备考2024届高考数学一轮复习强化训练第一章集合常用逻辑用语与不等式第2讲常用逻辑用语突破双变量“存在性”或“任意性”问题

突破双变量“存在性”或“任意性”问题角度1　双变量“存在性”或“任意性”的等式问题例5[2023江苏省宿迁市模拟]定义域为R的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），[f（x）]4－（4＋x2)[f（x)]2＋4x2＝0对任意的实数x都成立，且值域为[0，2].设函数g（x）＝2x－m－2，x≤2，－m+2，x>2，若对任意的x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使g（x2）＝f（x1）成立，则实数m的取值范围为（　A　）A.[－5，0]B.[－2，0]C.（－1，0）D.（0，1]解析　由[f（x）]4－（4＋x2）[f（x）]2＋4x2＝0，得{[f（x）]2－4}{[f（x）]2－x2}＝0，解得f（x）＝±x或f（x）＝±2.因为f（x）为偶函数，且值域为[0，2]，所以f（x）＝2，x≤－2，｜x｜,－2<x<2，2，x≥2.若对任意x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使g（x2）＝f（x1）成立，则f（x）在（－4，－1）上的值域是g（x）在（－1，＋∞）上的值域的子集.易知当x∈（－4，－1）时，f（x）∈（1，2]；当x∈（－1，＋∞）时，g（x）∈（－4－m，2－m]，所以－4－m≤1，2－m≥2，所以m∈[－5，0].例6[2023黑龙江省哈尔滨市第一中学模拟]已知函数f（x）＝lg1－xx+1，函数g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围为　（2，＋∞）　.解析　函数g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，则f（x）和g（x）在x∈（0，1）上的值域的交集不为空集.当0＜x＜1时，f（x）＝lg1－xx+1＝lg（－1＋2x+1）显然单调递减，所以其值域为（－∞，0）.若a＞1，则g（x）＝2－ax在（0，1）上单调递减，所以g（x）的值域为（2－a，1），此时只需2－a＜0，即a＞2，所以a＞2；若0＜a＜1，则g（x）＝2－ax在（0，1）上单调递增，可得g（x）的值域为（1，2－a），此时（1，2－a）与（－∞，0）的交集显然为空集，不满足题意.综上，实数a的取值范围是（2，＋∞）.方法技巧 1.解决双变量“存在性”或“任意性”的等式问题的关键：一是理解量词的含义，“脱去”量词，转化为两个函数的值域之间的问题；二是会利用函数的单调性，求函数的值域.2.常见的转化形式（1）∀x1∈M，∃x2∈N，f（x1）＝g（x2）⇔f（x）的值域为g（x）的值域的子集；（2）∃x1∈M，x2∈N，f（x1）＝g（x2）⇔f（x）的值域与g（x）的值域的交集不为空集.训练3[2023上海市华东师范大学松江实验高级中学模拟]已知函数f（x）＝3×2x＋2，对于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，则实数m的取值范围为　[log243，1]　.解析　x1∈[0，1]，故f（x1）∈[3＋2，3×2＋2]＝[5，8]，由f（x1）＋32f（x2＋m）＝20得f（x1）＝20－32f（x2＋m），因为x2∈[0，1]，所以20－32f（x2＋m）∈[17－9×2m，17－9×2m－1]，若对于任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，则[5，8]⊆[17－9×2m，17－9×2m－1]，所以17－9×2m≤5，17－9×2m－1≥8，解得m≤1，m≥log243，故m∈[log243，1].角度2　双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题例7[2024四川仁寿第一中学模拟]已知函数f（x）＝x＋4x，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是　[12，＋∞）　.解析　依题意知f（x）max（x∈[12，1]）≤g（x）max（x∈[2，3]）.因为f（x）在[12，1]上是减函数，所以当x∈[12，1]时f（x）max＝f（12）＝172.又g（x）在[2，3]上是增函数，所以当x∈[2，3]时，g（x）max＝g（3）＝8＋a.因此172≤8＋a，即a≥12，所以a的取值范围是[12，＋∞）.方法技巧（1）∀x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max；（2）∃x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）min；（3）∀x1∈M，∃x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min；（4）∃x1∈M，∀x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. 训练4[2024河北省唐县第一中学模拟]已知函数f（x）＝x2－2x－1，g（x）＝logax（a＞0且a≠1），若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，则实数a的取值范围是　（1，2）　.解析　f（x）＝（x－1）2－2，当x∈[－1，2]时，f（x）max＝f（－1）＝2.因为对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，因此函数f（x）在[－1，2]上的最大值小于函数g（x）在[2，4]上的最大值，而当0＜a＜1，x∈[2，4]时，logax＜0，不符合题意，于是a＞1，函数g（x）＝logax在[2，4]上单调递增，则loga4＞2，即1＜a2＜4，解得1＜a＜2，所以实数a的取值范围是（1，2）.