2）+（180°-∠3）=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°. 推论：三角形的三个外角和等于360°.三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.数学语言表示：如图所示，∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.三角形的外角和定理ABEFCD123 例5试说出下列图形中∠1和∠2的度数.解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°.（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°.（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.60〫80〫12（1）ABC30〫40〫12（2）ABC40〫21┌（3）ABC跟踪训练新知探究 1.判断下列观点是否正确.（1）三角形的外角都是钝角.（）（2）三角形的外角大于任何一个内角.（）（3）三角形的外角等于它的两个内角的和.（）（4）三角形的外角和等于360°.（）解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角.（2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角.（3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.随堂练习 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠1+∠2=90°.∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°.2.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.BADC21┐ ∵∠ADB是△ACD的外角，∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°.∵∠C=65°，∴∠DAC=90°-∠C=25°.则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.2.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.BADC21┐ 3.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（）A.40°B.45°C.50°D.55°解析：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°.∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=50°.ABCDEC 4.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A.180°B.210°C.360°D.270°解析：∵∠α、∠β是三角形的外角，∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F.∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+∠F=∠3+∠4+∠D+∠=210°.BEBCAFDαβ1234 三角形的外角定义性质三角形外角和三角形的外角和等于360°角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和课堂小结 1.已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，将∠A，∠B，∠C，∠D，∠E转化在同一个三角形中.仔细观察五角星，并在五角星中构建出△BGD和△CFE.CABEFGD拓展提升 解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角，∴∠AGF=∠B+∠D.∵在△CFE中，∠AFG是它的外角，∴∠AFG=∠C+∠E.∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角，∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.更多同类练习见《教材帮》数学RJ八上11.2节作业帮CABEFGD 2.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证∠BAC=∠B+2∠E.BACDE分析：利用角平分线的性质可以得出2倍的数量关系的角.利用三角形外角性质，将外角转化为两个不相邻内角的和.将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出题目所要证明的结果. 证明：∵∠ECD是△EBC的外角，∴∠ECD=∠B+∠E.∵∠BAC是△ACE的外角，∴∠BAC=∠E+∠ACE.∵CE是∠ACD的角平分线，∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E.∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.BACDE