八年级数学（第十二章 一次函数）12.4 综合与实践  一次函数模型的应用（沪科版 学习、上课资料）

12.4综合与实践 一次函数模型的应用第十二章一次函数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2一次函数模型的应用选择方案 知1－讲感悟新知知识点一次函数模型的应用11.利用函数解决实际问题的基本模式 感悟新知知1－讲特别解读1.若题目中明确给出两变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式.2.若题目中明确给出两变量变化关系的图象，则由图象分辨出其函数类型，进而用待定系数法求出函数表达式. 感悟新知2.建立函数模型的一般步骤(1)获取数据；(2)列表、描点；(3)观察、猜想；(4)求出函数表达式；(5)检验并给出答案.知1－讲 知1－练感悟新知为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，小王做了一个水龙头漏水实验，他用于接水的量筒最大容量为100毫升.下表是小王同学在做实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积记录下的数据(漏出的水量精确到1毫升)：例1时间t/秒10203040506070漏出的水量V/毫升25811141720 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣建立函数模型的一般步骤，建立一次函数模型解决问题. 知1－练感悟新知解：描点，如图12.4-1所示.(1)在平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点； 知1－练感悟新知(2)如果小王同学继续做实验，试探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒)； 知1－练感悟新知解：由图12.4-1知V与t之间是一次函数的关系，设V=kt+b(k≠0)，根据表中数据知，当t=10时，V=2；当t=20时，V=5. 知1－练感悟新知技巧点拨观察图象可知所描各点大致在一条直线上，因此可认为两变量之间存在一次函数关系.注意借助其中两点的坐标求出函数表达式后需利用其余各点的坐标进行验证. 知1－练感悟新知所以解得所以V=t－1，经检验可知该函数关系满足题意.令t－1=100，得t=≈337.所以约337秒后量筒中的水会满而溢出. 知1－练感悟新知解：1小时=3600秒，将t=3600代入V=t－1，得V=1079.1079毫升≈1.1升，即按此漏水速度，1小时大约会漏水1.1升.(3)按此漏水速度，1小时会漏水多少升(精确到0.1升)？ 知1－练感悟新知小明练习100m短跑，训练时间与短跑成绩记录如下：例2时间x/月1234成绩y/s15.615.415.215 知1－练感悟新知解题秘方：根据表中的数据建立一次函数模型，再利用一次函数对数据作预测. 知1－练感悟新知方法点拨根据给定部分因变量随自变量均匀变化的数据信息，可以建立一次函数模型，利用求得的一次函数表达式，可以对数据的邻近区域进行预测.但是预测只能在数据的邻近区域，远离已知数据作预测是不可靠的. 知1－练感悟新知解：由表中数据可知，y随x均匀变化，所以设y=kx+b.任取表中两对值代入，得解得所以y=－0.2x+15.8.经检验满足题意.(1)请你为小明的100m短跑成绩y(s)与训练时间x(月)的关系建立函数模型； 知1－练感悟新知解：当x=6时，y=－0.2×6+15.8=14.6.故预测小明训练6个月的100m短跑成绩为14.6s.(2)用所求出的函数表达式预测小明训练6个月的100m短跑成绩； 知1－练感悟新知解：不能.理由：因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远如此快地提高.(理由合理即可)(3)能用所求出的函数表达式预测小明训练3年的100m短跑成绩吗？为什么？ 感悟新知知2－讲知识点选择方案21.选择方案选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，涉及的问题类型常有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，需要建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解. 知2－讲感悟新知特别提醒◆解决含多个变量的问题时，注意分析这些变量之间的关系，从中选取一个能影响其他变量的变量作为自变量，然后根据已知的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.◆选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，它往往是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最优的方案. 感悟新知知2－讲2.用一次函数选择方案的一般步骤(1)“析”：分析题意，弄清数量关系.(2)“列”：列出函数表达式、不等式或方程(组).(3)“求”：求出自变量取不同值时对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值.(4)“选”：结合实际需要选择最佳方案.注意：在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解). 知2－练感悟新知例3[中考·襄阳]某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市都在做促销活动： 感悟新知知2－练A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；B超市：买1副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA元，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB元.请解答下列问题： 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣标价与折扣间的数量关系建立一次函数模型，用方程、不等式进行分类讨论. 感悟新知知2－练(1)分别写出yA和yB与x之间的函数表达式.解：由题意得yA=(10×30+10×3x)×0.9=27x+270(x≥2)，yB=10×30+10×3(x－2)=30x+240(x≥2). 感悟新知知2－练(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？解：当yA=yB时，27x+270=30x+240，得x=10；当yA>yB时，27x+270>30x+240，得x<10；当yA<yB时，27x+270<30x+240，得x>10.∴当2≤x<10时，在B超市购买更划算；当x=10时，在两家超市购买费用一样；当x>10时，在A超市购买更划算. 感悟新知知2－练(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.解：由题意，若“只在一家超市购买”，由于x=15>10，则到A超市购买较省钱，此时yA=27x+270=27×15+270=675. 感悟新知知2－练注意本问中没有限制条件“只在一家超市购买”，因此先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球，需(10×15－20)×3×0.9=351(元)，共需费用10×30+351=651(元). 感悟新知知2－练因为651<675，所以最省钱的方案是先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买130个羽毛球.思路点拨方案最优问题，往往是将所有的方案一一列举，作出比较.本题选出花费最少的方案为最优方案. 知2－练感悟新知技巧点拨解一次函数与方程、不等式综合的实际应用问题的方法：先读懂题意，理解题干的条件和各个问题的关系，并利用题目中的信息建立函数模型，根据函数值的大小关系，建立方程、不等式模型；再分类讨论，确定不同情况下自变量的取值范围及对应的函数值范围，从而得出不同范围内的方案.本例的解答运用了分类讨论思想，解答的关键是建立函数模型. 感悟新知知2－练[三模·温州]某工厂一天使用甲、乙两台机器生产某种零件，甲机器生产完5000个零件后发生了故障，修理了2小时，继续工作.如图12.4﹣2表示甲、乙两台机器的产量与时间的关系，已知乙机器在甲机器刚维修完后的产量恰好比甲机器的产量多1000个.例4 知2－练感悟新知解题秘方：(1)由题知甲机器生产5000个后维修，可得m的值，由点E的坐标可得乙机器的生产效率； 知2－练感悟新知解：m=5000，乙机器的生产效率为1000个/时.(1)请直接写出m的值和乙机器的生产效率； 知2－练感悟新知解题秘方：(2)根据图象得出在b小时时乙机器的产量比甲机器多1000个，列方程求解可得b的值，由甲机器修理了2小时可得a的值； 知2－练感悟新知解：由题知在b小时时乙机器的产量比甲机器多1000个，所以有1000b－5000=1000，解得b=6.所以a=b－2=4．所以a=4，b=6.(2)求出a和b的值； 知2－练感悟新知解题秘方：(3)可得甲机器修理前的生产效率为5000÷4=1250(个/时)，根据题意列式表示甲、乙两台机器的产量，令t－6=x，1－n%=y，根据n，t的取值范围得x≤9，0.9＜y＜1，x，t，n都为正整数，可得5xy－4x=4，则x为5，6，7，再分类讨论即可得． 知2－练感悟新知(3)已知甲机器修理后生产效率降低n%(n是小于10的正整数)，当甲总产量追上乙时，所用的时间t(小时)恰好是整数，若机器一天内工作不得超过15小时(包括维修时间)，请求出正整数n的值． 知2－练感悟新知解：由题易得，甲机器修理后的生产效率为1250(1－n%)个/时，当甲追上乙时，(t－6)×1250(1－n%)+5000=1000t(n＜10)，且t≤15，令t－6=x，所以x≤9.令1－n%=y，所以0.9＜y＜1，所以1250xy+5000=1000(6+x)，所以5xy－4x=4， 知2－练感悟新知所以y=.因为0.9＜y＜1，所以4＜x＜8，易知x，t，n都为正整数，所以x为5，6，7，当x=5时，y==0.96，n=4；当x=6时，y=，n不是整数，不成立；当x=7时，y=，n不是整数，不成立．所以n=4． 知2－练感悟新知某县大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨.若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两仓库的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两仓库的费用分别为每吨15元和18元.设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A，B两地运往两仓库的猕猴桃费用分别为yA元和yB元.例5 知2－练感悟新知解法提醒当调运方案中涉及两个函数表达式时，要比较费用的大小，一般要分三种情况利用不等式或方程分类讨论求解；而要求得最省钱的调运方案时，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案. 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣“调运过程中费用间的关系”列出一次函数表达式，用比较法求解. 知2－练感悟新知解：由题意得，从A地运往乙仓库的猕猴桃为(200－x)吨，从B地运往甲仓库的猕猴桃为(240－x)吨，从B地运往乙仓库的猕猴桃为(60+x)吨.则yA=20x+25(200－x)=-5x+5000，yB=15(240－x)+18(60+x)=3x+4680.(1)分别求出yA，yB与x之间的函数表达式； 知2－练感悟新知技巧点拨求解调运方案问题，常借助表格来分析问题，如本题，调运情况如下表.甲乙总计Ax200－x200B240－x60+x300总计240260500 知2－练感悟新知解：因为yA－yB=(－5x+5000)－(3x+4680)=－8x+320，所以当－8x+320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；当－8x+320=0，即x=40时，两地的运费一样多；当－8x+320＜0，即x＞40时，A地的运费较少.(2)试讨论A，B两地的运费哪个较少； 知2－练感悟新知(3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出最少运费. 知2－练感悟新知解：设两地运费之和为W元，则W=yA+yB=(－5x+5000)+(3x+4680)=－2x+9680，由3x+4680≤4830，解得x≤50，所以W的最小值为－2×50+9680=9580.故当A地运往甲、乙两仓库的猕猴桃分别为50吨、150吨，B地运往甲、乙两仓库的猕猴桃分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少运费是9580元. 知2－练感悟新知特别警示由W=－2x+9680可知，W随x的增大而减小，切忌忽略第(3)问对x取值范围的限制，认为x=200时满足题意. 感悟新知知2－练某公司推销文化衫，设x(件)是推销产品的数量，y(元)是付给推销员的推销费，如图12.4﹣3表示公司每月付给推销员的推销费的两种方案，根据图象解答下列问题.例6 知2－练感悟新知解题秘方：从图象中获取求函数表达式的信息并通过图象信息选择支付方案. 知2－练感悟新知解：设这两个函数的表达式分别为y1=k1x(k1≠0)，y2=k2x+b(k2≠0).由y1关于x的函数图象经过点(30，600)，得600=30k1，解得k1=20，所以y1关于x的函数表达式为y1=20x(x≥0).由y2关于x的函数图象经过点(0，300)，点(30，600)，得b=300，600=30k2+b，解得k2=10，所以y2关于x的函数表达式为y2=10x+300(x≥0).(1)分别求y1，y2关于x的函数表达式； 知2－练感悟新知解：y1的付费方案是不推销产品没有推销费，每推销1件产品得推销费20元；y2的付费方案是保底工资300元，另外每推销1件产品再得推销费10元.(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的； 知2－练感悟新知解：①当平均每月推销产品的数量等于30件时，两种方案都可以.②当平均每月推销产品的数量多于30件时，选择y1的付费方案；③当平均每月推销产品的数量少于30件时，选择y2的付费方案.(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？ 知2－练感悟新知思路点拨(1)由待定系数法结合特殊点求解即可；(2)根据两直线与y轴的交点，结合实际进行分析；(3)根据业务能力，结合(2)中两种方案的付费方式进行解答. 感悟新知知2－练某商店销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3500元.例7 知2－练感悟新知解法提醒在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解此类问题的关键是通过题意，确定出函数的表达式，然后根据函数的增减性确定其最大值，且要注意自变量的取值范围和问题的实际意义. 知2－练感悟新知解题秘方：从列方程组求方程组解中获取求一次函数关系式的数据，并根据一次函数的性质求方案. 感悟新知知2－练(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；解：设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元.则有解得即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元. 知2－练感悟新知详解根据“销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4000元”可得10a+20b=4000；根据“销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3500元”可20a+10b=3500. 感悟新知知2－练(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.①求y关于x的函数关系式；解：根据题意得y=100x+150(100－x)，即y=－50x+15000. 感悟新知知2－练②该商店购进A型电脑、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？解：根据题意得100－x≤2x，解得x≥33.因为y=－50x+15000中，－50<0，所以y随x的增大而减小.因为x为正整数，所以当x=34时，y取得最大值，此时100－x=66.即该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大. 感悟新知知2－练③实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案. 知2－练感悟新知特别警示本题③中，容易忽视一次函数随m值变化，其增减性也发生变化，不会利用分类讨论求解而产生错误. 感悟新知知2－练解：根据题意得y=(100+m)x+150(100－x)，即y=(m－50)x+15000(33≤x≤70).当0<m<50时，m－50<0，y随x的增大而减小.所以当x=34时，y取得最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大总利润. 知2－练感悟新知详解y=(100+m)x+150·(100－x)=(100+m)x+15000－150x=(100+m－150)x+15000=(m－50)x+15000. 感悟新知知2－练当m=50时，m－50=0，y=15000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，获得总利润都相同；当50<m<100时，m－50>0，y随x的增大而增大.所以当x=70时，y取得最大值，即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大总利润. 感悟新知知2－练[中考·郴州]某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg，现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件，已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg,且每件B产品可获利900元，设生产A产品x件(产品件数为整数)，根据以上信息解答下列问题：例8 知2－练感悟新知解题秘方：从列不等式组求其解集中获取数据确定方案；由函数的增减性确定利润最大的方案. 知2－练感悟新知解：由30件产品中有x件A产品，知B产品有(30－x)件，由题意可得解得所以18≤x≤20.(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种？ 知2－练感悟新知因为产品件数为整数，所以x取整数解.所以x=18或x=19或x=20.所以生产A，B两种产品的方案有如下三种：方案一：A产品18件，B产品12件；方案二：A产品19件，B产品11件；方案三：A产品20件，B产品10件. 知2－练感悟新知(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数表达式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润. 知2－练感悟新知解：由题意可得y=700x+900(30－x)=－200x+27000，因为－200<0，所以y随x的增大而减小，又因为18≤x≤20，所以当x=18时有最大利润，此时y=－200×18+27000=23400.答：(1)中利润最大的方案是方案一，即生产A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元. 知2－练感悟新知解法提醒利用方程(组)、不等式(组)求解方案类问题的策略：求解方案类问题时，应先正确建立函数模型，确定自变量的取值范围，然后可利用函数的性质求最大(小)值；或计算出各种方案的值进行大小比较，注意自变量的整数取值问题. 综合与实践一次函数模型的应用用一次函数解决问题用函数图象解决问题用函数性质解决问题