人教版七年级数学上册（第四章 几何图形初步）4.3 角（学习、上课资料）

4.3角第四章几何图形初步4.3.1角 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2角的定义角的表示方法角的单位及换算 知识点角的定义知1－讲11.角的定义定义示例组成元素“静”态的观点观点有公共端点的两条射线组成的图形叫做角这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关“动”态的观点角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形起始位置的边叫角的始边，终止位置的边叫角的终边 知1－讲2.平角与周角射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图4.3-1；继续旋转，当OB和OA重合时，所形成的角叫做周角，如图4.3-2. 知1－讲特别解读1.构成角的要素是顶点、两边，且两边都是射线.2.角的大小与所画边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.3.平角的两边成一条直线，但不能说平角就是一条直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是一条射线. 知1－练例1下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小与所画边的长短有关；③角的两边是两条射线；④因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看成一个平角.其中，正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4 知1－练解题秘方：紧扣定义中的关键词进行辨析.答案：A解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则构成的图形不是角；②是错误的，因为角的大小与所画边的长短无关；③是正确的；④是错误的，因为直线和平角是两个不同的概念，平角有顶点和两边，它与直线不同.故有1个说法正确. 知1－练1-1.下列说法：①平角就是直线；②两条射线组成的图形叫角；③角的大小与所画边的的长短无关；④角的两边是两条线段.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个B 知1－练1-2.用5倍的放大镜看10°的角，观察到角的度数为()A.10°B.50°C.2°D.都不对A 知2－讲知识点2角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种角的表示方法特别提醒●用数字或希腊字母表示角时，要在角的内部，在靠近角的顶点处加上弧线表示角的范围，即从哪边到哪边.●如无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都是在0°~180°之间. 知2－讲表示方法示例记法方法解读用三个大写字母表示∠AOB或∠BOA字母O表示顶点，要写在中间，A，B表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角用一个大写字母表示∠O当以某一个字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示 知2－讲表示方法示例记法方法解读用数字表示∠1在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母.该表示法形象直观用希腊字母表示∠α注意：角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 知2－练例2如图4.3-3，写出符合以下条件的角：(1)能用一个大写字母表示的角；(2)以A为顶点的角；(3)小于平角的角.解：∠B，∠C.∠BAC，∠BAD，∠CAD.∠BAC，∠B，∠C，∠1，∠2，∠3，∠4. 知2－练解题秘方：先要明确角的表示方法的“适用范围”，再根据图形特点将每个角用合适的方法表示. 知2－练2-1.如图，∠ABC可以表示成∠_____或∠_____，∠α可以表示成_______，∠2可以表示成________.1B∠ACB∠CAD 知3－讲知识点31.角的度量单位度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.角的单位及换算 知3－讲2.角度制以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.3.角的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，1′=°，1″=′.1°=60′=3600″，1″=′=°. 知3－讲要点归纳1.角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.2.使用三角尺可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，使用量角器可以画出任意给定度数的角. 知3－练例3计算：(1)将57.32°用度、分、秒表示；(2)将10°6′36″用度表示.解题秘方：利用高级单位和低级单位相互转化的方法进行计算. 知3－练解：(1)57.32°=57°+0.32°=57°+0.32×60′=57°+19.2′=57°+19′+0.2×60″=57°+19′+12″=57°19′12″.大单位化小单位乘60 知3－练(2)10°6′36″=10°+6′+36″=10°+6′+36×′=10°+6′+0.6′=10°+6.6′=10°+6.6×°=10°+0.11°=10.11°.低级单位化高级单位除以60 知3－练方法点拨：将度用度、分、秒表示的方法先将度的小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒；将度、分、秒用度表示的方法：先将秒化为分，再将分化为度. 知3－练3-1.下列各式中，正确的角度互化是()A.63.5°=63°50′B.23°12′36″=23.48°C.18°18′18″=18.33°D.22.25°=22°15′D 知3－练3-2.如图，这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是：30°0°120°90° 角角度量单位角度的换算定义表示方法 4.3角第四章几何图形初步4.3.2角的比较与运算 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2角的大小比较角的和、差角平分线 知识点角的大小比较知1－讲11.度量法用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.2.叠合法把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.3-8. 知1－讲特别提醒：使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)重合，即顶点重合，一条边重合；(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧. 知1－练例1根据图4.3-9，回答下列问题：(1)比较∠FOD与∠BOD的大小；(2)比较∠AOD与∠BOD的大小；(3)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.解题秘方：利用角的两种比较大小的方法比较角的大小. 知1－练解：(1)∠FOD与∠BOD有重合边和重合顶点，且射线OF在∠BOD的内部，根据叠合法可知∠FOD<∠BOD.(2)因为∠AOD是钝角，∠BOD是锐角，所以∠AOD>∠BOD.(3)用量角器测量得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF. 知1－练1-1.用“>”“<”或“=”填空.(1)若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1______∠3；(2)若∠α+∠β=70°，∠β+∠γ=100°，则∠α______∠γ.＝< 知2－讲知识点2设有两个角∠1和∠2(∠1>∠2)，如图4.3-10①.把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合.角的和、差 知2－讲(1)两角的和：当∠2在∠1的外部时，它们的另两边(非重合的边)所成的角就是它们的和，记作：∠BAC=∠1+∠2，如图4.3-10②. 知2－讲(2)两角的差：当∠2在∠1的内部时，它们的另两边(非重合的边)所成的角就是它们的差，记作：∠GEH=∠1－∠2，如图4.3-10③. 知2－讲特别提醒●两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.●在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢60要进位，相减时要借1当60. 知2－练例2计算：(1)27°26′+53°48′；(2)90°－79°18′6″解：27°26′+53°48′=80°74′=81°14′；90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″解题秘方：利用有理数的运算法则，结合角的单位的换算和进制进行计算. 知2－练2-1.计算下列各题：(1)98°45′36″+71°22′34″；(2)13°24′15″×5；(3)58°34′16″÷4.解：原式＝170°8′10″.原式＝67°1′15″.原式＝14°38′34″. 知2－练如图4.3-11，回答下列问题.(1)∠AOC是哪两个角的和？(2)∠AOB是哪两个角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC与∠DOB相等吗？解题秘方：根据图中角的位置关系得到角的和差关系.例3 知2－练解：(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC.(2)∠AOB=∠AOD－∠BOD=∠AOC－∠BOC.(3)∠AOC=∠DOB.因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB. 知2－练3-1.在所给的：①15°，②65°，③75°，④135°，⑤145°的角中，可以用一副三角尺画出来的是()A.②④⑤B.①②④C.①③⑤D.①③④D 知3－讲知识点31.定义一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.角平分线特别解读●角平分线的“三要素”：(1)是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.●角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条. 知3－讲表示方法：如图4.3-12，若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，2∠AOC=2∠BOC=∠AOB；反之，若∠AOC=∠BOC=∠AOB，或2∠AOC=2∠BOC=∠AOB，则OC平分∠AOB. 知3－讲2.角的n等分线类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫做角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知3－练如图4.3-13，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线.例4 知3－练解题秘方：利用角平分线的定义及角的和差关系，将要求的角向已知的角进行转化，找出它们之间的数量关系进行解答. 知3－练(1)如果∠AOB=130°，那么∠COE是多少度？解：因为OC平分∠AOD，所以∠DOC=∠AOD.因为OE平分∠BOD，所以∠DOE=∠BOD.所以∠COE=∠DOC+∠DOE=(∠AOD+∠BOD)=∠AOB=×130°=65°. 知3－练(2)在(1)的条件下，如果∠DOC=20°，那么∠BOE是多少度？解：由(1)可知∠COE=65°，因为∠DOC=20°，所以∠DOE=∠COE－∠DOC=45°.因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE=45°. 知3－练4-1.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB=120°，则∠AOD的度数为()A.30°B.50°C.60°D.90°D 知3－练如图4.3-14，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠EOD=90°.例5 知3－练(1)求∠BOD的度数；解题秘方：利用∠BOD=∠BOC+∠DOC求解即可；解：因为∠AOC=50°，OD平分∠AOC，所以∠DOC=∠AOC=25°，∠BOC=180°－∠AOC=180°－50°=130°，所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=130°+25°=155°. 知3－练(2)小明发现OE平分∠BOC，请你通过计算说明理由.解题秘方：分别求出∠COE和∠BOE的度数即可.解：因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－25°=65°.又因为∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC. 知3－练5-1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有()①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC.A.4个B.3个C.2个D.1个C 角的比较与运算角的比较与运算角的比较角的运算度量法叠合法角的和差角的平分线 4.3角第四章几何图形初步4.3.3余角和补角 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2余角和补角余角、补角的性质方位角 知识点余角和补角知1－讲11.余角如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.数学语言：如果∠1+∠2=90°，就说∠1是∠2的余角，或∠1与∠2互为余角，如图4.3-22. 知1－讲2.补角如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.数学语言：如果∠3+∠4=180°，就说∠3是∠4的补角，或∠3与∠4互为补角，如图4.3-23. 知1－讲3.一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.特别解读1.互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2.互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角α的余角为90°－α，补角为180°－α. 知1－练例1已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.解题秘方：紧扣余角和补角的定义结合数量关系列方程解答. 知1－练解：设这个角的度数是x，则这个角的补角为(180°－x)，余角为(90°－x).则(180°－x)－3(90°－x)=10°，解这个方程得x=50°.所以这个角的度数为50°. 知1－练1-1.[中考·武威]若∠A=40°，则∠A的余角的大小是()A.50°B.60°C.140°D.160°A 知1－练1-2.若∠α与∠β互为补角，∠β是∠α的2倍，则∠α的度数为()A.20°B.30°C.40°D.60°D 知1－练如图4.3-24，点O为直线AB上一点，∠AOC=∠DOE=90°.解题秘方：由已知条件，结合互为余角、互为补角的定义解答.例2 知1－练解：因为点O为直线AB上一点，所以∠BOC+∠AOC=180°180°，∠DOE+∠1+∠4=180°(平角的定义).因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∠1+∠4=90°，所以图中互余的角有4对，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.(1)图中互余的角有几对？各是哪些？ 知1－练解：由已知得，∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°.因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3.所以∠3+∠BOD=180°.因为∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，所以∠2=∠4.所以∠2+∠AOE=180°.°，(2)图中互补的角有几对？各是哪些？ 知1－练又∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°，所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE和∠BOC. 知1－练2-1.如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE=60°，∠BOE=∠EOC，则下列四个结论正确的有()①∠BOD=30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对.A.1个B.2个C.3个D.4个D 知2－讲知识点21.余角的性质(1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.余角、补角的性质 知2－讲2.补角的性质(1)同角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)等角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4. 知2－讲特别提醒1.“同角”指同一个角“，等角”指度数相等的角.2.余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据. 知2－练如图4.3-25，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1+∠2=180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由.例3解题秘方：先找出与∠1和∠2互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2相等的角. 知2－练解：因为∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，所以∠3=∠2.因为∠1+∠4=180°，∠1+∠2=180°，所以∠4=∠2.因为∠2+∠5=180°，∠6+∠5=180°，所以∠2=∠6.所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等 知2－练3-1.如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，∠DOE=90°.(1)写出∠COD的余角；解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE. 知2－练(2)∠AOD和∠COE相等吗？为什么？除90°的角外，还有哪些相等的角？请说明理由；解：相等．因为O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.所以∠AOD＋∠COD＝90°.又因为∠COE＋∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠COE(同角的余角相等)．相等的角还有∠BOE＝∠COD.理由：因为∠COD＋∠COE＝90°，∠BOE＋∠COE＝90°，所以∠BOE＝∠COD. 知2－练(3)写出∠COD的补角.解：∠COD的补角为∠AOE. 知2－练如图4.3-26，已知O是直线AB上的一点，OC是一条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，OE平分∠BOC吗？为什么？解题秘方：紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等.例4 知2－练解：OE平分∠BOC.理由如下：因为∠DOE=90°，所以∠DOC+∠COE=90°.又因为∠AOB=180°，所以∠AOD+∠BOE=90°.又因为OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC.所以∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC. 知2－练4-1.如图，如果∠AOB=∠COD=90°，那么∠1=∠2，这是根据()A.直角都相等B.等角的余角相等C.同角的余角相等D.同角的补角相等C 知3－讲知识点31.方位角用角度和方向表示方位的角，如图4.3-27，与地面上的方向顺序相同.方位角 知3－讲2.方位角的描述一般地，方位角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角.特殊方位角：(1)东北方向表示以正北为角的始边，向东转45°时的射线的方向，又叫北偏东45°；(2)东南方向为南偏东45°；(3)西南方向为南偏西45°；(4)西北方向为北偏西45°. 知3－讲特别提醒1.在平面图上方向为“上北，下南，左西，右东”.2.方位角大都用射线与正北或正南方向的夹角来表示，所以把南或北写在前，把东或西写在后，用两个方向表示(如北偏东60°). 知3－练例5在图4.3-28中画出表示下列方向的射线：(1)北偏东30°；(2)北偏西65°；(3)南偏西25°. 知3－练解题秘方：“偏”的意思是“旋转”，如“北偏东”是指“由正北向东旋转”.解：如图4.3-29.(1)射线OA表示北偏东30°；(2)射线OB表示北偏西65°；(3)射线OC表示南偏西25°. 知3－练5-1.如图，根据点A，B，C，D，E在图中的位置填空.(1)射线OA表示__________；(2)射线OB表示__________；(3)射线OC表示__________；(4)射线OD表示__________；(5)射线OE表示___________.东北方向北偏西30°南偏西60°正南方向南偏东50° 知3－练如图4.3-30，已知A点在O点的南偏西75°方向上，∠AOB=135°，则点B在点O的什么方向上？例6解题秘方：求方位角就是求方向线与南北方向线之间的夹角. 知3－练解：因为点A在点O的南偏西75°方向上，所以∠SOA=75°.所以∠WOA=90°－75°=15°.又因为∠AOB=135°，所以∠NOB=∠AOB－∠WON－∠WOA=135°－90°－15°=30°.所以点B在点O的北偏东30°方向上.南北线和东西线的夹角等于90° 知3－练6-1.在一张城市地图上，有学校、医院、图书馆三地，由于墨迹污染，图书馆的具体位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东30°方向，在医院的西北方向，你能确定图书馆的位置吗？请画出来. 知3－练解：如图． 余角和补角余角和补角数量位置余角补角定义性质方位角