人教版七年级数学上册（第四章 几何图形初步）4.2 直线、射线、线段（学习、上课资料）

4.2直线、射线、线段第四章几何图形初步 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2直线射线线段线段的画法及长短比较线段的和差倍分线段的基本事实 知识点直线知1－讲11.认识直线表示方法(1)用直线上任意表示两个点的大写字母表示，如直线AB；(2)用一个小写字母表示，如直线l特征(1)无端点；(2)向两边无限延伸；(3)不可度量基本事实经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为：两点确定一条直线 知1－讲2.点与直线的位置关系(1)点在直线上，或者说直线经过点；(2)点在直线外，或者说直线不经过点. 知1－讲3.两条直线相交当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.如图4.2-1，可以说成直线a与直线b相交于点O. 知1－讲特别解读●直线的基本事实中“有”“并且只有”这两个关键词，“有”表示存在，“只有”表示唯一，即过两点一定能画出直线，而且这样的直线只有一条.●两条直线相交时，有且只有一个交点，如果交点个数不唯一，那么这两条直线重合. 知1－练例1平面内有三个点，过其中任意两点画直线，一共可以画几条直线？画图加以说明.解题秘方：紧扣“直线的基本事实”，根据三点的位置情况，逐一画出图形. 知1－练解：当三点在同一直线上时，可以画一条直线，如图4.2-2①；当三点不在同一直线上时，可以画三条直线，如图4.2-2②.也称为两两相交 知1－练方法点拨：当点的位置关系不确定时就要进行分类讨论.过任意三点都不在同一直线上的n个点，可以画条直线. 知1－练1-1.[中考·大庆]如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有_______个交点．190 知2－讲知识点21.定义直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点.2.特征有一个端点，不可度量，可以向一个方向无限延伸.射线 知2－讲3.表示方法(1)用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)；(2)用一个小写字母表示. 知2－讲特别提醒用两个大写字母表示射线时，其中必有一个是端点字母，且端点字母要写在前面. 知2－练例2如图4.2-3，A，B，C是同一直线上的三点，下列说法正确的是()A.射线AB与射线BA是同一条射线B.射线AB与射线BC是同一条射线C.射线AB与射线AC是同一条射线D.射线BA与射线BC是同一条射线 知2－练解题秘方：根据射线的定义进行判断.答案：C解：选项A，B中的两条射线的端点不同，所以选项A，B不正确；选项C中的两条射线的端点和延伸方向都相同，所以选项C正确；选项D中射线BA与射线BC的延伸方向不同，所以选项D不正确. 知2－练2-1.下列说法正确的是()A.射线PA和射线AP是同一条射线B.射线OA的长度是12cmC.直线ab，cd相交于点MD.两点确定一条直线D 知3－讲知识点31.定义直线上两点及两点间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.2.特征(1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短.3.表示方法(1)用线段的两个端点的大写字母表示；(2)用一个小写字母表示.线段 知3－讲特别解读1.线段、射线、直线表示方法都一样，只是射线有方向性，故用两个大写字母表示时有顺序，而线段和直线没有方向性.2.在用两个大写字母表示直线、射线、线段时，两个大写字母前面还应加上直线，射线，线段，其中表示线段时，“线段”两个字可以省略. 知3－讲4.直线、射线、线段的区别与联系直线射线线段区别图形表示方法直线AB或直线BA或直线l射线OA或射线l线段AB或线段BA或线段a端点个数012 知3－讲直线射线线段区别延伸情况向两方无限延伸向一方无限延伸不能延伸度量情况不能度量不能度量能度量联系射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 知3－练例3如图4.2-4，在平面内有四个点A，B，C，D，请你用直尺按下列要求画图：(1)作射线CD；(2)作直线AD；(3)连接AB；(4)作线段BD与直线AC相交于点O. 知3－练解题秘方：紧扣直线、射线、线段的概念画图.解：(1)(2)(3)(4)如图4.2-5. 知3－练3-1.[中考·河北]如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是()A.aB.bC.cD.dA 知4－讲知识点41.尺规作图在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.线段的画法及长短比较 知4－讲2.画一条线段等于已知线段a(1)方法一：利用刻度尺先量出已知线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.(2)方法二：如图4.2-6，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC上截取AB=a(这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图). 知4－讲3.线段的长短比较(1)度量法：利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较.(2)叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较.借助圆规操作 知4－讲特别解读1.比较线段的长短实质就是比较线段长度的大小.2.当两条线段的长短差别不大，而又不便放在一起比较时，运用度量法；当两条线段能够放在一起而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法.3.度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行的，从“数”的方面比较，一般用度量法；从“形”的方面比较，一般用叠合法. 知4－练例4如图4.2-7是一张三角形纸片，你能比较线段AB与线段BC的长短吗？ 知4－练解题秘方：可以利用度量法，分别量出每条线段的长度，然后进行比较，或者利用叠合法进行比较.解：方法一度量法.用刻度尺量得AB=1.7cm，BC=1.3cm，所以AB>BC.方法二叠合法.如图4.2-7，将圆规的针尖放在B点，装有铅笔的一端放在C点，将圆规绕B点旋转，圆弧与AB交于D点.所以AB>BC. 知4－练4-1.要比较线段AB与CD的长短，小明将点A与点C重合并使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则AB与CD相比较，()A.AB<CDB.AB>CDC.AB=CDD.无法判断B 知5－讲知识点51.线段的和与差如图4.2-8，已知线段a，b(且a>b).线段的和差倍分 知5－讲(1)线段的和：在直线l上作线段AB=a，再在AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b，如图4.2-9①.(2)线段的差：在直线l上作线段AB=a，再在线段AB上作线段BD=b，则线段AD就是a与b的差，记作AD=a－b，如图4.2-9②. 特别提醒几何中线段的和差与代数中数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段.知5－讲 知5－讲2.线段的中点的概念把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.如图4.2-10，如果M是线段AB的中点，则有AM=BM=AB.特别提醒线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上. 知5－讲3.等分线段(1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点.如图4.2-11，M，N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB=AB.特别提醒线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上. 知5－讲(2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点.如图4.2-12，M，N，P是线段AB的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB. 知5－练如图4.2-13，若BC=CD，则BD=_____CD，BC=____BD，BC____CE，AC____CD(后两空填“>”“<”或“=”).例5解题秘方：紧扣线段的和差倍分的意义进行解答.2<> 知5－练解：因为BC=CD，所以BD=BC+CD=CD+CD=2CD，BC=BD，BC=CD=CE－DE<CE，AC=AB+BC=AB+CD>CD. 知5－练5-1.[中考·桂林]如图，点C是线段AB的中点，若AC=2cm，则AB=______cm．4 知5－练5-2.如图，点C是线段AB的中点，E，F是AC的三等分点.若BF=8cm，则线段AB的长是______cm.12 知6－讲知识点6线段的基本事实线段的基本事实两点间的距离举例两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短定义性质在所有连接A，B两点的线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离(1)存在性；(2)最短性；(3)唯一性 警示误区两点的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形.因此不能把A，B两点的距离说成是线段AB.另外，连接两点是指画出以这两点为端点的线段.知6－讲 知6－练在同一个学校上学的小明、小亮、小红三名同学分别住在A，B，C三个住宅区，如图4.2-14，A，B，C三点共线，且AB=40m，BC=100m，他们打算合租一辆车去上学.由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三名同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？例6 知6－练解题秘方：根据停靠点的不同位置，分别计算出他们步行到停靠点的路程之和，再进行比较，确定位置. 知6－练解：分情况讨论如下：(1)若停靠点设在A住宅区，则他们的路程总和为40+140=180(m)；(2)若停靠点设在A住宅区与B住宅区之间(不包括A，B住宅区)，则他们的路程总和大于140m且小于180m；(3)若停靠点设在B住宅区，则他们的路程总和为140m；(4)若停靠点设在B住宅区与C住宅区之间(不包括B，C住宅区)，则他们的路程总和大于140m且小于240m； 知6－练(5)若停靠点设在C住宅区，则他们的路程总和为140+100=240(m).综上所述，为使三名同学步行到停靠点的路程之和最小，停靠点应设在B住宅区. 知6－练6-1.知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面，下面就两个情景请你做出评判.情景一：如图①，从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题.解：因为两点之间，线段最短． 知6－练情景二：如图②，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图②中表示出抽水站的位置，并说明你的理由.解：点P即抽水站位置，如图所示． 知6－练你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？解：理由：两点之间的所有连线中，线段最短．赞同情景二中运用知识的做法，应用数学知识为人类服务时应注意不能以破坏环境为代价． 知6－练如图4.2-15，有一个正方体盒子放在桌面上，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？你能画出来吗？与你的同伴交流一下.例7 知6－练解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路径，而蜘蛛走的路径是正方体的不同侧面，因此应在正方体的侧面展开图中寻找.其实质是把立体图形展开为平面图形，也就是把正方体的不同侧面展开成同一平面，利用“两点之间，线段最短”确定最短的路径. 知6－练解：有四种走法，分别是：B→F→A，B→G→A，B→M→A，B→N→A(F，G，M，N分别为DE，CD，KE，KH的中点)，如图4.2-16. 知6－练7-1.如图，一观测塔底座部分是长方体，现在从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB=BC，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N的位置. 知6－练解：如图，将长方体的三个面展开，连接AD′，分别与BB′，CC′交于点M，N，点M，N即为所求． 直线、射线、线段三线(直线、射线、线段)直线的确定性线段的最短性定义表示法端点数两点间的距离