八年级数学（第十六章 二次根式）16.1 二次根式（沪科版 学习、上课资料）

16.1二次根式第十六章二次根式 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次根式的定义二次根式有意义的条件二次根式的性质 知1－讲感悟新知知识点二次根式的定义11.二次根式的定义 我们把形式如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 感悟新知知1－讲特别提醒二次根式应满足两个条件：1.含有二次根号“”；2.被开方数是正数或0.特别地，形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与的乘积，当b是带分数时，要写成假分数的形式. 感悟新知2.二次根式的特征(1)必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”.(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.(3)双重非负性：二次根式表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0.知1－讲 知1－练感悟新知下列各式中，是二次根式的有()①；②；③3；④；⑤；⑥.A.2个B.3个C.4个D.5个例1 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣二次根式定义中的“两个条件”进行识别. 知1－练感悟新知解:①是二次根式，②没有意义，不是二次根式，③3是三次根式，不是二次根式，④没有意义，不是二次根式，⑤是二次根式，⑥是二次根式，所以①⑤⑥是二次根式，共3个，故选B.答案：B 感悟新知知1－练特别提醒1.二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如，等都是二次根式.2.像a+1(a≥0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 感悟新知知1－练(1)若y=+－3，则(x+y)2024等于()A.1B.5C.－5D.－1(2)实数a，b满足+4a2+4ab+b2=0，则ba的值为()A.2B.C.－2D.－例2 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a≥0，≥0”进行解答. 感悟新知知1－练解法提醒二次根式的双重非负性“a≥0，a≥0”在解题中的应用有两种情况：一是当一个式子有两个二次根式，且被开方数互为相反数时，通常先利用二次根式a的被开方数的非负性a≥0，建立不等式组，再解不等式组确定字母的值； 感悟新知知1－练二是当一个式子含有几个非负数：“绝对值，偶次幂，二次根式，即：|a|≥0，a2n≥0(n为正整数)，a≥0(a≥0).”式子的和为0时，通常先利用每个式子都为0建立方程组，再解这个方程组确定字母的值. 知1－练感悟新知解：(1)∵y=+－3，∴x－2≥0，4－2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x=2．∴y=+－3=0+0－3=－3．∴(x+y)2024=(2－3)2024=(－1)2024=1．故选A． 知1－练感悟新知(2)整理，得+(2a+b)2=0.由二次根式的非负性“≥0”及平方的非负性“m2≥0”得∴所以ba=2－1=.故选B.答案：(1)A(2)B 感悟新知知2－讲知识点二次根式有意义的条件21.二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数，反之也成立；即有意义⇔a≥0. 知2－讲感悟新知巧记口诀二次根式有意义，被开方数非负数；二次根式无意义，被开方数是负数；单个二次根式时，列出不等式求解；复合形式的式子，列不等式组求解. 感悟新知知2－讲2.求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数.(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0. 感悟新知知2－讲(3)如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0. 感悟新知知2－练当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)+(x+5)0；(2)；(3)－；(4)；(5)；(6).例3 感悟新知知2－练解题秘方：紧扣“求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法”求解. 知2－练感悟新知解：(1)欲使+(x+5)0有意义，则必有∴x≤3且x≠5.(2)欲使有意义，则必有∴x＞.(3)欲－有意义，则必有∴2≤x≤5. 知2－练感悟新知(4)欲使有意义，则必有∴x≥－4且x≠2.(5)欲使有意义，则必有－x2≥0，∴x2≤0，∴x=0.(6)欲使有意义，则必有2x2+1≥0，∵x2≥0，∴2x2+1≥1.∴x的取值范围是全体实数. 感悟新知知2－练解法提醒求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确各种式子有意义的条件；第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组；第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围. 感悟新知知3－讲知识点二次根式的性质31.二次根式的性质(1)()2=a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；(2)=|a|=即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值. 感悟新知知3－讲2.与()2(a≥0)的异同点： 知3－讲感悟新知应用提醒1.正用公式：()2=5，()2=m2+1.2.逆用公式：若a≥0，则a=()2，如2=()2，=()2.注意：无论正用()2=a(a≥0)进行化简，还是逆用，都要注意前提：a≥0. 知3－讲感悟新知应用提醒1.正用公式：=|3－π|=π－3.2.逆用公式：3==(以后将会学习).注意：化简形如a2的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值符号. 知3－练感悟新知计算：(1)()2；(2)；(3)；(4)(－2)2；(5).例4解题秘方：紧扣“二次根式的性质的两公式”进行计算. 知3－练感悟新知解：(1)()2=.(2)=｜6｜=6.(3)==｜101｜=101=.(4)(－2)2=(－2)2×()2=8.(5)=｜3.14－π｜=π－3.14. 知3－练感悟新知特别提醒计算二次根式的注意事项：1.计算二次根式要严格按照()2=a(a≥0)，=｜a｜进行.2.正确区分()2(a≥0)与的异同点是计算二次根式的关键. 感悟新知知3－练在实数范围内分解因式：(1)x2－5；(2)x4－4x2+4.例5解题秘方：逆用()2=a(a≥0)分解因式.逆用二次根式的性质时，必须先确定该数为非负数，故一般只对数进行变形，对字母必须谨慎. 知3－练感悟新知解：(1)x2－5=x2－()2=(x+)(x－).(2)x4－4x2+4=(x2－2)2=［(x+)(x－)］2=(x+)2(x－)2. 知3－练感悟新知解法提醒在实数范围内分解因式的策略：1.在实数范围内分解因式时，常常把正数a转化为()2，以便于使用平方差公式或完全平方公式进行因式分解.2.一般地，如果题目没有指明在什么范围内分解因式，都是指在实数范围内分解因式. 二次根式二次根式性质定义=|a|()2=a(a≥0)a≥0≥0