备考2024届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第4讲幂函数指数与指数函数

第4讲幂函数、指数与指数函数1.[命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在（－∞，0）上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（　B　）A.f（x）＝x－1B.f（x）＝x－2C.f（x）＝x3D.f（x）＝x13解析　f（x）＝x－1只满足性质②，f（x）＝x3只满足性质③，f（x）＝x13只满足性质③，f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上是增函数，其值域是{y｜y＞0}.故选B.2.[命题点1]若（a+1）－13＜（3－2a）－13，则实数a的取值范围是　（－∞，－1）∪（23，32）　.解析　由幂函数y＝x－13的图象（图略）可知，不等式（a+1）－13＜（3－2a）－13等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或23＜a＜32.3.[命题点2]（a23b12）·（－3a12b13）÷（13a16b56）＝　－9a　.解析　（a23b12）·（－3a12b13）÷（13a16b56）＝－9a23＋12－16·b12＋13－56＝－9a.4.[命题点3]若函数f（x）＝（4mx－n）2的大致图象如图所示，则（　B　）A.m＞0，0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＜0，0＜n＜1D.m＜0，n＞1解析　令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即x＝1mlog4n，由图可知，1mlog4n＞0，故当m＞0时，n＞1，当m＜0时，0＜n＜1，排除A，D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→＋∞时，y→0，则f（x）→n2，易知C不符合题意.故选B.5.[命题点4角度2]若2x2+1≤（14）x－2，则函数y＝2x的值域是（　B　） A.[18，2）B.[18，2]C.（－∞，18）D.[2，＋∞）解析　因为2x2+1≤（14）x－2＝24－2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2－3，2]，即[18，2].故选B.6.[命题点4角度3/2024云南省昆明市第二十四中学模拟]已知奇函数f（x）＝aex－1aex在R上为增函数，则a＝（　A　）A.1B.－1C.2D.－2解析　因为f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，即a－1a＝0，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，f（x）＝ex－1ex，定义域为R，因为函数y＝ex和y＝－1ex在R上都为增函数，所以f（x）在R上为增函数，且f（－x）＝e－x－1e－x＝1ex－ex＝－f（x），故a＝1符合题意；当a＝－1时，f（x）＝－ex＋1ex，在R上为减函数，不合题意，所以a＝1.故选A.7.[命题点4/2024辽宁期中]已知函数f（x）＝ex－1ex+1，若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则2a＋1b的最小值为　4　.解析　因为对任意的x∈R，ex＋1＞0，所以函数f（x）＝ex－1ex+1的定义域为R.因为f（－x）＝e－x－1e－x+1＝1－ex1+ex＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.因为f（x）＝ex+1－2ex+1＝1－2ex+1，且函数y＝ex＋1在R上为增函数，所以函数f（x）＝ex－1ex+1在R上为增函数.若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则f（a）＝－f（2b－2）＝f（2－2b），所以a＝2－2b，即a＋2b＝2， 所以2a＋1b＝12（a＋2b）（2a＋1b）＝12（4＋ab＋4ba）≥12（4＋2ab·4ba）＝4，当且仅当a=1，b＝12时，等号成立，故2a＋1b的最小值为4.