2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定义．若向量香䁞，，，向量为单位向量，则的取值范围是（）A．[0，6]B．[6，12]C．[0，6）D．（﹣1，5）2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（䁞）2＝32；②䁞•（䁞䁞䁞）＝0；③䁞与䁞的夹角为60°，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y﹣1＝0B．2x﹣y+1＝0C．x﹣2y+1＝0D．x﹣y+1＝04．（5分）已知椭圆䁞香＞＞的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°．若△PF1F2的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（）䁞A．B．C．D．5．（5分）已知F1，F2是椭圆䁞的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠䁞F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．4B．3C．2D．16．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（）A．0＜q＜1B．a6＞1C．T12＞1D．T13＞1䁞䁞7．（5分）若数列{an}满足䁞，䁞，若对任意的正整数都有an＜2，则实数m的最大值为（）䁞A．B．1C．2D．48．（5分）若函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，则a＝（）,A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有B．是，共线的充要条件C．若，共线，则AB//CDD．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若香，，，则P，A，B，C四点共面（多选）10．（5分）过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（）A．B．∠A1FB1＝90°C．直线MB∥x轴D．|AF|•|BF|的最小值是（多选）11．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1+SnSn+1＝0，则下列说法正确的有（）䁞A．数列{an}的前n项和为Sn䁞B．数列{}为递增数列䁞C．数列{an}的通项公式为an香䁞D．数列{an}的最大项为a1䁞（多选）12．（5分）若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）䁞4xA．香B．f（x）＝xC．f（x）＝sinxD．f（x）＝e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，,若7，则与的夹角的余弦值等于．14．（5分）直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点．15．（5分）设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．香＞16．（5分）若函数f（x）䁞的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围香＜为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．DE⊥平面BCD，且．（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．18．（12分）在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y＝3x+3上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2﹣an．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（12分）已知数列{a，，．n}的前n项和为䁞䁞,䁞（1）记䁞，证明：{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n．21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆：䁞香＞＞的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣a（x+1）ln（x+1）+（a﹣2）x．（1）当a＝2时，讨论f（x）的单调性；（2）当x[0，π]时，f（x）≥cosx+1恒成立，求a的取值范围．,2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定义．若向量香䁞，，，向量为单位向量，则的取值范围是（）A．[0，6]B．[6，12]C．[0，6）D．（﹣1，5）【解答】解：由题意知，䁞．设与的夹角为θ，则香䁛香䁛．又θ[0，π]，∴cosθ[﹣1，1]．∴，䁞h，故选：B．2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（䁞）2＝32；②䁞•（䁞䁞䁞）＝0；③䁞与䁞的夹角为60°，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①（䁞）2＝（䁞）2+（）2+（）2+2䁞•2䁞•2•32，故正确，对于②䁞•（䁞䁞䁞）䁞•䁞0，故②正确，对于③∵䁞∥䁞，AD1，AC，D1C，分别为面的对角线，∴∠AD1C＝60°，∴䁞与䁞的夹角为120°，故错误，故选：C．3．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）,A．x+y﹣1＝0B．2x﹣y+1＝0C．x﹣2y+1＝0D．x﹣y+1＝0【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（﹣1，2），那么过两圆圆心的直线为：，䁞䁞䁞即：x+y﹣1＝0，与公共弦垂直且平分．故选：A．4．（5分）已知椭圆䁞香＞＞的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°．若△PF1F2的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（）䁞A．B．C．D．【解答】解：根据勾股定理得到：，即，䁞䁞䁞△PF1F2的内切圆面积为，故，䁞䁞根据等面积法得到：香䁞，2222故䁞，4a﹣2ac﹣2c＝4c，即3e+e﹣2＝0，解得或e＝﹣1（舍去）．故选：C．5．（5分）已知F1，F2是椭圆䁞的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠䁞F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵P是焦点为F1、F2的椭圆䁞上一点，PQ∠F1PF2的外角平分䁞线，QF1⊥PQ，设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，∴|PM|＝|PF1|，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝10，由题意知OQ是△F1F2M的中位线，∴|OQ|＝a＝5，∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，,∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a﹣b＝5﹣4＝1．故选：D．6．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（）A．0＜q＜1B．a6＞1C．T12＞1D．T13＞1【解答】解：∵等比数列{an}的各项均为正数，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，∴（a6﹣1）（a7﹣1）＜0，∵a1＞1，若a6＜1，则一定有a7＜1，不符合，由题意得a6＞1，a7＜1，∴0＜q＜1．∵a6a7+1＞2，∴a6a7＞1，T612＝a1a2a3…a12＝（a6a7）＞1，T1313＝a7＜1，∴满足Tn＞1的最大正整数n的值为12．故选：D．䁞䁞7．（5分）若数列{an}满足䁞，䁞，若对任意的正整数都有an＜2，则实数m的最大值为（）䁞A．B．1C．2D．4【解答】解：∵䁞，∴䁞䁞香䁞䁞，䁞若m＞2，则䁞香＞，则an+1＞an+m﹣2，则an＞a1+（n﹣1）（m﹣2），那么an可以无限的大下去，不符合题意；若m＝2，则an+1﹣an＞0，则an+1＞an，数列{an}是递增数列，䁞又䁞，故an＞0，,䁞又䁞香，故an+1﹣2与an﹣2同号，则an＜2恒成立，符合题意，故选：C．8．（5分）若函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：∵f'（x）＝ex+（x+a）ex＝（x+a+1）ex，函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，f′（1）＝0，∴a+2＝0，∴a＝﹣2，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有B．是，共线的充要条件C．若，共线，则AB//CDD．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若香，，，则P，A，B，C四点共面【解答】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；若，共线，则（同向）或（反向），故B是假命题；只有当x+y+z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题，若，共线，则直线AB，CD平行或重合，故C是假命题，故选：BCD．（多选）10．（5分）过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（）,A．B．∠A1FB1＝90°C．直线MB∥x轴D．|AF|•|BF|的最小值是2【解答】解：由题意可知，抛物线y＝3x的焦点F的坐标为香，，准线方程为，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，2代入y＝3x，得，所以䁞，䁞，则䁞香䁞香䁞，所以香䁞，䁞香，䁞䁞䁞䁞，故A错误，䁞因为香，䁞，香，，香，三点共线，䁞所以，所以䁞，䁞又䁞，所以yM＝y2，所以直线MB∥x轴，所以C正确，由题意可得A1，B1的坐标分别为香，䁞，香，，所以䁞䁞香，䁞香，䁞，所以∠A1FB1＝90°，所以B正确，设直线AB的倾斜角为θ（θ≠0），则，，䁞香䁛䁞香䁛所以，䁞香䁛䁞香䁛䁞香䁛䁛㠲当且仅当AB⊥x轴时取等号，所以D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1+SnSn+1＝0，则下列说法正确的有（）䁞A．数列{an}的前n项和为Sn,䁞B．数列{}为递增数列䁞C．数列{an}的通项公式为an香䁞D．数列{an}的最大项为a1【解答】解：由an+1+SnSn+1＝0，得Sn+1﹣Sn＝﹣SnSn+1，䁞䁞䁞䁞∴䁞，即䁞，䁞䁞䁞䁞䁞又䁞，∴数列{}为以1为首项，以1为公差的等差数列，䁞䁞䁞䁞则䁞香䁞䁞，可得，故AB正确；䁞䁞䁞䁞当n≥2时，䁞䁞香䁞香䁞，䁞，䁞∴䁞，∴数列{an}的最大项为a1，故C错误，D正确．，香䁞故选：ABD．䁞（多选）12．（5分）若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）䁞4xA．香B．f（x）＝xC．f（x）＝sinxD．f（x）＝e䁞䁞【解答】解：直线的斜率为k，䁞䁞由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A不能选；433䁞䁞由f（x）＝x的导数为f′（x）＝4x，而4x，解得x，故B可以选；䁞由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C可以选；xxx䁞由f（x）＝e的导数为f′（x）＝e，而e，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，䁞若7，则与的夹角的余弦值等于．,【解答】解：由题意得：9＝（）229+4﹣2，∴2，∵7，∴香•（）香＝6香䁞＝6，∴2，∴4××香䁛＜，＞，䁞∴与的夹角的余弦值为cos＜，＞．䁞故答案为：．14．（5分）直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点（﹣2，3）．【解答】解：直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0，即a（x+2）+（﹣x﹣y+1）＝0，令x+2＝0，求得y＝3，可得此直线经过定点（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．,15．（5分）设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为（3，䁞）．【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：1的a＝6，b＝2，c＝4，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6m＝8，即m＝3，n䁞；6m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．可得M（3，䁞）．故答案为：（3，䁞）．香＞16．（5分）若函数f（x）䁞的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围香＜为[0，2e3]．【解答】解：x＜0时，f（x）≤f（﹣1）＝a﹣2，x＞0时，alnx﹣x2﹣2≤a﹣2，即a（lnx﹣1）≤x2，x＝e时，a（lnx﹣1）≤x2恒成立，此时aR，0＜x＜e时，恒成立，䁞香令g（x），＜＜，则a香＜，香单调递减，䁞香䁞且x→0时，g（x）→0，所以a≥0，香x＞e时，恒成立，令h（x），x＞e，则ℎa香，䁞䁞香䁞当＜＜时，h′（x）＜0，＞时，h′（x）＞0，所以ℎ香香，从而a≤2e3，㠲综上，a[0，2e3]，故答案为：[0，2e3]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．DE,⊥平面BCD，且．（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．【解答】解：（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD，∵△ABC是正三角形，∴OA⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，OA⊂平面ABC，∴OA⊥平面BCD．∵OD⊂平面BCD，∴OA⊥OD．在Rt△AOD中，䁛㠲，∴．又，∴△ADE为等腰三角形．∵P是DE的中点，∴AP⊥DE．∵DE⊥平面BCD，∴OA∥DE，∴AP⊥OA，∴AP∥OD．∵OD⊂平面BCD，AP⊄平面BCD，∴AP∥平面BCD．（2）由（1）知，OA∥DP，AP∥OD，∴四边形APDO为平行四边形，,∴，∴．以点O为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，则香，，，香，䁞，，香，䁞，，香，，，∴香，䁞，，香，，，香，䁞，．设平面ABE的法向量为香，，，则，则可取香䁞，，䁞．设平面ACE的法向量为香，，，则，则可取香䁞，，䁞，䁞䁞䁞∴香䁛＜，＞．䁞设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，则䁛㠲䁞香，∴二面角B﹣AE﹣C的正弦值为．18．（12分）在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y＝3x+3上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．【解答】解：设点C在直线AB的距离为d，由题意知，香䁞h香，䁞䁞∵䁞，∴d＝4，,直线AB的方程为，䁞即3x+4y﹣17＝0，∵C在点直线3x﹣y+3＝0上，香䁞䁞设C（x0，3x0+3），∴䁞，∴3x0﹣1＝±4，∴x0＝﹣1或，∴C点的坐标为（﹣1，0）或香，．19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2﹣an．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵Sn＝2﹣an，∴Sn﹣1＝2﹣an﹣1（n≥2），两式相减得：an＝an﹣1﹣an，䁞即anan﹣1，n≥2，又当n＝1时，有S1＝2﹣a1，解得：a1＝1，䁞∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，䁞﹣故an1n＝（）；䁞﹣（2）由（1）知：cn3n＝4an+1＝（）+1，䁞䁞䁞䁞香䁞h∴T﹣2﹣1n﹣33﹣nn＝[（）+（）+…+（）]+n䁞n＝8+n﹣2．䁞20．（12分）已知数列{a，，．n}的前n项和为䁞䁞䁞（1）记䁞，证明：{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n．【解答】解：（1）∵䁞，即䁞，∴䁞，∴䁞香䁞，䁞䁞䁞䁞∴．䁞䁞又䁞，则bn+1﹣bn＝2，䁞䁞又∵䁞䁞，∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，∴bn＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；,（2）由（1）得bn＝2n﹣1，则香䁞䁞䁞．∴䁞䁞香䁞䁞①，䁞䁞香䁞②，由①﹣②得䁞䁞䁞香䁞䁞n×香䁞香䁞2﹣2（n﹣1）×3﹣䁞2n，∴䁞香䁞，又䁞䁞䁞香䁞h香䁞䁞，∵nN*，∴香䁞䁞＞＞，䁞䁞∴䁞香䁞是递增数列，且＜，＞，∴使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n为5．21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆：䁞香＞＞的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）∵M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，䁞䁞∴ൌ，ൌ䁞，∴四边形OMPN的周长为|PM|+|OM|+|PN|+|ON|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，∴a＝2，∴，∴，∴香䁞，∴椭圆C的标准方程为䁞．（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，,代入䁞，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，222㌳则Δ＝（8km）﹣4（1+4k）（4m﹣4）＞0，䁞䁞㌳，䁞䁞㌳．易知A（2，0），∴香䁞，䁞香，香䁞香䁞香香香㌳香㌳香䁞㌳香㌳香䁞䁞䁞䁞香䁞㌳香香㌳香㌳，䁞㌳䁞㌳22化简得12k+16km+5m＝0，∴㌳或m＝﹣2k（舍去），∴直线l的方程为㌳㌳，即㌳香，直线l过定点香，．当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t（﹣2＜t＜2），代入䁞，解得±䁞，由得AD⊥AE，∴䁞，解得或t＝2（舍去），此时直线l过点香，．综上，直线l过定点香，．22．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣a（x+1）ln（x+1）+（a﹣2）x．（1）当a＝2时，讨论f（x）的单调性；（2）当x[0，π]时，f（x）≥cosx+1恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2ex﹣2（x+1）⋅ln（x+1）（x＞﹣1），xx则f′（x）＝2e﹣2ln（x+1）﹣2，令g（x）＝2e﹣2ln（x+1）﹣2，则a香，䁞因为a香为增函数，g′（0）＝0，䁞所以当x＞0时，g′（0）＞0，则g（x）单调递增；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，则g（x）单调递减，故g（x）≥g（0）＝0，即f′（x）≥0，所以当a＝2时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；（2）令m（x）＝f（x）﹣cosx﹣1＝2ex﹣a（x+1）⋅ln（x+1）+（a﹣2）x﹣cosx﹣1，x[0，π]，当x[0，π]时，f（x）≥cosx+1恒成立等价于m（x）≥0恒成立，因为m′（x）＝f′（x）+sinx＝2ex﹣aln（x+1）+sinx﹣2，（i）当a≤0时，m′（x）＞0，函数m（x）在[0，π]上单调递增，,所以m（x）≥m（0）＝0在[0，π]上恒成立，符合题意；（ii）当a＞0时，设h（x）＝2ex﹣aln（x+1）+sinx﹣2，x[0，π]，x″则h′（x）＝2ecosx，h（x）䁛㠲＞0恒成立，䁞香䁞所以h′（x）在[0，π]上单调递增，h′（0）＝2﹣a+1＝3﹣a，①当3﹣a≥0即0＜a≤3时，h′（x）≥h′（0）＝3﹣a≥0，函数y＝m′（x）在[0，π]上单调递增，所以m′（x）≥m′（0）＝0在[0，π]上恒成立，所以函数m（x）在[0，π]上单调递增，所以m（x）≥m（0）＝0在[0，π]上恒成立，符合题意；π②当3﹣a＜0即a＞3时，h′（0）＝3﹣a＜0，h′（π）＝2e1，䁞若h′（π）≤0，即a≥（π+1）（2eπ﹣1）时，h′（x）在[0，π]上恒小于等于0，则m′（x）在[0，π]上单调递减，m′（x）≤m′（0）＝0，m（x）在[0，π]上单调递减，m（x）≤m（0）＝0，不符合题意；若h′（π）＞0，即1＜a＜（π+1）（2eπ﹣1）时，存在x0[0，π]，使得h′（x0）＝0，所以当x[0，x0）时，h′（x）＜0，则m′（x）在[0，x0）上单调递减，当x[0，π]时，存在m′（x）＜m′（0）＝0，此时存在m（x）≤m（0）＝0不符合题意，所以a的取值范围是（﹣∞，3]．